第一章 代数学 1
1.1 代数运算 1
1.1.1 数系 1
1.1.2 数的基本运算规律 1
1.1.3 指数 1
I 初等数学 1
1.1.4 对数 2
1.1.5 复数 2
1.1.6 乘法与因式分解公式 4
1.1.7 分式 5
1.1.8 比例 6
1.1.9 根式 7
1.1.10 不等式 7
1.2.3 等比级数 9
1.2.4 常用的求和公式 9
1.2.1 等差数列 9
1.2.2 等比数列 9
1.2 数列 9
1.3 排列、组合与二项式定理 10
1.3.1 排列 10
1.3.2 组合 10
1.3.3 二项式定理 11
1.4 一元多项式 12
1.4.1 一元多项式的运算 12
1.4.2 整除 12
1.4.3 最大公因式 13
1.4.4 因式分解定理 15
1.5 二阶、三阶行列式与代数方程 15
1.5.1 二阶、三阶行列式 15
1.5.3 一元二次方程 16
1.5.2 三元一次方程组的解法 16
1.5.4 一元三次方程 17
1.5.5 一元四次方程 17
1.5.6 根与系数的关系 18
第二章 几何学 19
2.1 平面几何学 19
2.1.1 直线、角 19
2.1.2 三角形 20
2.1.3 四边形 21
2.1.4 正多边形 22
2.1.5 圆 23
2.2 立体几何学 25
2.2.1 直线与平面 25
2.2.2 多面体 27
2.2.3 旋转体 29
2.3.1 命题.命题之间的关系 30
2.2.4 立体角 30
2.3 证题法概述 30
2.3.2 证明方法 31
第三章 三角学 36
3.1 平面三角 36
3.1.1 角的两种度量制 36
3.1.2 三角函数的定义和基本关系 36
3.1.3 三角函数的诱导公式.三角函数的图形与特性 39
3.1.4 两角和的三角函数公式.倍角公式与半角公式 43
3.1.5 三角函数的和差与积的关系式 45
3.1.6 三角形基本定理 45
3.1.7 斜三角形解法 46
3.1.8 三角形面积公式 47
3.1.9 反三角函数 48
3.1.10 三角方程 50
3.2.1 球面角.球面二角形.球面三角形 53
3.2 球面三角 53
3.2.2 球面三角形的性质 54
3.2.3 球面三角形的计算公式 55
3.2.4 球面直角三角形解法 56
3.2.5 球面斜角三角形解法 57
II基础数学 60
第四章 解析几何学 60
4.1 笛卡儿直角坐标系 60
4.1.1 笛卡儿直角坐标系 60
4.1.2 两点间的距离 61
4.1.3 分线段为定比的分点的坐标 62
4.1.4 坐标变换 63
4.2 曲线方程与曲面方程 64
4.2.1 基本概念 64
4.2.3 交点与交线 65
4.2.2 曲线的参数方程 65
4.3 平面上的直线 66
4.3.1 平面上的直线方程 66
4.3.2 点到直线的距离.直线的法方程 67
4.3.3 两直线的夹角及平行、垂直条件 67
4.3.4 直线束.三直线共点的条件 68
4.4 二次曲线 68
4.4.1 圆 68
4.4.2 椭圆 69
4.4.3 双曲线 70
4.4.4 抛物线 70
4.4.5 圆锥曲线 72
4.4.6 一般二次曲线 74
4.5 常用的平面曲线 76
4.6 平面、空间中的直线 81
4.6.1 平面方程 81
4.6.3 空间中的直线方程 82
4.6.2 点到平面的距离.平面的法方程 82
4.6.4 直线、平面的相互位置 83
4.7 二次曲面 85
4.7.1 球面 85
4.7.2 椭球面 86
4.7.3 双曲面 87
4.7.4 抛物面 88
4.7.5 柱面 89
4.7.6 锥面 90
4.7.7 一般二次曲面 91
第五章 线性代数学 95
5.1 行列式 95
5.1.1 n阶行列式的定义 95
5.1.2 行列式的性质 96
5.1.3 行列式的计算 98
5.1.4 拉普拉斯展开.行列式的乘法公式 99
5.1.5 范德蒙德行列式与格拉姆行列式 100
5.1.6 连加号Σ与连乘号Π 101
5.2 矩阵 101
5.2.1 n维向量空间 101
5.2.2 向量组的线性关系 102
5.2.3 矩阵及矩阵的秩 104
5.2.4 矩阵的运算 105
5.2.5 矩阵的逆 107
5.2.6 矩阵的分块、初等矩阵 108
5.2.7 几种特殊的矩阵 110
5.3 线性方程组 112
5.3.1 含n个未知量、n个方程的线性方程组 112
5.3.2 一般线性方程组 113
5.4 线性空间 116
5.4.1 线性空间的维数.基与坐标 116
5.5 线性变换 117
5.5.1 线性变换的定义与运算 117
5.4.3 子空间的交、和、直和 117
5.4.2 线性子空间 117
5.5.2 线性变换的矩阵 118
5.5.3 特征值与特征向量 119
5.6 若尔当标准形 122
5.6.1 最小多项式 122
5.6.2 λ矩阵的标准形 123
5.6.3 不变因子与初等因子 123
5.6.4 若尔当标准形 124
5.7 二次型 124
5.7.1 二次型及其矩阵表示 124
5.7.2 标准形 125
5.7.3 二次型的惯性指数 126
5.7.4 正(负)定二次型 127
5.8.2 正规正交基 128
5.8.1 度量矩阵 128
5.8 欧几里得空间 128
5.8.3 正交变换与对称变换 129
5.8.4 实对称矩阵的对角化 129
5.8.5 酉空间 131
第六章 微积分学 132
6.1 分析基础 132
6.1.1 实数 132
6.1.2 数列的极限 134
6.1.3 函数 138
6.1.4 函数的极限 142
