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第一章 代数学 1

1.1 代数运算 1

1.1.1 数系 1

1.1.2 数的基本运算规律 1

1.1.3 指数 1

I 初等数学 1

1.1.4 对数 2

1.1.5 复数 2

1.1.6 乘法与因式分解公式 4

1.1.7 分式 5

1.1.8 比例 6

1.1.9 根式 7

1.1.10 不等式 7

1.2.3 等比级数 9

1.2.4 常用的求和公式 9

1.2.1 等差数列 9

1.2.2 等比数列 9

1.2 数列 9

1.3 排列、组合与二项式定理 10

1.3.1 排列 10

1.3.2 组合 10

1.3.3 二项式定理 11

1.4 一元多项式 12

1.4.1 一元多项式的运算 12

1.4.2 整除 12

1.4.3 最大公因式 13

1.4.4 因式分解定理 15

1.5 二阶、三阶行列式与代数方程 15

1.5.1 二阶、三阶行列式 15

1.5.3 一元二次方程 16

1.5.2 三元一次方程组的解法 16

1.5.4 一元三次方程 17

1.5.5 一元四次方程 17

1.5.6 根与系数的关系 18

第二章 几何学 19

2.1 平面几何学 19

2.1.1 直线、角 19

2.1.2 三角形 20

2.1.3 四边形 21

2.1.4 正多边形 22

2.1.5 圆 23

2.2 立体几何学 25

2.2.1 直线与平面 25

2.2.2 多面体 27

2.2.3 旋转体 29

2.3.1 命题.命题之间的关系 30

2.2.4 立体角 30

2.3 证题法概述 30

2.3.2 证明方法 31

第三章 三角学 36

3.1 平面三角 36

3.1.1 角的两种度量制 36

3.1.2 三角函数的定义和基本关系 36

3.1.3 三角函数的诱导公式.三角函数的图形与特性 39

3.1.4 两角和的三角函数公式.倍角公式与半角公式 43

3.1.5 三角函数的和差与积的关系式 45

3.1.6 三角形基本定理 45

3.1.7 斜三角形解法 46

3.1.8 三角形面积公式 47

3.1.9 反三角函数 48

3.1.10 三角方程 50

3.2.1 球面角.球面二角形.球面三角形 53

3.2 球面三角 53

3.2.2 球面三角形的性质 54

3.2.3 球面三角形的计算公式 55

3.2.4 球面直角三角形解法 56

3.2.5 球面斜角三角形解法 57

II基础数学 60

第四章 解析几何学 60

4.1 笛卡儿直角坐标系 60

4.1.1 笛卡儿直角坐标系 60

4.1.2 两点间的距离 61

4.1.3 分线段为定比的分点的坐标 62

4.1.4 坐标变换 63

4.2 曲线方程与曲面方程 64

4.2.1 基本概念 64

4.2.3 交点与交线 65

4.2.2 曲线的参数方程 65

4.3 平面上的直线 66

4.3.1 平面上的直线方程 66

4.3.2 点到直线的距离.直线的法方程 67

4.3.3 两直线的夹角及平行、垂直条件 67

4.3.4 直线束.三直线共点的条件 68

4.4 二次曲线 68

4.4.1 圆 68

4.4.2 椭圆 69

4.4.3 双曲线 70

4.4.4 抛物线 70

4.4.5 圆锥曲线 72

4.4.6 一般二次曲线 74

4.5 常用的平面曲线 76

4.6 平面、空间中的直线 81

4.6.1 平面方程 81

4.6.3 空间中的直线方程 82

4.6.2 点到平面的距离.平面的法方程 82

4.6.4 直线、平面的相互位置 83

4.7 二次曲面 85

4.7.1 球面 85

4.7.2 椭球面 86

4.7.3 双曲面 87

4.7.4 抛物面 88

4.7.5 柱面 89

4.7.6 锥面 90

4.7.7 一般二次曲面 91

第五章 线性代数学 95

5.1 行列式 95

5.1.1 n阶行列式的定义 95

5.1.2 行列式的性质 96

5.1.3 行列式的计算 98

5.1.4 拉普拉斯展开.行列式的乘法公式 99

5.1.5 范德蒙德行列式与格拉姆行列式 100

5.1.6 连加号Σ与连乘号Π 101

5.2 矩阵 101

5.2.1 n维向量空间 101

5.2.2 向量组的线性关系 102

5.2.3 矩阵及矩阵的秩 104

5.2.4 矩阵的运算 105

5.2.5 矩阵的逆 107

5.2.6 矩阵的分块、初等矩阵 108

5.2.7 几种特殊的矩阵 110

5.3 线性方程组 112

5.3.1 含n个未知量、n个方程的线性方程组 112

5.3.2 一般线性方程组 113

5.4 线性空间 116

5.4.1 线性空间的维数.基与坐标 116

5.5 线性变换 117

5.5.1 线性变换的定义与运算 117

5.4.3 子空间的交、和、直和 117

5.4.2 线性子空间 117

5.5.2 线性变换的矩阵 118

5.5.3 特征值与特征向量 119

5.6 若尔当标准形 122

5.6.1 最小多项式 122

5.6.2 λ矩阵的标准形 123

5.6.3 不变因子与初等因子 123

5.6.4 若尔当标准形 124

5.7 二次型 124

5.7.1 二次型及其矩阵表示 124

5.7.2 标准形 125

5.7.3 二次型的惯性指数 126

5.7.4 正(负)定二次型 127

5.8.2 正规正交基 128

5.8.1 度量矩阵 128

5.8 欧几里得空间 128

5.8.3 正交变换与对称变换 129

5.8.4 实对称矩阵的对角化 129

5.8.5 酉空间 131

第六章 微积分学 132

6.1 分析基础 132

