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前言页 1

第一章 整数 1

1.1 交换环·整环 1

1.2 交换环的基本性质 3

1.3 有序整环的性质 9

1.4 良序原则 12

1.5 数学归纳法·指数定律 14

1.6 可除性 18

1.7 欧几里得算法 19

1.8 算术基本定理 25

1.9 同余式 27

1.10 环Zn 32

1.11 集合·函数·关系 35

1.12 同构与自同构 39

第二章 有理数和域 42

2.1 域的定义 42

2.2 有理数域的构造 47

2.3 联立线性方程 53

2.4 有序域 58

2.5 正整数公设 61

2.6 皮亚诺公设 65

第三章 多项式 69

3.1 多项式形式 69

3.2 多项式函数 73

3.3 交换环的同态 78

3.4 多元多项式 81

3.5 辗转相除法 84

3.6 单位与相伴 86

3.7 不可约多项式 90

3.8 唯一因子分解定理 92

3.9 其他唯一因子分解整环 97

3.10 爱森斯坦不可约判别准则 102

3.11 部分分式 104

第四章 实数 110

4.1 毕达哥拉斯二难推论 110

4.2 上界与下界 112

4.3 实数公设 115

4.4 多项式方程的根 118

4.5 戴德金分割 122

5.1 复数的定义 127

第五章 复数 127

5.2 复平面 130

5.3 代数基本定理 134

5.4 共轭数与实多项式 138

5.5 二次方程与三次方程 140

5.6 四次方程的根式解法 143

5.7 稳定型方程 145

第六章 群 147

6.1 正方形的对称 147

6.2 变换群 149

6.3 其他例子 155

6.4 抽象群 157

6.5 同构 162

6.6 循环群 165

6.7 子群 169

6.8 拉格朗日定理 173

6.9 置换群 176

6.10 偶置换与奇置换 181

6.11 同态 183

6.12 自同构·共轭元素 186

6.13 商群 190

6.14 等价关系与同余关系 193

第七章 矢量与矢量空间 198

7.1 平面矢量 198

7.2 推广 199

7.3 矢量空间与子空间 202

7.4 线性无关与维数 207

7.5 矩阵与行等价 212

7.6 线性相关的检验 215

7.7 矢量方程·齐次方程 221

7.8 基底与坐标系 226

7.9 内积 233

7.10 欧几里得矢量空间 235

7.11 标准正交基 238

7.12 商空间 242

7.13 线性函数与对偶空间 244

第八章 矩阵代数 251

8.1 线性变换与矩阵 251

8.2 矩阵加法 258

8.3 矩阵乘法 260

8.4 对角矩阵·置换矩阵·三角形矩阵 266

8.5 长方矩阵 269

8.6 逆矩阵 275

8.7 秩与零度 281

8.8 初等矩阵 284

8.9 等价与标准型 290

8.10 双线性函数与张量积 293

8.11 四元数 298

数学符号表 303

索引 305

9.1 基底的变换 319

第九章 线性群 319

9.2 相似矩阵与特征矢量 322

9.3 全线性群与仿射群 328

9.4 正交群与欧几里得群 333

9.5 不变量与标准型 338

9.6 线性型与双线性型 342

9.7 二次型 345

9.8 全线性群之下的二次型 349

9.9 全线性群之下的实二次型 351

9.10 正交群之下的二次型 356

9.11 仿射群和欧几里得群之下的二次型 361

9.12 酉矩阵与埃尔米特矩阵 366

9.13 仿射几何 371

9.14 射影几何 379

第十章 行列式与标准型 386

10.1 行列式的定义和基本性质 386

10.2 行列式的乘积 392

10.3 作为体积的行列式 396

10.4 特征多项式 402

10.5 极小多项式 407

10.6 凯莱-哈密顿定理 412

10.7 不变子空间与可约性 414

10.8 第一分解定理 419

10.9 第二分解定理 422

10.10 有理标准型与若当标准型 425

第十一章 布尔代数与格 429

11.1 基本定义 429

11.2 定律：同算术定律类比 431

11.3 布尔代数 434

11.4 其他基本定律的推导 437

11.5 布尔多项式的标准型 441

11.6 半序 445

11.7 格 448

11.8 集合表示 452

第十二章 超限算术 457

12.1 数与集合 457

12.2 可数集 460

12.3 其他基数 463

12.4 基数的加法与乘法 467

12.5 取幂 470

13.1 环 473

第十三章 环与理想 473

13.2 同态 477

13.3 商环 482

13.4 理想的代数 486

13.5 多项式理想 490

13.6 线性代数中的理想 494

13.7 环的特征 496

13.8 域的特征 499

第十四章 代数数域 501

14.1 代数扩张与超越扩张 501

14.2 域上的代数元素 504

14.3 根的添加 507

14.4 次数与有限扩张 511

14.5 多重代数扩张 514

14.6 代数数 519

14.7 高斯整数 523

14.8 代数整数 527

14.9 代数整数的和与积 530

14.10 二次代数整数的因子分解 534

第十五章 伽罗瓦理论 538

15.1 方程的根域 538

15.2 唯一性定理 541

15.3 有限域 543

15.4 伽罗瓦群 546

15.5 可分多项式与不可分多项式 552

15.6 伽罗瓦群的性质 555

15.7 子群与子域 559

15.8 三次不可约方程 563

15.9 五次方程的不可解性 568

文献目录 574

数学符号表 578

索引 580