6.1.5 无穷小、无穷大的比较 144
6.1.6 函数的连续性 145
6.1.7 Rn中的点集 147
6.1.8 n元函数的极限 148
6.1.9 n元函数的连续性 149
6.2.1 函数的导数与微分 150
6.2 微分学 150
6.2.2 多元函数的偏导数与全微分 154
6.2.3 隐函数 159
6.2.4 微分学基本定理 164
6.3 微分学的应用 168
6.3.1 单元函数微分学的应用 168
6.3.2 多元函数微分学的应用 171
6.4 不定积分 175
6.4.1 基本概念与性质 175
6.4.2 积分法 176
6.4.3 原函数可表为有限形式的几类函数 181
6.4.4 不定积分表 185
6.5 定积分 197
6.5.1 定积分的定义 197
6.5.2 可积函数类 198
6.5.4 定积分的中值定理 199
6.5.3 定积分的性质 199
6.5.5 微积分学基本定理 200
6.5.6 定积分的计算 200
6.6 重积分 201
6.6.1 二重积分 201
6.6.2 三重积分 203
6.6.3 n重积分 206
6.7.2 曲面的面积 208
6.7.1 平面图形的面积 208
6.7 定积分与重积分的应用 208
6.7.3 体积 209
6.7.4 弧长 209
6.7.5 质量 210
6.7.6 重心 210
6.7.7 转动惯量 211
6.8 斯蒂尔杰斯积分 211
6.8.1 有界变差函数 211
6.8.3 斯蒂尔杰斯积分的定义 213
6.8.2 可求长曲线 213
6.8.4 斯蒂尔杰斯积分存在的条件 214
6.8.5 斯蒂尔杰斯积分的性质 214
6.8.6 斯蒂尔杰斯积分的计算 216
6.9 曲线积分与曲面积分 216
6.9.1 第一型曲线积分 216
6.9.2 第二型曲线积分 218
6.9.3 第一型曲面积分 220
6.9.4 第二型曲面积分 222
6.10 级数 225
6.10.1 数项级数与无穷乘积 225
6.10.2 函数项级数 231
6.10.3 幂级数 235
6.10.4 傅里叶级数 239
6.11 广义积分 245
6.11.1 无穷限的广义积分 245
6.11.2 无界函数的广义积分 246
6.11.3 常用的广义积分公式 248
6.12 含参变量积分 249
6.12.1 含参变量的常义积分 249
6.12.2 含参变量广义积分的一致收敛性 250
6.12.3 由含参变量广义积分所确定的函数 250
6.12.4 常用的含参变量积分公式 251
第七章 复变函数论 253
7.1 复平面 253
7.1.1 复平面上曲线的方程 253
7.1.2 复平面上的点集.区域 253
7.1.3 扩张复平面 255
7.2 复变函数 256
7.2.1 复变函数 256
7.2.2 复变函数的极限与连续性 257
7.2.3 复数序列与复数项级数 257
7.2.4 复函数序列与复函数项级数 259
7.3 全纯函数.柯西-黎曼方程 260
7.3.1 复变函数的导数 260
7.3.2 共轭调和函数 261
7.3.3 单叶函数及其反函数 261
7.3.4 多值函数.黎曼面 262
7.4 初等复函数 264
7.4.1 有理函数 264
7.4.2 指数函数 264
7.4.3 三角函数.双曲函数 265
7.4.4 对数函数.幂函数 265
7.4.5 反三角函数 266
7.4.6 初等复函数 266
7.5 复积分.柯西积分定理与柯西积分公式 266
7.5.1 复积分的定义与简单性质 266
7.5.2 柯西积分定理 268
7.5.3 柯西积分公式 269
7.5.4 柯西型积分 270
7.6 全纯函数的级数表示 270
7.6.1 复幂级数 270
7.6.2 泰勒展开式 271
7.6.3 常用的泰勒展开式 272
7.6.4 罗朗展开式 274
7.7 孤立奇点与留数 275
7.7.1 孤立奇点及其分类 275
7.7.2 解析函数在无穷远点的性态 277
7.7.3 留数.留数定理 277
7.7.4 利用留数计算定积分 279
7.7.5 辐角原理 280
7.8 亚纯函数.整函数 281
7.8.1 亚纯函数 281
7.8.2 亚纯函数的部分分式展开 281
7.9.1 解析函数元素 283
7.9 解析开拓 283
7.8.3 整函数的无穷乘积展开 283
7.9.2 解析开拓 284
7.10 保角映射 285
7.10.1 全纯函数与保角映射 285
7.10.2 分式线性映射 286
7.10.3 某些初等函数的映射特性 286
7.10.4 对称原理.上半平面映射为多角形 289
7.10.5 黎曼映射定理.边界对应 289
7.10.6 常用保角映射表 290
7.11 解析函数在解平面狄利克雷问题中的应用 292
7.12 解析函数在流体力学中的应用 293
7.13 解析函数在电磁学与热学中的应用 295
7.14 解析函数在平面弹性理论中的应用 296
8.1.1 有关方程的概念 298
8.1 一般概念 298
第八章 常微分方程论 298
8.1.2 有关方程的解的概念 299
8.2 一阶微分方程 299
8.2.1 存在和唯一性定理 299
8.2.2 一阶微分方程的若干可积类型及其通解 300
8.2.3 奇解及其求法 305
8.3 高阶微分方程 306
8.3.1 n阶正规形微分方程与一阶正规形微分方程组的互化 306
8.3.2 存在和唯一性定理 307
8.3.3 高阶微分方程的若干可积类型及其通解 307
8.4 高阶线性微分方程 309
8.4.1 朗斯基行列式 309
8.4.2 线性微分方程解的结构 310