6.1.1 实数 132

6.1.2 数列的极限 134

6.1.3 函数 138

6.1.4 函数的极限 142

6.1.5 无穷小、无穷大的比较 144

6.1.6 函数的连续性 145

6.1.7 Rn中的点集 147

6.1.8 n元函数的极限 148

6.1.9 n元函数的连续性 149

6.2.1 函数的导数与微分 150

6.2 微分学 150

6.2.2 多元函数的偏导数与全微分 154

6.2.3 隐函数 159

6.2.4 微分学基本定理 164

6.3 微分学的应用 168

6.3.1 单元函数微分学的应用 168

6.3.2 多元函数微分学的应用 171

6.4 不定积分 175

6.4.1 基本概念与性质 175

6.4.2 积分法 176

6.4.3 原函数可表为有限形式的几类函数 181

6.4.4 不定积分表 185

6.5 定积分 197

6.5.1 定积分的定义 197

6.5.2 可积函数类 198

6.5.4 定积分的中值定理 199

6.5.3 定积分的性质 199

6.5.5 微积分学基本定理 200

6.5.6 定积分的计算 200

6.6 重积分 201

6.6.1 二重积分 201

6.6.2 三重积分 203

6.6.3 n重积分 206

6.7.2 曲面的面积 208

6.7.1 平面图形的面积 208

6.7 定积分与重积分的应用 208

6.7.3 体积 209

6.7.4 弧长 209

6.7.5 质量 210

6.7.6 重心 210

6.7.7 转动惯量 211

6.8 斯蒂尔杰斯积分 211

6.8.1 有界变差函数 211

6.8.3 斯蒂尔杰斯积分的定义 213

6.8.2 可求长曲线 213

6.8.4 斯蒂尔杰斯积分存在的条件 214

6.8.5 斯蒂尔杰斯积分的性质 214

6.8.6 斯蒂尔杰斯积分的计算 216

6.9 曲线积分与曲面积分 216

6.9.1 第一型曲线积分 216

6.9.2 第二型曲线积分 218

6.9.3 第一型曲面积分 220

6.9.4 第二型曲面积分 222

6.10 级数 225

6.10.1 数项级数与无穷乘积 225

6.10.2 函数项级数 231

6.10.3 幂级数 235

6.10.4 傅里叶级数 239

6.11 广义积分 245

6.11.1 无穷限的广义积分 245

6.11.2 无界函数的广义积分 246

6.11.3 常用的广义积分公式 248

6.12 含参变量积分 249

6.12.1 含参变量的常义积分 249

6.12.2 含参变量广义积分的一致收敛性 250

6.12.3 由含参变量广义积分所确定的函数 250

6.12.4 常用的含参变量积分公式 251

第七章 复变函数论 253

7.1 复平面 253

7.1.1 复平面上曲线的方程 253

7.1.2 复平面上的点集.区域 253

7.1.3 扩张复平面 255

7.2 复变函数 256

7.2.1 复变函数 256

7.2.2 复变函数的极限与连续性 257

7.2.3 复数序列与复数项级数 257

7.2.4 复函数序列与复函数项级数 259

7.3 全纯函数.柯西-黎曼方程 260

7.3.1 复变函数的导数 260

7.3.2 共轭调和函数 261

7.3.3 单叶函数及其反函数 261

7.3.4 多值函数.黎曼面 262

7.4 初等复函数 264

7.4.1 有理函数 264

7.4.2 指数函数 264

7.4.3 三角函数.双曲函数 265

7.4.4 对数函数.幂函数 265

7.4.5 反三角函数 266

7.4.6 初等复函数 266

7.5 复积分.柯西积分定理与柯西积分公式 266

7.5.1 复积分的定义与简单性质 266

7.5.2 柯西积分定理 268

7.5.3 柯西积分公式 269

7.5.4 柯西型积分 270

7.6 全纯函数的级数表示 270

7.6.1 复幂级数 270

7.6.2 泰勒展开式 271

7.6.3 常用的泰勒展开式 272

7.6.4 罗朗展开式 274

7.7 孤立奇点与留数 275

7.7.1 孤立奇点及其分类 275

7.7.2 解析函数在无穷远点的性态 277

7.7.3 留数.留数定理 277

7.7.4 利用留数计算定积分 279

7.7.5 辐角原理 280

7.8 亚纯函数.整函数 281

7.8.1 亚纯函数 281

7.8.2 亚纯函数的部分分式展开 281

7.9.1 解析函数元素 283

7.9 解析开拓 283

7.8.3 整函数的无穷乘积展开 283

7.9.2 解析开拓 284

7.10 保角映射 285

7.10.1 全纯函数与保角映射 285

7.10.2 分式线性映射 286

7.10.3 某些初等函数的映射特性 286

7.10.4 对称原理.上半平面映射为多角形 289

7.10.5 黎曼映射定理.边界对应 289

7.10.6 常用保角映射表 290

7.11 解析函数在解平面狄利克雷问题中的应用 292

7.12 解析函数在流体力学中的应用 293

7.13 解析函数在电磁学与热学中的应用 295

7.14 解析函数在平面弹性理论中的应用 296

8.1.1 有关方程的概念 298

8.1 一般概念 298

第八章 常微分方程论 298

8.1.2 有关方程的解的概念 299

8.2 一阶微分方程 299

8.2.1 存在和唯一性定理 299

8.2.2 一阶微分方程的若干可积类型及其通解 300

8.2.3 奇解及其求法 305

8.3 高阶微分方程 306

8.3.1 n阶正规形微分方程与一阶正规形微分方程组的互化 306

8.3.2 存在和唯一性定理 307

