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第一章 函数的极限与连续 1

第一节 函数 1

一、区间与邻域 1

二、函数的定义 2

三、函数的几何性质 4

四、反函数 6

五、复合函数 7

六、基本初等函数与初等函数 8

习题1-1 9

第二节 数列的极限 9

一、数列的概念 10

二、数列极限的定义 11

三、数列极限的性质 11

四、数列极限存在的准则 12

五、数列的子列 14

习题1-2 15

第三节 函数的极限 15

一、自变量趋向于无穷大时函数的极限 15

二、自变量趋向于有限值时函数的极限 17

三、函数极限的性质 19

四、函数极限存在的准则 19

习题1-3 20

第四节 无穷小量与无穷大量 20

一、无穷小量 20

二、无穷大量 21

习题1-4 22

第五节 极限的运算法则 23

一、极限的四则运算法则 23

二、运用四则运算法则求极限举例 24

三、复合函数极限的运算法则 30

习题1-5 31

第六节 两个重要极限 33

一、lim x→0 sinx/x =1 33

二、lim x→∞ （1＋1/x）x=e 35

习题1-6 39

第七节 无穷小量阶的比较 39

一、无穷小量阶的比较的定义 40

二、无穷小量的等价替代 41

习题1-7 43

第八节 函数的连续性与间断点 43

一、函数的连续性 43

二、函数的间断点 47

习题1-8 49

第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性 50

一、连续函数的运算 50

二、初等函数的连续性 50

三、闭区间上连续函数的性质 51

习题1-9 53

综合练习题一 53

第二章 导数与微分 56

第一节 导数的概念 56

一、引例 56

二、导数的定义 58

三、导数的几何意义 63

四、函数的可导性与连续性的关系 64

习题2-1 66

第二节 导数的运算法则 67

一、导数的四则运算法则 67

二、反函数的求导法则 69

三、复合函数的求导法则 71

习题2-2 74

第三节 隐函数以及由参数方程所确定的函数的求导法 76

一、隐函数的求导法 76

二、由参数方程所确定的函数的求导法 77

习题2-3 80

第四节 函数的微分 81

一、微分的定义 81

二、可微与可导的关系 82

三、基本初等函数的微分公式 83

四、微分的运算法则 83

五、微分的几何意义 86

六、微分在近似计算中的应用 86

习题2-4 88

第五节 高阶导数与高阶微分 89

一、高阶导数 89

二、高阶微分 94

习题2-5 95

综合练习题二 96

第三章 微分中值定理与导数的应用 99

第一节 微分中值定理 99

一、费马引理 99

二、罗尔中值定理 99

三、拉格朗日中值定理 101

四、柯西中值定理 103

习题3-1 104

第二节 洛必达法则 104

一、洛必达法则 104

二、其他类型的未定式 106

三、需要注意的问题 107

习题3-2 109

第三节 泰勒公式 109

一、带有拉格朗日余项的泰勒公式 110

二、带有佩亚诺余项的泰勒公式 111

习题3-3 113

第四节 函数的单调性与极值 114

一、函数的单调性 114

二、函数的极值 117

三、函数的最大值和最小值 120

习题3-4 123

第五节 曲线的凹凸、拐点与渐近线 124

一、曲线的凹凸与拐点 124

二、曲线的渐近线 129

三、函数图形的描绘 130

习题3-5 132

第六节 导数在经济分析中的应用 133

一、边际分析 133

二、弹性分析 136

习题3-6 140

综合练习题三 140

第四章 积分 144

第一节 定积分的概念与性质 144

一、定积分问题举例 144

二、定积分的定义 146

三、定积分的几何意义 148

四、定积分的性质 149

习题4-1 152

第二节 原函数与微积分基本定理 153

一、原函数 153

二、积分上限的函数及其导数 154

三、牛顿-莱布尼兹公式 158

习题4-2 160

第三节 不定积分的概念 161

一、不定积分的定义 161

二、不定积分与微分的关系 162

三、不定积分的性质 163

四、不定积分的几何意义 164

五、不定积分的直接积分法 164

习题4-3 166

第四节 不定积分的换元积分法 166

一、第一类换元积分法 166

二、第二类换元积分法 174

习题4-4 180