8.4.3 常系数线性微分方程 312
8.5 二阶微分方程 315
8.5.1 二阶齐次线性微分方程解的定性性质 315
8.4.4 欧拉方程 315
8.5.2 二阶微分方程的若干可积类型及其通解 316
8.5.3 二阶齐次线性微分方程的幂级数解法 318
8.6 线性微分方程组 320
8.6.1 线性微分方程组解的结构 320
8.6.2 常系数线性微分方程组 321
8.7 定性理论与稳定性理论初步 324
8.7.1 解对初值的连续相依性与可微性 324
8.7.2 解对参数的连续相依性与可微性 325
8.7.3 动力系统的一般概念 325
8.7.4 二维定常系统的极限环 326
8.7.5 二维常系数线性微分方程组的奇点 328
8.7.6 稳定性的基本概念 331
8.7.7 稳定性与不稳定性的基本定理 332
8.7.8 齐次常系数线性微分方程组零解的稳定性 333
8.8.1 机械系统的振动 334
8.8 微分方程在力学、电学中的应用 334
8.8.2 简单电路 336
第九章 偏微分方程论 339
9.1 一般概念 339
9.2 一阶偏微分方程 340
9.2.1 一阶线性偏微分方程 340
9.2.2 一阶拟线性偏微分方程 341
9.2.3 一阶非线性偏微分方程 343
9.3.2 两个自变量的一阶线性方程组的分类 346
9.3 一阶线性偏微分方程组 346
9.3.1 特征方程.特征方向.特征曲线 346
9.3.3 狭义双曲型方程组 347
9.4 二阶线性偏微分方程的分类 349
9.4.1 两个自变量的二阶线性偏微分方程的化简和分类 349
9.4.2 n个自变量的二阶线性方程的分类 350
9.5 三类典型的二阶线性偏微分方程 350
9.5.1 一维波动方程与定解条件的提法 351
9.5.2 高维波动方程 352
9.5.3 热传导方程 354
9.5.4 拉普拉斯方程和泊松方程 356
9.6 偏微分方程的分离变量法 357
9.6.1 线性齐次方程和齐次边界条件 358
9.6.2 线性非齐次方程和齐次边界条件 361
9.6.3 齐次化原理 362
9.6.4 非齐次边界条件的处理 364
9.7 拉普拉斯方程的格林函数法 364
9.7.1 格林函数及其性质 364
9.7.2 利用格林函数解拉普拉斯方程的第一边值问题 365
9.7.3 利用格林函数解泊松方程的第一边值问题 369
9.8 拉普拉斯方程的位势方法 369
9.8.1 单层位势.双层位势 369
9.8.2 用位势理论解拉普拉斯方程的边值问题 372
9.9 偏微分方程的积分变换法 373
9.10.1 δ函数及其性质 376
9.10 δ函数和基本解 376
9.10.2 基本解 377
9.11 定解问题的适定性 381
9.11.1 一维波动方程的定解问题的适定性 381
9.11.2 调和函数的极值原理.狄利克雷问题的适定性 382
9.11.3 一维热传导方程定解问题的适定性 383
9.11.4 柯西-柯瓦列夫斯卡娅定理 383
9.12 偏微分方程的差分解法 384
9.12.1 偏导数与差商 384
9.12.2 拉普拉斯方程的差分解法 385
9.12.3 热传导方程的差分解法 388
9.12.4 波动方程的差分解法 389
第十章 微分几何学 391
10.1 平面曲线 391
10.1.1 平面曲线的方程.切线与法线 391
10.1.2 平面曲线的曲率 393
10.1.3 平面曲线族的包络线 395
10.1.4 平面曲线的整体性质 396
10.2 空间曲线 397
10.2.1 空间曲线的切向量、主法向量与从法向量.曲率与挠率 397
10.2.2 弗雷内公式.曲线在一点邻近的性态 399
10.2.3 空间曲线论的基本定理 401
10.3 曲面的参数表示 401
10.3.1 曲面的参数表示 401
10.3.2 曲面的切平面与法向量 402
10.3.3 常用的曲面 402
10.4 曲面的第一、第二基本形式 405
10.4.1 第一基本形式 405
10.4.2 等距对应.共形对应 407
10.4.3 第二基本形式 408
10.4.4 迪潘标线.共轭方向.渐近方向 409
10.5.1 法曲率 410
10.5 曲面上的曲率 410
10.5.2 主曲率 411
10.5.3 平均曲率.全曲率 412
10.6 曲面的球面表示.第三基本形式 414
10.6.1 曲面的球面表示 414
10.6.2 第三基本形式 414
10.7 直纹曲面.可展曲面 415
10.7.1 直纹曲面与可展曲面的构造 415
10.7.2 直纹曲面与可展曲面的性质 417
10.8 曲面论的基本定理 417
10.8.1 曲面的基本公式 417
10.8.2 曲面论的基本定理 418
10.9 测地曲率.测地线 419
10.9.1 测地曲率 419
10.9.2 测地线 420
10.10 曲面上向量的平行移动 421
10.9.3 测地坐标系 421
10.9.4 测地挠率 421
10.11 曲面的一些整体性质 422
第十一章 积分方程论 424
11.1 一般概念 424
11.2 弗雷德霍姆定理 426
11.3 退化核的积分方程 427
11.3.1 退化核 427
11.3.2 退化核的积分方程的解法 427
11.4 逐次逼近法.叠核和预解核 429
11.4.1 逐次逼近法 429
11.4.2 叠核和预解核 429
11.5 对于任何λ的弗雷德霍姆方程 430
11.6 对称核 431
11.6.1 对称核方程的特征值和特征函数 431
11.6.2 对称核按特征函数系的展开式 432