8.3.3 高阶微分方程的若干可积类型及其通解 307

8.4 高阶线性微分方程 309

8.4.1 朗斯基行列式 309

8.4.2 线性微分方程解的结构 310

8.4.3 常系数线性微分方程 312

8.5 二阶微分方程 315

8.5.1 二阶齐次线性微分方程解的定性性质 315

8.4.4 欧拉方程 315

8.5.2 二阶微分方程的若干可积类型及其通解 316

8.5.3 二阶齐次线性微分方程的幂级数解法 318

8.6 线性微分方程组 320

8.6.1 线性微分方程组解的结构 320

8.6.2 常系数线性微分方程组 321

8.7 定性理论与稳定性理论初步 324

8.7.1 解对初值的连续相依性与可微性 324

8.7.2 解对参数的连续相依性与可微性 325

8.7.3 动力系统的一般概念 325

8.7.4 二维定常系统的极限环 326

8.7.5 二维常系数线性微分方程组的奇点 328

8.7.6 稳定性的基本概念 331

8.7.7 稳定性与不稳定性的基本定理 332

8.7.8 齐次常系数线性微分方程组零解的稳定性 333

8.8.1 机械系统的振动 334

8.8 微分方程在力学、电学中的应用 334

8.8.2 简单电路 336

第九章 偏微分方程论 339

9.1 一般概念 339

9.2 一阶偏微分方程 340

9.2.1 一阶线性偏微分方程 340

9.2.2 一阶拟线性偏微分方程 341

9.2.3 一阶非线性偏微分方程 343

9.3.2 两个自变量的一阶线性方程组的分类 346

9.3 一阶线性偏微分方程组 346

9.3.1 特征方程.特征方向.特征曲线 346

9.3.3 狭义双曲型方程组 347

9.4 二阶线性偏微分方程的分类 349

9.4.1 两个自变量的二阶线性偏微分方程的化简和分类 349

9.4.2 n个自变量的二阶线性方程的分类 350

9.5 三类典型的二阶线性偏微分方程 350

9.5.1 一维波动方程与定解条件的提法 351

9.5.2 高维波动方程 352

9.5.3 热传导方程 354

9.5.4 拉普拉斯方程和泊松方程 356

9.6 偏微分方程的分离变量法 357

9.6.1 线性齐次方程和齐次边界条件 358

9.6.2 线性非齐次方程和齐次边界条件 361

9.6.3 齐次化原理 362

9.6.4 非齐次边界条件的处理 364

9.7 拉普拉斯方程的格林函数法 364

9.7.1 格林函数及其性质 364

9.7.2 利用格林函数解拉普拉斯方程的第一边值问题 365

9.7.3 利用格林函数解泊松方程的第一边值问题 369

9.8 拉普拉斯方程的位势方法 369

9.8.1 单层位势.双层位势 369

9.8.2 用位势理论解拉普拉斯方程的边值问题 372

9.9 偏微分方程的积分变换法 373

9.10.1 δ函数及其性质 376

9.10 δ函数和基本解 376

9.10.2 基本解 377

9.11 定解问题的适定性 381

9.11.1 一维波动方程的定解问题的适定性 381

9.11.2 调和函数的极值原理.狄利克雷问题的适定性 382

9.11.3 一维热传导方程定解问题的适定性 383

9.11.4 柯西-柯瓦列夫斯卡娅定理 383

9.12 偏微分方程的差分解法 384

9.12.1 偏导数与差商 384

9.12.2 拉普拉斯方程的差分解法 385

9.12.3 热传导方程的差分解法 388

9.12.4 波动方程的差分解法 389

第十章 微分几何学 391

10.1 平面曲线 391

10.1.1 平面曲线的方程.切线与法线 391

10.1.2 平面曲线的曲率 393

10.1.3 平面曲线族的包络线 395

10.1.4 平面曲线的整体性质 396

10.2 空间曲线 397

10.2.1 空间曲线的切向量、主法向量与从法向量.曲率与挠率 397

10.2.2 弗雷内公式.曲线在一点邻近的性态 399

10.2.3 空间曲线论的基本定理 401

10.3 曲面的参数表示 401

10.3.1 曲面的参数表示 401

10.3.2 曲面的切平面与法向量 402

10.3.3 常用的曲面 402

10.4 曲面的第一、第二基本形式 405

10.4.1 第一基本形式 405

10.4.2 等距对应.共形对应 407

10.4.3 第二基本形式 408

10.4.4 迪潘标线.共轭方向.渐近方向 409

10.5.1 法曲率 410

10.5 曲面上的曲率 410

10.5.2 主曲率 411

10.5.3 平均曲率.全曲率 412

10.6 曲面的球面表示.第三基本形式 414

10.6.1 曲面的球面表示 414

10.6.2 第三基本形式 414

10.7 直纹曲面.可展曲面 415

10.7.1 直纹曲面与可展曲面的构造 415

10.7.2 直纹曲面与可展曲面的性质 417

10.8 曲面论的基本定理 417

10.8.1 曲面的基本公式 417

10.8.2 曲面论的基本定理 418

10.9 测地曲率.测地线 419

10.9.1 测地曲率 419

10.9.2 测地线 420

10.10 曲面上向量的平行移动 421

10.9.3 测地坐标系 421

10.9.4 测地挠率 421

10.11 曲面的一些整体性质 422

第十一章 积分方程论 424

11.1 一般概念 424

11.2 弗雷德霍姆定理 426

11.3 退化核的积分方程 427

11.3.1 退化核 427

11.3.2 退化核的积分方程的解法 427

11.4 逐次逼近法.叠核和预解核 429

11.4.1 逐次逼近法 429

11.4.2 叠核和预解核 429

11.5 对于任何λ的弗雷德霍姆方程 430

11.6 对称核 431

