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第一章 整数 1
1.1 交换环·整环 1
1.2 交换环的基本性质 3
1.3 有序整环的性质 9
1.4 良序原则 12
1.5 数学归纳法·指数定律 14
1.6 可除性 18
1.7 欧几里得算法 19
1.8 算术基本定理 25
1.9 同余式 27
1.10 环Zn 32
1.11 集合·函数·关系 35
1.12 同构与自同构 39
第二章 有理数和域 42
2.1 域的定义 42
2.2 有理数域的构造 47
2.3 联立线性方程 53
2.4 有序域 58
2.5 正整数公设 61
2.6 皮亚诺公设 65
第三章 多项式 69
3.1 多项式形式 69
3.2 多项式函数 73
3.3 交换环的同态 78
3.4 多元多项式 81
3.5 辗转相除法 84
3.6 单位与相伴 86
3.7 不可约多项式 90
3.8 唯一因子分解定理 92
3.9 其他唯一因子分解整环 97
3.10 爱森斯坦不可约判别准则 102
3.11 部分分式 104
第四章 实数 110
4.1 毕达哥拉斯二难推论 110
4.2 上界与下界 112
4.3 实数公设 115
4.4 多项式方程的根 118
4.5 戴德金分割 122
5.1 复数的定义 127
第五章 复数 127
5.2 复平面 130
5.3 代数基本定理 134
5.4 共轭数与实多项式 138
5.5 二次方程与三次方程 140
5.6 四次方程的根式解法 143
5.7 稳定型方程 145
第六章 群 147
6.1 正方形的对称 147
6.2 变换群 149
6.3 其他例子 155
6.4 抽象群 157
6.5 同构 162
6.6 循环群 165
6.7 子群 169
6.8 拉格朗日定理 173
6.9 置换群 176
6.10 偶置换与奇置换 181
6.11 同态 183
6.12 自同构·共轭元素 186
6.13 商群 190
6.14 等价关系与同余关系 193
第七章 矢量与矢量空间 198
7.1 平面矢量 198
7.2 推广 199
7.3 矢量空间与子空间 202
7.4 线性无关与维数 207
7.5 矩阵与行等价 212
7.6 线性相关的检验 215
7.7 矢量方程·齐次方程 221
7.8 基底与坐标系 226
7.9 内积 233
7.10 欧几里得矢量空间 235
7.11 标准正交基 238
7.12 商空间 242
7.13 线性函数与对偶空间 244
第八章 矩阵代数 251
8.1 线性变换与矩阵 251
8.2 矩阵加法 258
8.3 矩阵乘法 260
8.4 对角矩阵·置换矩阵·三角形矩阵 266
8.5 长方矩阵 269
8.6 逆矩阵 275
8.7 秩与零度 281
8.8 初等矩阵 284
8.9 等价与标准型 290
8.10 双线性函数与张量积 293
8.11 四元数 298
数学符号表 303
索引 305
9.1 基底的变换 319
第九章 线性群 319
9.2 相似矩阵与特征矢量 322
9.3 全线性群与仿射群 328
9.4 正交群与欧几里得群 333
9.5 不变量与标准型 338
9.6 线性型与双线性型 342
9.7 二次型 345
9.8 全线性群之下的二次型 349
9.9 全线性群之下的实二次型 351
9.10 正交群之下的二次型 356
9.11 仿射群和欧几里得群之下的二次型 361
9.12 酉矩阵与埃尔米特矩阵 366
9.13 仿射几何 371
9.14 射影几何 379
第十章 行列式与标准型 386
10.1 行列式的定义和基本性质 386
10.2 行列式的乘积 392
10.3 作为体积的行列式 396
10.4 特征多项式 402
10.5 极小多项式 407
10.6 凯莱-哈密顿定理 412
10.7 不变子空间与可约性 414
10.8 第一分解定理 419
10.9 第二分解定理 422
10.10 有理标准型与若当标准型 425
第十一章 布尔代数与格 429
11.1 基本定义 429
11.2 定律：同算术定律类比 431
11.3 布尔代数 434
11.4 其他基本定律的推导 437
11.5 布尔多项式的标准型 441
11.6 半序 445
11.7 格 448
11.8 集合表示 452
第十二章 超限算术 457
12.1 数与集合 457
12.2 可数集 460
12.3 其他基数 463
12.4 基数的加法与乘法 467
12.5 取幂 470
13.1 环 473
第十三章 环与理想 473
13.2 同态 477
13.3 商环 482
13.4 理想的代数 486
13.5 多项式理想 490
13.6 线性代数中的理想 494
13.7 环的特征 496
13.8 域的特征 499
第十四章 代数数域 501
14.1 代数扩张与超越扩张 501
14.2 域上的代数元素 504
14.3 根的添加 507
14.4 次数与有限扩张 511
14.5 多重代数扩张 514
14.6 代数数 519
14.7 高斯整数 523
14.8 代数整数 527
14.9 代数整数的和与积 530
14.10 二次代数整数的因子分解 534
第十五章 伽罗瓦理论 538
15.1 方程的根域 538
15.2 唯一性定理 541
15.3 有限域 543
15.4 伽罗瓦群 546
15.5 可分多项式与不可分多项式 552
15.6 伽罗瓦群的性质 555
15.7 子群与子域 559
15.8 三次不可约方程 563
15.9 五次方程的不可解性 568
文献目录 574
数学符号表 578
索引 580