11.6.4 埃尔米特核和斜对称核 433
11.6.3 对称核的分类.梅塞定理 433
11.7 ？型无界核.奇异积分方程 434
11.7.1 核为？型的积分方程 434
11.7.2 奇异积分方程 435
11.8 沃尔泰拉方程 435
11.8.1 第二类沃尔泰拉积分方程和方程组 435
11.8.2 特殊形式的沃尔泰拉方程 437
11.8.3 第一类沃尔泰拉积分方程.阿贝尔方程 438
11.9 积分方程的近似解法 439
11.9.1 数值积分方法 439
11.9.2 近似核方法 440
11.9.3 迭代法 440
11.9.4 变分方法 440
第十二章 变分法 441
12.1 一般概念 441
12.2.1 最简单的变分问题.欧拉方程 443
12.2 固定边界的变分问题 443
12.2.3 含高阶导数的泛函 444
12.2.2 含多个未知函数的泛函 444
12.2.4 多元函数的泛函 445
12.2.5 用参数形式表示的泛函 446
12.3 泛函极值的充分条件 447
12.3.1 平稳曲线场雅科比条件 447
12.3.2 泛函？极值的充分条件 448
12.4 可动边界的变分问题 449
12.4.1 ？型泛函 449
12.4.2 ？型泛函 449
12.4.3 ？型泛函 450
12.5 条件变分问题 450
12.5.1 泛函在约束条件？下的变分问题 450
12.5.2 泛函在约束条件？下的变分问题 451
12.6.1 直接法和极小化序列 452
12.6 变分问题的直接法 452
12.6.2 里兹法 453
12.6.3 欧拉有限差分法 454
12.6.4 康托罗维奇法 455
12.7 力学中的变分原理 456
12.7.1 哈密顿原理 456
12.7.2 最小势能原理 457
12.7.3 变分法和数学物理微分方程 457
第十三章 概率论 459
13.1 基本概念 459
13.1.1 事件 459
13.1.2 古典概型 460
13.1.3 概率空间 461
13.1.4 条件概率 462
13.2.2 离散型随机变量的概率分布 464
13.2.1 随机变量与分布函数的定义 464
13.2 一维随机变量及其分布 464
13.2.3 几种重要的离散型分布 465
13.2.4 连续型随机变量的概率密度 466
13.2.5 几种重要的连续型分布 466
13.2.6 随机变量的函数 468
13.3 多维随机变量及其分布 470
13.3.1 多维随机变量与分布函数 470
13.3.2 边际分布 472
13.3.3 条件分布 473
13.3.4 随机变量的相互独立性 474
13.3.5 随机向量的函数 475
13.3.6 几种重要的随机向量函数的分布 477
13.3.7 随机向量的变换 479
13.4.1 数学期望 481
13.4 一维随机变量的数字特征 481
13.4.2 随机变量函数的数学期望 482
13.4.3 方差 483
13.5 随机向量的数字特征 484
13.5.1 一般概念 484
13.5.2 协方差矩阵.相关系数 484
13.5.3 条件数学期望 486
13.6 母函数与特征函数 487
13.6.1 母函数 487
13.6.2 特征函数的定义及性质 489
13.6.3 逆转公式及唯一性定理 490
13.6.4 分布函数列的弱收敛 490
13.6.5 连续性定理 491
13.6.6 博赫纳-辛钦定理 491
13.6.7 n维随机向量的特征函数 491
13.8 极限定理 498
13.8.1 随机变量的收敛性 498
13.7 常用分布简表 498
13.8.2 大数定律 499
13.8.3 加强的大数定律 499
13.8.4 中心极限定理 500
附录 502
数值表1 泊松分布？的数值表 502
数值表2 ？数值表（x≥0） 504
数值表3 x2分布表 507
数值表4 t分布表 509
第十四章 纯粹数学选题 511
14.1. 集论 511
14.1.1 集 511
14.1.2 集的运算 511
14.1.3 集的关系与运算的图形表示 513
14.1.4 关系 513
14.1.5 映射 514
14.1.7 等价关系与商集 515
14.1.6 积集与幂集 515
14.1.8 偏序关系 516
14.1.9 选择公理及其等价命题 517
14.1.10 基数 517
14.1.11 布尔代数 518
14.1.12 逻辑代数.开关代数 518
14.2 代数结构 519
14.2.1 半群 519
14.2.2 群 520
14.2.3 正规子群.商群 521
14.2.4 循环群.有限群 522
14.2.5 环 522
14.2.6 理想.商环 523
14.2.7 域 524
14.2.8 模.向量空间.代数 524
14.3.1 度量空间 526
14.3.2 度量空间中的开集和闭集 526
14.3 一般拓朴学 526
14.3.3 度量空间到度量空间的连续映射 527
14.3.4 完备度量空间 528
14.3.5 拓扑空间 529
14.3.6 拓扑空间到拓朴空间的连续映射.同胚 530
14.3.7 分离性 530
14.3.8 积拓扑空间 531
14.3.9 商拓扑空间 531
14.3.10 连通性 532
14.3.11 紧性 532
14.3.12 可度量化拓扑空间 534
14.4 勒贝格积分 534
14.4.1 勒贝格外测度 534
14.4.2 勒贝格测度 534
14.4.3 勒贝格可测函数 535
14.4.4 依测度收敛性 536
14.4.5 勒贝格积分 537
14.4.6 勒贝格积分的性质 538