11.6.1 对称核方程的特征值和特征函数 431

11.6.2 对称核按特征函数系的展开式 432

11.6.4 埃尔米特核和斜对称核 433

11.6.3 对称核的分类.梅塞定理 433

11.7 ？型无界核.奇异积分方程 434

11.7.1 核为？型的积分方程 434

11.7.2 奇异积分方程 435

11.8 沃尔泰拉方程 435

11.8.1 第二类沃尔泰拉积分方程和方程组 435

11.8.2 特殊形式的沃尔泰拉方程 437

11.8.3 第一类沃尔泰拉积分方程.阿贝尔方程 438

11.9 积分方程的近似解法 439

11.9.1 数值积分方法 439

11.9.2 近似核方法 440

11.9.3 迭代法 440

11.9.4 变分方法 440

第十二章 变分法 441

12.1 一般概念 441

12.2.1 最简单的变分问题.欧拉方程 443

12.2 固定边界的变分问题 443

12.2.3 含高阶导数的泛函 444

12.2.2 含多个未知函数的泛函 444

12.2.4 多元函数的泛函 445

12.2.5 用参数形式表示的泛函 446

12.3 泛函极值的充分条件 447

12.3.1 平稳曲线场雅科比条件 447

12.3.2 泛函？极值的充分条件 448

12.4 可动边界的变分问题 449

12.4.1 ？型泛函 449

12.4.2 ？型泛函 449

12.4.3 ？型泛函 450

12.5 条件变分问题 450

12.5.1 泛函在约束条件？下的变分问题 450

12.5.2 泛函在约束条件？下的变分问题 451

12.6.1 直接法和极小化序列 452

12.6 变分问题的直接法 452

12.6.2 里兹法 453

12.6.3 欧拉有限差分法 454

12.6.4 康托罗维奇法 455

12.7 力学中的变分原理 456

12.7.1 哈密顿原理 456

12.7.2 最小势能原理 457

12.7.3 变分法和数学物理微分方程 457

第十三章 概率论 459

13.1 基本概念 459

13.1.1 事件 459

13.1.2 古典概型 460

13.1.3 概率空间 461

13.1.4 条件概率 462

13.2.2 离散型随机变量的概率分布 464

13.2.1 随机变量与分布函数的定义 464

13.2 一维随机变量及其分布 464

13.2.3 几种重要的离散型分布 465

13.2.4 连续型随机变量的概率密度 466

13.2.5 几种重要的连续型分布 466

13.2.6 随机变量的函数 468

13.3 多维随机变量及其分布 470

13.3.1 多维随机变量与分布函数 470

13.3.2 边际分布 472

13.3.3 条件分布 473

13.3.4 随机变量的相互独立性 474

13.3.5 随机向量的函数 475

13.3.6 几种重要的随机向量函数的分布 477

13.3.7 随机向量的变换 479

13.4.1 数学期望 481

13.4 一维随机变量的数字特征 481

13.4.2 随机变量函数的数学期望 482

13.4.3 方差 483

13.5 随机向量的数字特征 484

13.5.1 一般概念 484

13.5.2 协方差矩阵.相关系数 484

13.5.3 条件数学期望 486

13.6 母函数与特征函数 487

13.6.1 母函数 487

13.6.2 特征函数的定义及性质 489

13.6.3 逆转公式及唯一性定理 490

13.6.4 分布函数列的弱收敛 490

13.6.5 连续性定理 491

13.6.6 博赫纳-辛钦定理 491

13.6.7 n维随机向量的特征函数 491

13.8 极限定理 498

13.8.1 随机变量的收敛性 498

13.7 常用分布简表 498

13.8.2 大数定律 499

13.8.3 加强的大数定律 499

13.8.4 中心极限定理 500

附录 502

数值表1 泊松分布？的数值表 502

数值表2 ？数值表（x≥0） 504

数值表3 x2分布表 507

数值表4 t分布表 509

第十四章 纯粹数学选题 511

14.1. 集论 511

14.1.1 集 511

14.1.2 集的运算 511

14.1.3 集的关系与运算的图形表示 513

14.1.4 关系 513

14.1.5 映射 514

14.1.7 等价关系与商集 515

14.1.6 积集与幂集 515

14.1.8 偏序关系 516

14.1.9 选择公理及其等价命题 517

14.1.10 基数 517

14.1.11 布尔代数 518

14.1.12 逻辑代数.开关代数 518

14.2 代数结构 519

14.2.1 半群 519

14.2.2 群 520

14.2.3 正规子群.商群 521

14.2.4 循环群.有限群 522

14.2.5 环 522

14.2.6 理想.商环 523

14.2.7 域 524

14.2.8 模.向量空间.代数 524

14.3.1 度量空间 526

14.3.2 度量空间中的开集和闭集 526

14.3 一般拓朴学 526

14.3.3 度量空间到度量空间的连续映射 527

14.3.4 完备度量空间 528

14.3.5 拓扑空间 529

14.3.6 拓扑空间到拓朴空间的连续映射.同胚 530

14.3.7 分离性 530

14.3.8 积拓扑空间 531

14.3.9 商拓扑空间 531

14.3.10 连通性 532

14.3.11 紧性 532

14.3.12 可度量化拓扑空间 534

14.4 勒贝格积分 534

14.4.1 勒贝格外测度 534

14.4.2 勒贝格测度 534

14.4.3 勒贝格可测函数 535

14.4.4 依测度收敛性 536