第五节 不定积分的分部积分法及分段函数的不定积分 181

一、不定积分的分部积分法 181

二、分段函数的不定积分 185

习题4-5 186

第六节 有理函数的不定积分 186

一、有理函数的不定积分 187

二、三角函数有理式的积分 193

习题4-6 195

第七节 定积分的换元法和分部积分法 196

一、定积分的换元积分法 196

二、定积分的分部积分法 199

习题4-7 202

第八节 广义积分与Gamma函数 203

一、无穷区间上的广义积分 203

二、无界函数的广义积分 205

三、Γ函数 207

习题4-8 208

综合练习题四 208

第五章 定积分的应用 213

第一节 微元法 213

第二节 定积分的几何应用 214

一、平面图形的面积 214

二、体积 217

三、平面曲线的弧长 220

习题5-2 222

第三节 定积分的物理及经济应用 222

一、变力沿直线所做的功 222

二、定积分的经济应用 224

习题5-3 225

综合练习题五 225

第六章 多元函数微分学 227

第一节 空间解析几何简介 227

一、空间直角坐标系 227

二、空间两点间的距离 228

三、空间曲面 229

四、空间曲线 231

五、常见的曲面 231

六、空间曲线在坐标面上的投影 234

习题6-1 235

第二节 多元函数的极限与连续 236

一、平面点集的基本概念 236

二、多元函数的概念 237

三、多元函数的极限 240

四、多元函数的连续性 241

习题6-2 243

第三节 偏导数 243

一、偏导数的定义 243

二、偏导数的几何意义 246

三、高阶偏导数 247

习题6-3 249

第四节 全微分 249

一、偏增量与全增量 250

二、全微分的定义 250

三、可微的条件 250

四、全微分在近似计算中的应用 253

习题6-4 254

第五节 多元复合函数的求导法则 255

一、多元复合函数的求导法则 255

二、全微分的形式不变性 260

习题6-5 261

第六节 隐函数的求导公式 261

一、一个方程的情形 261

二、方程组的情形 265

习题6-6 266

第七节 多元函数的极值 267

一、多元函数的极值 267

二、多元函数的最大值和最小值 269

三、条件极值与拉格朗日乘数法 270

习题6-7 272

综合练习题六 272

第七章 二重积分 276

第一节 二重积分的概念与性质 276

一、实际背景 276

二、二重积分的定义 277

三、二重积分的性质 278

习题7-1 280

第二节 直角坐标系下二重积分的计算 281

习题7-2 288

第三节 极坐标系下二重积分的计算 289

习题7-3 293

第四节 二重积分的换元法与广义二重积分 293

习题7-4 295

综合练习题七 296

第八章 无穷级数 299

第一节 常数项级数的概念和性质 299

一、常数项级数的概念 299

二、等比级数 301

三、无穷级数的基本性质 301

习题8-1 303

第二节 正项级数及其审敛法 304

一、正项级数收敛的充分必要条件 304

二、比较审敛法 304

三、比值审敛法与根值审敛法 308

习题8-2 310

第三节 任意项级数的审敛法 310

一、交错级数及其审敛法 310

二、绝对收敛与条件收敛 311

习题8-3 313

第四节 幂级数 313

一、函数项级数的概念 313

二、幂级数及其收敛性 314

三、幂级数的运算性质 318

习题8-4 320

第五节 函数展开成幂函数 321

一、泰勒级数 321

二、函数展开成幂级数 322

习题8-5 326

综合练习题八 326

第九章 微分方程 330

第一节 微分方程的基本概念 330

习题9-1 332

第二节 一阶微分方程 333

一、可分离变量的微分方程 333

二、齐次方程 336

三、一阶线性微分方程 338

四、伯努利方程 343

习题9-2 344

第三节 可降阶的高阶微分方程 345

一、y（n）=f（x）型的微分方程 345

二、y″=f（x，y′）型的微分方程 346

三、y″=f（y，y′）型的微分方程 347

习题9-3 349

第四节 二阶常系数线性微分方程 349

一、二阶线性微分方程的解的结构 349

二、二阶常系数齐次线性微分方程 351

三、二阶常系数非齐次线性微分方程 355

习题9-4 360

综合练习题九 361

附录1 初等数学常用公式 364

附录2 参考答案 369

参考文献 396