14.4.7 绝对连续函数 539
14.4.8 重积分与累次积分 539
14.5 泛函分析 540
14.5.1 巴拿赫空间的定义与例 540
14.5.2 连续线性算子.对偶空间 542
14.5.3 巴拿赫空间中的收敛性 543
14.5.4 线性泛函分析的基本定理 544
14.5.5 巴拿赫空间之间连续映射的导数 544
14.5.6 希尔伯特空间的定义与例 545
14.5.7 正交投影 546
14.5.8 伴随算子 546
14.5.9 正交系 547
14.5.11 紧算子的谱分析 549
14.5.10 谱 549
14.5.12 广义函数的定义与例 550
14.5.13 广义函数的导数 551
14.5.14 广义函数的卷积与傅里叶变换 553
14.6 微分流形 554
14.6.1 微分流形的定义与例 554
14.6.2 可微映射.微分同胚 556
14.6.3 切空间 557
14.6.4 余切空间 557
14.6.5 微分流形之间的映射的微分与切变换 558
14.6.6 微分子流形 559
14.6.7 定向流形 560
14.6.8 向量场.泊松括号积 560
14.6.9 张量场.微分形式 561
14.6.10 外微分 562
14.6.12 黎曼流形 563
14.6.11 斯托克斯公式 563
第十五章 向量分析.张量分析 565
15.1 向量代数 565
15.1.1 向量及其运算 565
15.1.2 向量的坐标 566
15.1.3 向量的数量积 567
15.1.4 向量的向量积 569
15.2 向量函数的微积分 570
15.2.1 单元向量函数的微分法 570
15.2.2 单元向量函数的积分法 571
15.2.3 多元向量函数的微积分 571
15.3 数量场 572
15.3.1 场 572
15.3.2 数量场的梯度 573
15.3.3 哈密顿算子 573
15.4.1 向量场的散度 574
15.4 向量场 574
III应用数学 575
15.4.2 向量场的旋度 575
15.4.3 场论基本定理 576
15.4.4 几种特殊的向量场 576
15.5 场论中的量在正交曲线坐标系中的表示式 578
15.5.1 正交曲线坐标系 578
15.5.2 场论中的量在正交曲线坐标系中的表示式 579
15.6 向量分析在运动学中的应用 579
15.6.1 质点运动的速度与加速度 579
15.6.2 刚体的运动 581
15.6.3 质点的相对运动 582
15.7 向量分析在动力学中的应用 583
15.7.1 牛顿第二定律与达朗贝尔原理 583
15.7.3 动量矩定理 584
15.7.2 动量定理 584
15.7.4 动能定理 585
15.8 向量分析在电磁学中的应用 586
15.8.1 库伦定律与高斯定理 586
15.8.2 安培-毕奥-萨瓦定律与安培定理 586
15.8.3 法拉第电磁感应定律.麦克斯韦方程组 587
15.9 张量 588
15.9.1 张量概念 588
15.9.2 张量的分量 589
15.9.3 张量的运算 590
15.9.4 外代数 591
15.10 共变微分 592
15.10.1 仿射联络 592
15.10.2 共变微分 592
15.10.3 曲率张量与挠率张量 594
15.11 黎曼空间中的张量分析 594
15.11.2 各种算子的表示式 595
15.11.1 黎曼联络 595
15.11.3 曲率张量的性质 596
15.11.4 平行移动.测地线 596
15.12 张量分析在离散质点系力学中的应用 597
15.12.1 质点的自由运动 597
15.12.2 质点的约束运动 598
15.12.3 质点系的约束运动 599
15.13 张量分析在连续介质力学中的应用 600
15.13.1 应力张量 600
15.13.2 应变张量 600
15.13.3 平衡方程与运动方程 601
15.14 张量分析在相对论中的应用 602
15.14.1 狭义相对论 602
15.14.2 广义相对论 602
16.1 傅里叶积分与傅里叶变换 604
16.1.1 傅里叶积分 604
第十六章 积分变换 604
16.1.2 傅里叶变换概念 605
16.1.3 傅里叶变换的性质 607
16.1.4 卷积与相关函数 608
16.1.5 多重傅里叶变换 610
16.2 傅里叶正弦变换与傅里叶余弦变换 611
16.3 傅里叶核 612
16.4.1 有限正弦变换与有限余弦变换的定义.反演公式 614
16.4 有限傅里叶变换 614
16.4.2 函数的导数的有限傅里叶变换公式 615
16.4.3 用有限傅里叶变换解偏微分方程定解问题的例 616
16.4.4 多重有限傅里叶变换 617
16.5 离散傅里叶变换 619
16.5.1 波形采样 619
16.5.2 离散傅里叶变换对 621
16.5.3 离散卷积与离散相关 624
16.6 快速傅里叶变换 625
16.6.1 矩阵方程与快速傅里叶变算法 625
16.5.4 离散傅里叶变换的性质 625
16.6.2 信号流程图 628
16.7 拉普拉斯变换 629
16.7.1 拉普拉斯变换概念 629
16.7.2 拉普拉斯变换的性质 630
16.7.3 卷积与杜阿梅尔公式 632
16.7.4 拉普拉斯逆变换 633
16.7.5 拉普拉斯变换在解微分方程上的应用 634
16.7.6 二重拉普拉斯变换 635
16.8 汉克尔变换.有限汉克尔变换 636
16.8.1 汉克尔变换 636
16.8.2 汉克尔变换性质 636
16.8.3 有限汉克尔变换 637