14.4.5 勒贝格积分 537

14.4.6 勒贝格积分的性质 538

14.4.7 绝对连续函数 539

14.4.8 重积分与累次积分 539

14.5 泛函分析 540

14.5.1 巴拿赫空间的定义与例 540

14.5.2 连续线性算子.对偶空间 542

14.5.3 巴拿赫空间中的收敛性 543

14.5.4 线性泛函分析的基本定理 544

14.5.5 巴拿赫空间之间连续映射的导数 544

14.5.6 希尔伯特空间的定义与例 545

14.5.7 正交投影 546

14.5.8 伴随算子 546

14.5.9 正交系 547

14.5.11 紧算子的谱分析 549

14.5.10 谱 549

14.5.12 广义函数的定义与例 550

14.5.13 广义函数的导数 551

14.5.14 广义函数的卷积与傅里叶变换 553

14.6 微分流形 554

14.6.1 微分流形的定义与例 554

14.6.2 可微映射.微分同胚 556

14.6.3 切空间 557

14.6.4 余切空间 557

14.6.5 微分流形之间的映射的微分与切变换 558

14.6.6 微分子流形 559

14.6.7 定向流形 560

14.6.8 向量场.泊松括号积 560

14.6.9 张量场.微分形式 561

14.6.10 外微分 562

14.6.12 黎曼流形 563

14.6.11 斯托克斯公式 563

第十五章 向量分析.张量分析 565

15.1 向量代数 565

15.1.1 向量及其运算 565

15.1.2 向量的坐标 566

15.1.3 向量的数量积 567

15.1.4 向量的向量积 569

15.2 向量函数的微积分 570

15.2.1 单元向量函数的微分法 570

15.2.2 单元向量函数的积分法 571

15.2.3 多元向量函数的微积分 571

15.3 数量场 572

15.3.1 场 572

15.3.2 数量场的梯度 573

15.3.3 哈密顿算子 573

15.4.1 向量场的散度 574

15.4 向量场 574

III应用数学 575

15.4.2 向量场的旋度 575

15.4.3 场论基本定理 576

15.4.4 几种特殊的向量场 576

15.5 场论中的量在正交曲线坐标系中的表示式 578

15.5.1 正交曲线坐标系 578

15.5.2 场论中的量在正交曲线坐标系中的表示式 579

15.6 向量分析在运动学中的应用 579

15.6.1 质点运动的速度与加速度 579

15.6.2 刚体的运动 581

15.6.3 质点的相对运动 582

15.7 向量分析在动力学中的应用 583

15.7.1 牛顿第二定律与达朗贝尔原理 583

15.7.3 动量矩定理 584

15.7.2 动量定理 584

15.7.4 动能定理 585

15.8 向量分析在电磁学中的应用 586

15.8.1 库伦定律与高斯定理 586

15.8.2 安培-毕奥-萨瓦定律与安培定理 586

15.8.3 法拉第电磁感应定律.麦克斯韦方程组 587

15.9 张量 588

15.9.1 张量概念 588

15.9.2 张量的分量 589

15.9.3 张量的运算 590

15.9.4 外代数 591

15.10 共变微分 592

15.10.1 仿射联络 592

15.10.2 共变微分 592

15.10.3 曲率张量与挠率张量 594

15.11 黎曼空间中的张量分析 594

15.11.2 各种算子的表示式 595

15.11.1 黎曼联络 595

15.11.3 曲率张量的性质 596

15.11.4 平行移动.测地线 596

15.12 张量分析在离散质点系力学中的应用 597

15.12.1 质点的自由运动 597

15.12.2 质点的约束运动 598

15.12.3 质点系的约束运动 599

15.13 张量分析在连续介质力学中的应用 600

15.13.1 应力张量 600

15.13.2 应变张量 600

15.13.3 平衡方程与运动方程 601

15.14 张量分析在相对论中的应用 602

15.14.1 狭义相对论 602

15.14.2 广义相对论 602

16.1 傅里叶积分与傅里叶变换 604

16.1.1 傅里叶积分 604

第十六章 积分变换 604

16.1.2 傅里叶变换概念 605

16.1.3 傅里叶变换的性质 607

16.1.4 卷积与相关函数 608

16.1.5 多重傅里叶变换 610

16.2 傅里叶正弦变换与傅里叶余弦变换 611

16.3 傅里叶核 612

16.4.1 有限正弦变换与有限余弦变换的定义.反演公式 614

16.4 有限傅里叶变换 614

16.4.2 函数的导数的有限傅里叶变换公式 615

16.4.3 用有限傅里叶变换解偏微分方程定解问题的例 616

16.4.4 多重有限傅里叶变换 617

16.5 离散傅里叶变换 619

16.5.1 波形采样 619

16.5.2 离散傅里叶变换对 621

16.5.3 离散卷积与离散相关 624

16.6 快速傅里叶变换 625

16.6.1 矩阵方程与快速傅里叶变算法 625

16.5.4 离散傅里叶变换的性质 625

16.6.2 信号流程图 628

16.7 拉普拉斯变换 629

16.7.1 拉普拉斯变换概念 629

16.7.2 拉普拉斯变换的性质 630

16.7.3 卷积与杜阿梅尔公式 632

16.7.4 拉普拉斯逆变换 633

16.7.5 拉普拉斯变换在解微分方程上的应用 634

16.7.6 二重拉普拉斯变换 635

16.8 汉克尔变换.有限汉克尔变换 636

16.8.1 汉克尔变换 636

16.8.2 汉克尔变换性质 636

16.8.3 有限汉克尔变换 637

16.9 梅林变换.希尔伯特变换 637

16.9.1 梅林变换 637

16.9.2 希尔伯特变换 638

16.10 积分变换简表 639

16.10.1 傅里叶变换简表 639

16.10.2 傅里叶余弦变换简表 641

16.10.3 傅里叶正弦变换简表 642

16.10.4 有限傅里叶余弦变简表 643

16.10.5 有限傅里叶正弦变换简表 644

16.10.6 拉普拉斯变换简表 645

16.10.7 汉克尔变换简表 648

16.10.8 梅林变换简表 650

16.10.9 希尔伯特变换简表 652

第十七章 特殊函数 653

17.1 Γ函数 653

17.1.1 Γ函数定义与递推关系 653

17.1.2 Γ函数的无穷乘积表达式.Γ函数与三角函数的关系 654

17.1.3 Γ函数的积分表达式 655

17.1.4 比内公式.渐近展开.斯特林公式 656

17.2 B函数 657

17.1.5 Γ函数的对数微商.多Γ函数.不完全Γ函数 657

17.3 误差函数.菲涅耳积分 658

17.4 指数积分.对数积分.正弦积分.余弦积分 660

17.5 勒让德函数.勒让德多项式 661

17.5.1 勒让德方程与勒让德函数 661

17.5.2 勒让德多项式的定义.微商表示与积分表示 662

17.5.3 Pn(s)的母函数.Pn(z)的递推公式 664

17.5.4 Pn(x)的正交性.傅里叶-勒让德级数 665

17.5.5 第二类勒让德函数 665

17.5.6 连带勒让德函数及其递推公式 666

17.5.7 Pmn(x)的正交性.按{Pmn(x)}∞n=m？展开 667

17.5.8 #阶球面调和函数及其正交性 668

17.6.1 贝塞尔方程与贝寒尔函数 670

17.6.2 第一类贝塞尔函数及其递推公式 670

17.6 贝塞尔函数 670

17.6.3 半奇数阶贝塞尔函数 672

17.6.4 Ｊv(z)的积分表示.整数阶的贝塞尔函数的母函数 673

17.6.5 Jv(z)的零点 674

17.6.6 贝塞尔函数的正交性.傅里叶-贝塞尔级数 675

17.6.7 第二类贝塞尔函数 676

17.6.8 第三类贝塞尔函数 678

17.6.9 修正贝塞尔函数 678

17.6.10 开耳芬函数 680

17.6.11 球贝塞尔函数 681

17.6.12 各类贝塞尔函数的渐近展开式 682

17.7 埃尔米特函数与埃尔米特多项式 682

17.8 拉盖尔函数与拉盖尔多项式 684

17.9 切比雪夫多项式 685

17.9.1 第一类切比雪夫多项式 685

17.10 超几何函数 687

17.10.1 超几何方程 687

17.9.2 第二类切比雪夫多项式 687

17.10.2 超几何级数与超几何函数 688

17.10.3 雅科比多项式 689

17.10.4 超几何函数的积分表示 689

17.10.5 用超几何函数表示的富克斯型方程解的例 690

17.11 合流超几何函数 690

17.11.1 合流超几何方程与合流超几何函数 690

17.11.2 合流超几何函数的积分表示 691

17.11.3 惠特克方程与惠特克函数 691

17.11.4 抛物柱面函数 693

17.12 椭圆积分与椭圆函数 694

17.12.1 椭圆积分 694

17.12.2 不完全椭圆积分与完全椭圆积分 695

17.12.3 椭圆函数 696

17.12.4 魏尔斯特拉斯椭圆函数，ち函数，σ函数 697

17.12.6 雅科比椭圆函数 699

17.12.5 θ函数 699

第十八章 数值分析 702

18.1 误差和有效数字 702

18.2 插值法 702

18.2.1 拉格朗日插值 702

18.2.2 埃特金逐步插值 703

18.2.3 牛顿插值 703

18.2.4 等距节点插值 704

18.2.6 分段线性插值 706

18.2.7 分段三次埃尔米特插值 706

18.2.8 三次样条插值 707

18.3 数值逼近 708

18.3.1 引论 708

18.3.2 魏尔斯特拉斯定理 709

18.3.3 最佳一致逼近多项式 709

18.3.4 切比雪夫多项式 710

18.3.5 切比雪夫多项式在数值逼近的领域里应用举例 711

18.3.6 线性内积空间的最佳逼近 712

18.3.7 函数的最佳平方逼近 714

18.3.8 正交多项式 714

18.3.9 用勒让德多项式作平方逼近 715

18.3.10 函数按切比雪夫多项式展开 716

18.3.11 曲线拟合的最小二乘法 717

18.3.12 用正交函数作最小二乘拟合 718

18.4.1 机械求导方法 719

18.4 数值微分 719

18.4.2 插值型的求导公式 720

18.4.3 样条求导 721

18.5 数值积分 721

18.5.1 数值积分的基本概念 721

18.5.2 牛顿-科茨公式 722

18.5.3 复化求积公式 723

18.5.4 高斯公式 724

18.6.1 一阶方程 725

18.6 常微分方程的数值解法 725

18.6.2 一阶方程组 729

18.6.3 化高阶方程为一阶方程组 731

18.6.4 二阶线性方程边值问题的差分方法 732

18.7 方程的近似解 733

18.7.1 二分法 733

18.7.2 弦线法(比例法) 733

18.7.3 切线法(牛顿法) 734

18.7.4 迭代法 735

18.7.5 代数方程求根 735

18.8 解线性方程组的直接方法 738

18.8.1 高斯消去法 738

18.8.2 高斯主元素消去法 741

18.8.3 高斯-若尔当消去法 741