16.9 梅林变换.希尔伯特变换 637
16.9.1 梅林变换 637
16.9.2 希尔伯特变换 638
16.10 积分变换简表 639
16.10.1 傅里叶变换简表 639
16.10.2 傅里叶余弦变换简表 641
16.10.3 傅里叶正弦变换简表 642
16.10.4 有限傅里叶余弦变简表 643
16.10.5 有限傅里叶正弦变换简表 644
16.10.6 拉普拉斯变换简表 645
16.10.7 汉克尔变换简表 648
16.10.8 梅林变换简表 650
16.10.9 希尔伯特变换简表 652
第十七章 特殊函数 653
17.1 Γ函数 653
17.1.1 Γ函数定义与递推关系 653
17.1.2 Γ函数的无穷乘积表达式.Γ函数与三角函数的关系 654
17.1.3 Γ函数的积分表达式 655
17.1.4 比内公式.渐近展开.斯特林公式 656
17.2 B函数 657
17.1.5 Γ函数的对数微商.多Γ函数.不完全Γ函数 657
17.3 误差函数.菲涅耳积分 658
17.4 指数积分.对数积分.正弦积分.余弦积分 660
17.5 勒让德函数.勒让德多项式 661
17.5.1 勒让德方程与勒让德函数 661
17.5.2 勒让德多项式的定义.微商表示与积分表示 662
17.5.3 Pn(s)的母函数.Pn(z)的递推公式 664
17.5.4 Pn(x)的正交性.傅里叶-勒让德级数 665
17.5.5 第二类勒让德函数 665
17.5.6 连带勒让德函数及其递推公式 666
17.5.7 Pmn(x)的正交性.按{Pmn(x)}∞n=m？展开 667
17.5.8 #阶球面调和函数及其正交性 668
17.6.1 贝塞尔方程与贝寒尔函数 670
17.6.2 第一类贝塞尔函数及其递推公式 670
17.6 贝塞尔函数 670
17.6.3 半奇数阶贝塞尔函数 672
17.6.4 Ｊv(z)的积分表示.整数阶的贝塞尔函数的母函数 673
17.6.5 Jv(z)的零点 674
17.6.6 贝塞尔函数的正交性.傅里叶-贝塞尔级数 675
17.6.7 第二类贝塞尔函数 676
17.6.8 第三类贝塞尔函数 678
17.6.9 修正贝塞尔函数 678
17.6.10 开耳芬函数 680
17.6.11 球贝塞尔函数 681
17.6.12 各类贝塞尔函数的渐近展开式 682
17.7 埃尔米特函数与埃尔米特多项式 682
17.8 拉盖尔函数与拉盖尔多项式 684
17.9 切比雪夫多项式 685
17.9.1 第一类切比雪夫多项式 685
17.10 超几何函数 687
17.10.1 超几何方程 687
17.9.2 第二类切比雪夫多项式 687
17.10.2 超几何级数与超几何函数 688
17.10.3 雅科比多项式 689
17.10.4 超几何函数的积分表示 689
17.10.5 用超几何函数表示的富克斯型方程解的例 690
17.11 合流超几何函数 690
17.11.1 合流超几何方程与合流超几何函数 690
17.11.2 合流超几何函数的积分表示 691
17.11.3 惠特克方程与惠特克函数 691
17.11.4 抛物柱面函数 693
17.12 椭圆积分与椭圆函数 694
17.12.1 椭圆积分 694
17.12.2 不完全椭圆积分与完全椭圆积分 695
17.12.3 椭圆函数 696
17.12.4 魏尔斯特拉斯椭圆函数，ち函数，σ函数 697
17.12.6 雅科比椭圆函数 699
17.12.5 θ函数 699
第十八章 数值分析 702
18.1 误差和有效数字 702
18.2 插值法 702
18.2.1 拉格朗日插值 702
18.2.2 埃特金逐步插值 703
18.2.3 牛顿插值 703
18.2.4 等距节点插值 704
18.2.6 分段线性插值 706
18.2.7 分段三次埃尔米特插值 706
18.2.8 三次样条插值 707
18.3 数值逼近 708
18.3.1 引论 708
18.3.2 魏尔斯特拉斯定理 709
18.3.3 最佳一致逼近多项式 709
18.3.4 切比雪夫多项式 710
18.3.5 切比雪夫多项式在数值逼近的领域里应用举例 711
18.3.6 线性内积空间的最佳逼近 712
18.3.7 函数的最佳平方逼近 714
18.3.8 正交多项式 714
18.3.9 用勒让德多项式作平方逼近 715
18.3.10 函数按切比雪夫多项式展开 716
18.3.11 曲线拟合的最小二乘法 717
18.3.12 用正交函数作最小二乘拟合 718
18.4.1 机械求导方法 719
18.4 数值微分 719
18.4.2 插值型的求导公式 720
18.4.3 样条求导 721
18.5 数值积分 721
18.5.1 数值积分的基本概念 721
18.5.2 牛顿-科茨公式 722
18.5.3 复化求积公式 723
18.5.4 高斯公式 724
18.6.1 一阶方程 725
18.6 常微分方程的数值解法 725
18.6.2 一阶方程组 729
18.6.3 化高阶方程为一阶方程组 731
18.6.4 二阶线性方程边值问题的差分方法 732
18.7 方程的近似解 733
18.7.1 二分法 733
18.7.2 弦线法(比例法) 733
18.7.3 切线法(牛顿法) 734
18.7.4 迭代法 735
18.7.5 代数方程求根 735
18.8 解线性方程组的直接方法 738
18.8.1 高斯消去法 738
18.8.2 高斯主元素消去法 741
18.8.3 高斯-若尔当消去法 741
18.8.4 LU分解法 742