18.8.4 LU分解法 742

18.8.5 LDLT分解法 744

18.8.6 平方根法 745

18.8.7 追赶法 746

18.9 解线性方程组的迭代法 747

18.9.1 基本概念 747

18.9.2 雅科比迭代法 748

18.9.3 高斯-塞德尔迭代法 749

18.9.4 超松弛迭代法 750

18.10 矩阵的特征值与特征向量计算 751

18.10.1 一些代数知识 751

18.10.2 幂法 752

18.10.3 反幂法 754

18.10.4 QR方法 755

18.10.5 雅科比方法 756

18.10.6 豪斯荷尔德方法 758

18.10.7 对称三对角阵的特征值计算 761

19.1.1 生成函数的代数运算 763

第十九章 组合论 763

19.1 生成函数 763

19.1.2 生成函数的分析运算 770

19.1.3 普生成函数与指数生成函数间的关系 772

19.2 复合函数的高阶导数 773

19.3 斯特林数与拉赫数 775

19.3.1 斯特林数 775

19.3.2 拉赫数 778

19.4 伯努利数与贝尔数 778

19.4.1 伯努利数 778

19.4.2 贝尔数 779

19.5 伯努利多项式.贝尔多项式.求和公式 779

19.5.1 伯努利多项式 779

19.5.2 贝尔多项式 781

19.5.3 求和公式 781

19.6.1 基本概念 782

19.6 反演公式 782

19.6.2 反演公式 784

19.6.3 二项式型多项式列 786

19.7 容斥原理 788

19.7.1 一些记号 788

19.7.2 容斥原理 789

19.7.3 容斥原量的应用举例 790

19.8 递归关系 790

19.8.1 有关递归关系的一些基本概念 790

19.8.2 一元线性递归关系 791

19.8.3 非线性递归关系 792

19.8.4 阿贝尔恒等式 792

19.8.5 拉姆齐定理，拉姆齐数及其应用 793

19.9 (0，1)矩阵 795

19.9.1 基本概念 795

19.9.2 积和式与关联矩阵的性质 796

19.10 线秩和项秩 797

19.10.1 线秩和项秩 797

19.10.2 双随机矩阵 798

第二十章 图论 799

20.1 基本概念 799

20.1.1 图与子图 799

20.1.2 图的运算 801

20.2 通路与回路 802

20.2.1 顶点的度 802

20.2.2 通路与回路 803

20.2.3 赋权图与最短通路 804

20.3 E图与H图 805

20.3.1 E图 805

20.3.2 H图 805

20.4 树与割集 806

20.4.1 树与生成树 806

20.4.2 连枝集与基本回路集 807

20.5 图的矩阵表示 808

20.5.1 邻接矩阵 808

20.4.3 割集与断集 808

20.5.2 关联矩阵 809

20.5.3 回路矩阵 810

20.5.4 割集矩阵 812

20.6 平面图 813

20.6.1 平面图 813

20.6.2 对偶图 814

20.7 网络流 815

20.7.1 网络与流 815

20.7.2 标号算法 816

21.1 随机过程的概念 818

21.1.1 随机过程的定义 818

第二十一章 随机过程论 818

21.1.2 随机过程的分布函数 819

21.1.3 随机过程的数字特征 820

21.1.4 两个或两个以上随机过程的联合分布和数字特征 820

21.2 马尔科夫过程 821

21.2.1 马尔科夫过程的定义 821

21.2.2 马尔科夫链 822

21.2.3 时间连续、状态离散的马尔科夫过程 825

21.2.4 扩散过程 827

21.3 平稳随机过程 829

21.3.1 平稳随机过程的定义 829

21.3.2 平稳随机过程的数字特征 829

21.3.3 各态历经性 830

21.3.4 相关函数的性质 832

21.3.5 平稳过程的功率谱密度 833

22.1 抽样分布 836

22.1.1 基本概念 836

第二十二章 数理统计 836

22.1.2 经验分布 837

22.1.3 抽样分布 838

22.2 参数估计 842

22.2.1 点估计 842

22.2.2 点估计的评价标准 843

22.2.3 区间估计 845

22.2.4 随机参数的估计 848

22.3.2 参数假设检验 851

22.3 假设检验 851

22.3.1 假设检验的原理与基本步骤 851

22.3.3 非参数假设检验 856

22.4 线性模型 859

22.4.1 基本概念 859

22.4.2 回归分析 860

22.4.3 方差分析 864

23.1.2 排队模型的符号表示 868

23.1.1 服务系统的分类与特征 868

第二十章 运筹学 868

23.1 排队论 868

23.1.3 服务系统的运行指标 869

23.1.4 状态概率及其求解的方法 869

23.1.5 排队论中常用的事件流的概率分布 870

23.1.6 单通道损失制(M/M/1/0) 871

23.1.7 双通道损失制(M/M/n/0) 872

23.1.8 单通道等待制(M/M/1) 873

23.1.9 双通道等待制(M/M/n) 874

23.1.10 单通道混合制(M/M/1/m) 876

23.1.11 双通道混合制(M/M/n/m) 878

23.1.12 M/G/1模型 879

23.1.13 M/D/1模型，M/E4/1模型 880

23.1.14 排队系统的最优化 881

23.2.1 决策模型 883

23.2.2 确定型决策问题 883

23.2 决策论 883

23.2.3 风险型决策问题 884

23.2.4 不确定型决策问题 887

23.3 对策论 891

23.3.1 基本概念 891

23.3.2 矩阵对策的数学模型 891

23.3.3 矩阵对策的最优策略 892

23.3.4 混合策略与混合扩充 893

23.3.5 矩阵对策的求解方法 897

23.4 存贮论 901

23.4.1 基本概念 901

23.4.2 确定性存贮模型 901

23.4.3 随机性存贮模型 903

24.1.2 系统的方程 907

24.1.1 系统的状态 907

24.1 基本概念 907

第二十四章-控制理论 907

24.1.3 最优控制问题 909

24.1.4 闭环控制与开环控制 911

24.2 线性状态方程的解 911

24.2.1 时变系统的解 911

24.2.2 转移矩阵 912

24.2.3 连续状态方程的离散化 912

24.2.4 离散状态方程的解 913

24.3 线性系统的完全能控性与完全能观测性 915

24.3.1 连续系统的能控性与能观测性 915

24.3.2 离散系统的能控性与能观测性 917

24.3.3 能控性与能观测性的对偶关系 918

24.4 动态规划方法 919

24.4.1 用动态规划解离散型最优控制问题的方法 919

24.4.2 离散型随机线性二次最优控制问题的解法 920

24.4.4 连续型线性二次最优控制问题的解法 921

24.4.3 连续系统的哈密顿--雅可比-贝尔曼方程 921

24.5.1 连续系统的最小值原理 922

24.5 最小值原理 922

24.5.2 离散系统的最小值原理 923

24.6 随机系统的最优控制 924

24.6.1 基本概念 924

24.6.2 卡尔曼滤波方法 925

24.6.3 随机控制系统的分离定理 926

第二十五章 最优化方法 929

25.1 线性规划 929

25.1.1 线性规划问题的一般形式 929

25.1.2 化线性规划的一般形式为标准形式 930

25.1.3 线性规划问题解的概念 931

25.1.4 线性规划问题的基本理论 933

25.1.5 单纯形法 934

25.1.6 人工变量求可行基的解法 939

25.1.8 对偶单纯形法 945

25.1.7 线性规划的对偶理论 945

25.2 非线性规划 948

25.2.1 非线性规划的标准型 948

25.2.2 凸函数 949

25.2.3 最优化条件 949

25.2.4 无约束最优化问题的解法 950

25.2.5 有约束最优化问题的解法 954

第二十六章 有限元方法 959

26.1 用有限元方法解题的过程 959

26.1.1 二阶常微分方程的边值问题 959

26.1.2 二维泊松方程第三边值问题 962

26.2 插值与基函数 965

26.2.1 一维情形 966

26.2.2 二维情形(三角形剖分) 967

26.2.3 二维情形(矩形剖分) 973

26.2.4 三维情形(四面体剖分) 976

26.2.5 三维情形(六面体剖分) 978

26.3 板的变曲问题 980

26.3.1 协调性问题 980

26.3.2 板的弯曲方程 980

26.3.3 有限元解法 982

26.3.4 非协调元 984

26.4 非定常问题的有限元解法 985

27.1.1 计算机的种类 987

27.1 电子计算机原理 987

第二十七章 计算机基本知识 987

27.1.2 计算机的组成 988

27.1.3 计算机中数的表示方法 988

27.1.4 计算机系统结构 990

27.2 计算机语言 991

27.2.1 常用的计算机语言 991

27.2.2 语言和文法 993

27.3.3 存贮结构 994

27.3.2 抽象数据结构 994

27.3 数据结构 994

27.3.1 基本概念 994

27.3.4 对于数据的主要处理或操作 995

27.3.5 文件 996

27.4 编译原理 996

27.4.1 基本概念 996

27.4.2 编译过程概述 996

27.5.1 基本概念 996

27.5 操作系统 998

27.5.2 进程及处理机管理 998

27.5.3 作业管理 999

27.5.4 存贮管理 999

27.5.5 设备管理 999

27.5.6 文件管理 999

27.6.4 DBTG系统 1000

27.6.3 数据库系统的构成 1000

27.6 数据库 1000

27.6.2 数据模型 1000

27.6.1 数据库的概念 1000

27.6.5 IMS 1001

27.6.6 关系数据库 1001

27.6.7 数据库的安全性、完整性和并发控制 1001

27.6.8 数据库设计 1001

27.7 软件工程学 1001

27.7.1 基本概念 1002

27.7.2 分析阶段(需求分析和说明阶段) 1002

27.7.3 设计阶段 1002

27.7.4 编写阶段 1002

27.7.5 测试阶段 1002

27.7.6 运行阶段 1003

28.1.1 信源的概念与分类 1004

28.1 信源和信息熵 1004

第二十八章 信息论 1004

28.1.2 离散信源的信息量与熵 1005

28.1.3 熵的数学特性 1006

28.1.4 两个符号的熵与互信息 1007

28.1.5 序列信息的熵 1008

28.1.6 连续随机变量的熵与信息 1009

28.1.7 最大熵定理 1010

28.2 信道与信道容量 1011

28.2.1 信道 1011

28.2.2 无干扰离散信道 1012

28.2.3 单符号信道的容量 1015

28.2.4 多符号信道的容量 1016

28.2.5 多用户信道 1018

数学家译名表 1020

索引 1024