18.8.5 LDLT分解法 744
18.8.6 平方根法 745
18.8.7 追赶法 746
18.9 解线性方程组的迭代法 747
18.9.1 基本概念 747
18.9.2 雅科比迭代法 748
18.9.3 高斯-塞德尔迭代法 749
18.9.4 超松弛迭代法 750
18.10 矩阵的特征值与特征向量计算 751
18.10.1 一些代数知识 751
18.10.2 幂法 752
18.10.3 反幂法 754
18.10.4 QR方法 755
18.10.5 雅科比方法 756
18.10.6 豪斯荷尔德方法 758
18.10.7 对称三对角阵的特征值计算 761
19.1.1 生成函数的代数运算 763
第十九章 组合论 763
19.1 生成函数 763
19.1.2 生成函数的分析运算 770
19.1.3 普生成函数与指数生成函数间的关系 772
19.2 复合函数的高阶导数 773
19.3 斯特林数与拉赫数 775
19.3.1 斯特林数 775
19.3.2 拉赫数 778
19.4 伯努利数与贝尔数 778
19.4.1 伯努利数 778
19.4.2 贝尔数 779
19.5 伯努利多项式.贝尔多项式.求和公式 779
19.5.1 伯努利多项式 779
19.5.2 贝尔多项式 781
19.5.3 求和公式 781
19.6.1 基本概念 782
19.6 反演公式 782
19.6.2 反演公式 784
19.6.3 二项式型多项式列 786
19.7 容斥原理 788
19.7.1 一些记号 788
19.7.2 容斥原理 789
19.7.3 容斥原量的应用举例 790
19.8 递归关系 790
19.8.1 有关递归关系的一些基本概念 790
19.8.2 一元线性递归关系 791
19.8.3 非线性递归关系 792
19.8.4 阿贝尔恒等式 792
19.8.5 拉姆齐定理，拉姆齐数及其应用 793
19.9 (0，1)矩阵 795
19.9.1 基本概念 795
19.9.2 积和式与关联矩阵的性质 796
19.10 线秩和项秩 797
19.10.1 线秩和项秩 797
19.10.2 双随机矩阵 798
第二十章 图论 799
20.1 基本概念 799
20.1.1 图与子图 799
20.1.2 图的运算 801
20.2 通路与回路 802
20.2.1 顶点的度 802
20.2.2 通路与回路 803
20.2.3 赋权图与最短通路 804
20.3 E图与H图 805
20.3.1 E图 805
20.3.2 H图 805
20.4 树与割集 806
20.4.1 树与生成树 806
20.4.2 连枝集与基本回路集 807
20.5 图的矩阵表示 808
20.5.1 邻接矩阵 808
20.4.3 割集与断集 808
20.5.2 关联矩阵 809
20.5.3 回路矩阵 810
20.5.4 割集矩阵 812
20.6 平面图 813
20.6.1 平面图 813
20.6.2 对偶图 814
20.7 网络流 815
20.7.1 网络与流 815
20.7.2 标号算法 816
21.1 随机过程的概念 818
21.1.1 随机过程的定义 818
第二十一章 随机过程论 818
21.1.2 随机过程的分布函数 819
21.1.3 随机过程的数字特征 820
21.1.4 两个或两个以上随机过程的联合分布和数字特征 820
21.2 马尔科夫过程 821
21.2.1 马尔科夫过程的定义 821
21.2.2 马尔科夫链 822
21.2.3 时间连续、状态离散的马尔科夫过程 825
21.2.4 扩散过程 827
21.3 平稳随机过程 829
21.3.1 平稳随机过程的定义 829
21.3.2 平稳随机过程的数字特征 829
21.3.3 各态历经性 830
21.3.4 相关函数的性质 832
21.3.5 平稳过程的功率谱密度 833
22.1 抽样分布 836
22.1.1 基本概念 836
第二十二章 数理统计 836
22.1.2 经验分布 837
22.1.3 抽样分布 838
22.2 参数估计 842
22.2.1 点估计 842
22.2.2 点估计的评价标准 843
22.2.3 区间估计 845
22.2.4 随机参数的估计 848
22.3.2 参数假设检验 851
22.3 假设检验 851
22.3.1 假设检验的原理与基本步骤 851
22.3.3 非参数假设检验 856
22.4 线性模型 859
22.4.1 基本概念 859
22.4.2 回归分析 860
22.4.3 方差分析 864
23.1.2 排队模型的符号表示 868
23.1.1 服务系统的分类与特征 868
第二十章 运筹学 868
23.1 排队论 868
23.1.3 服务系统的运行指标 869
23.1.4 状态概率及其求解的方法 869
23.1.5 排队论中常用的事件流的概率分布 870
23.1.6 单通道损失制(M/M/1/0) 871
23.1.7 双通道损失制(M/M/n/0) 872
23.1.8 单通道等待制(M/M/1) 873
23.1.9 双通道等待制(M/M/n) 874
23.1.10 单通道混合制(M/M/1/m) 876
23.1.11 双通道混合制(M/M/n/m) 878
23.1.12 M/G/1模型 879
23.1.13 M/D/1模型，M/E4/1模型 880
23.1.14 排队系统的最优化 881
23.2.1 决策模型 883
23.2.2 确定型决策问题 883
23.2 决策论 883
23.2.3 风险型决策问题 884
23.2.4 不确定型决策问题 887
23.3 对策论 891
23.3.1 基本概念 891
23.3.2 矩阵对策的数学模型 891
23.3.3 矩阵对策的最优策略 892
23.3.4 混合策略与混合扩充 893
23.3.5 矩阵对策的求解方法 897
23.4 存贮论 901
23.4.1 基本概念 901
23.4.2 确定性存贮模型 901
23.4.3 随机性存贮模型 903
24.1.2 系统的方程 907
24.1.1 系统的状态 907
24.1 基本概念 907
第二十四章-控制理论 907
24.1.3 最优控制问题 909
24.1.4 闭环控制与开环控制 911
24.2 线性状态方程的解 911
24.2.1 时变系统的解 911
24.2.2 转移矩阵 912
24.2.3 连续状态方程的离散化 912
24.2.4 离散状态方程的解 913
24.3 线性系统的完全能控性与完全能观测性 915
24.3.1 连续系统的能控性与能观测性 915
24.3.2 离散系统的能控性与能观测性 917
24.3.3 能控性与能观测性的对偶关系 918
24.4 动态规划方法 919
24.4.1 用动态规划解离散型最优控制问题的方法 919
24.4.2 离散型随机线性二次最优控制问题的解法 920
24.4.4 连续型线性二次最优控制问题的解法 921
24.4.3 连续系统的哈密顿--雅可比-贝尔曼方程 921
24.5.1 连续系统的最小值原理 922
24.5 最小值原理 922
24.5.2 离散系统的最小值原理 923
24.6 随机系统的最优控制 924
24.6.1 基本概念 924
24.6.2 卡尔曼滤波方法 925
24.6.3 随机控制系统的分离定理 926
第二十五章 最优化方法 929
25.1 线性规划 929
25.1.1 线性规划问题的一般形式 929
25.1.2 化线性规划的一般形式为标准形式 930
25.1.3 线性规划问题解的概念 931
25.1.4 线性规划问题的基本理论 933
25.1.5 单纯形法 934
25.1.6 人工变量求可行基的解法 939
25.1.8 对偶单纯形法 945
25.1.7 线性规划的对偶理论 945
25.2 非线性规划 948
25.2.1 非线性规划的标准型 948
25.2.2 凸函数 949
25.2.3 最优化条件 949
25.2.4 无约束最优化问题的解法 950
25.2.5 有约束最优化问题的解法 954
第二十六章 有限元方法 959
26.1 用有限元方法解题的过程 959
26.1.1 二阶常微分方程的边值问题 959
26.1.2 二维泊松方程第三边值问题 962
26.2 插值与基函数 965
26.2.1 一维情形 966
26.2.2 二维情形(三角形剖分) 967
26.2.3 二维情形(矩形剖分) 973
26.2.4 三维情形(四面体剖分) 976
26.2.5 三维情形(六面体剖分) 978
26.3 板的变曲问题 980
26.3.1 协调性问题 980
26.3.2 板的弯曲方程 980
26.3.3 有限元解法 982
26.3.4 非协调元 984
26.4 非定常问题的有限元解法 985
27.1.1 计算机的种类 987
27.1 电子计算机原理 987
第二十七章 计算机基本知识 987
27.1.2 计算机的组成 988
27.1.3 计算机中数的表示方法 988
27.1.4 计算机系统结构 990
27.2 计算机语言 991
27.2.1 常用的计算机语言 991
27.2.2 语言和文法 993
27.3.3 存贮结构 994
27.3.2 抽象数据结构 994
27.3 数据结构 994
27.3.1 基本概念 994
27.3.4 对于数据的主要处理或操作 995
27.3.5 文件 996
27.4 编译原理 996
27.4.1 基本概念 996
27.4.2 编译过程概述 996
27.5.1 基本概念 996
27.5 操作系统 998
27.5.2 进程及处理机管理 998
27.5.3 作业管理 999
27.5.4 存贮管理 999
27.5.5 设备管理 999
27.5.6 文件管理 999
27.6.4 DBTG系统 1000
27.6.3 数据库系统的构成 1000
27.6 数据库 1000
27.6.2 数据模型 1000
27.6.1 数据库的概念 1000
27.6.5 IMS 1001
27.6.6 关系数据库 1001
27.6.7 数据库的安全性、完整性和并发控制 1001
27.6.8 数据库设计 1001
27.7 软件工程学 1001
27.7.1 基本概念 1002
27.7.2 分析阶段(需求分析和说明阶段) 1002
27.7.3 设计阶段 1002
27.7.4 编写阶段 1002
27.7.5 测试阶段 1002
27.7.6 运行阶段 1003
28.1.1 信源的概念与分类 1004
28.1 信源和信息熵 1004
第二十八章 信息论 1004
28.1.2 离散信源的信息量与熵 1005
28.1.3 熵的数学特性 1006
28.1.4 两个符号的熵与互信息 1007
28.1.5 序列信息的熵 1008
28.1.6 连续随机变量的熵与信息 1009
28.1.7 最大熵定理 1010
28.2 信道与信道容量 1011
28.2.1 信道 1011
28.2.2 无干扰离散信道 1012
28.2.3 单符号信道的容量 1015
28.2.4 多符号信道的容量 1016
28.2.5 多用户信道 1018
数学家译名表 1020
索引 1024