第一章 变换群与几何学 1
1 变换与变换群 1
1.1 映射与变换 1
1.2 映射的乘积与逆 4
1.3 变换的不动元素与不动子集 5
1.4 变换群 6
习题 7
2.1 仿射坐标和仿射坐标变换 8
2 仿射坐标和仿射平面 8
2.2 在仿射平面上的几个常用结论 11
2.3 仿射平面A2的定义 13
习题 14
3 仿射变换 15
3.1 透视仿射变换 15
3.2 仿射变换的定义与基本性质 17
3.3 仿射变换的表达式和例子 18
3.4 关于仿射变换的几个重要定理 21
习题 23
4.1 欧氏平面E2的定义 24
4 欧氏平面和保距变换 24
4.2 保距变换的定义和表达式 25
4.3 保距变换的直观实现 27
4.4 保距变换的性质 28
习题 29
5 几何学与变换群的关系 30
5.1 欧氏几何与欧氏群 30
5.2 克莱因观点介绍 31
5.3 仿射群与仿射几何 32
习题 33
1.1 中心射影的直观讨论 34
第二章 射影平面 34
1 扩大仿射平面 34
1.2 点的齐次仿射坐标 37
1.3 直线的齐次仿射坐标方程 38
习题 41
2 射影平面 42
2.1 射影平面和它的性质 42
2.2 射影平面P2的定义和它的类型 44
2.3 射影坐标和射影坐标变换 45
2.4 直线与点列 一维射影坐标 50
2.5 德萨格定理 53
习题 56
3 交比与调和共轭 57
3.1 在扩大欧氏平面上的直观讨论 57
3.2 交比的定义和计算 59
3.3 交比与射影坐标的关系 64
3.4 交比的分组 65
3.5 调和共轭 67
3.6 完全四点形的调和性质 69
习题 71
4.1 点坐标与线坐标 73
4 对偶原理 73
4.2 对偶原理 75
4.3 几种重要的对偶图形和命题 79
习题 83
第三章 射影变换 86
1 一维射影变换 86
1.1 透视对应 86
1.2 一维基本形之间的射影对应 89
1.3 射影对应与透视的关系 92
1.4 一维射影变换 95
1.5 对合 97
习题 100
2 直射变换 102
2.1 直射变换的定义和表达式 102
2.2 射影群和基本射影性质 104
2.3 关于直射的基本定理 107
2.4 直射变换的不动元素 112
2.5 同调与直移 114
习题 115
3.1 对射变换 117
3 对射变换与配极 117
3.2 配极变换 118
3.3 共轭元素与配极原则 120
3.4 配极的分类与自极三点形 123
3.5 配极诱导的对合 127
习题 131
第四章 二次曲线的射影理论 134
1 配极变换与二次曲线 134
1.1 二阶曲线与二级曲线 134
1.2 极点与极线 二次曲线 136
1.3 二次曲线方程的简化形式 141
习题 143
2 一维射影对应与二次曲线 144
2.1 二次曲线的射影定义 145
2.2 帕斯卡定理与布利安香定理 152
习题 156
3 二次曲线上的射影变换 157
3.1 二阶曲线上的射影变换 157
3.2 二阶曲线上的对合 160
习题 162
4.1 退化二次曲线和奇异点 163
4 二次曲线的射影分类 163
4.2 二次曲线的射影分类 165
习题 171
第五章 射影几何的子几何 172
1 无穷远直线与仿射几何 172
1.1 扩大仿射平面和仿射变换 172
1.2 仿射性质 173
1.3 二次曲线的仿射理论 175
习题 186
2.1 虚元素 复射影平面 187
2 圆环点与欧氏几何 187
2.2 绝对对合与直角坐标 189
2.3 保距变换与欧氏度量 190
2.4 二次曲线的度量性质 196
习题 201
3 实二次曲线与双曲几何 202
3.1 自同构群与射影测度 202
3.2 第五公设与罗巴切夫斯基几何的产生 205
3.3 实二次曲线与双曲运动群 207
3.4 双曲度量 209
3.5 罗巴切夫斯基几何的克莱因模型 213
习题 217
4 射影几何的其他子几何 218
4.1 虚二次曲线和椭圆几何 218
4.2 伽利略几何简介 221
4.3 闵科夫斯基几何简介 222
习题 223
第六章 几何基础介绍 224
1 公理法简介 224
1.1 公理法的产生 224
1.2 公理法的结构 226
1.3 公理系统的和谐性、独立性和完备性 227
2 欧氏平面几何的公理系统 228
2.1 绝对几何 229
2.2 欧氏几何与非欧几何 235
习题 238
3 平面射影几何的公理系统 239
3.1 平面射影几何的一个公理系统 239
3.2 平面射影几何公理系统的算术模型 243
4 有限几何介绍 249
习题 249
4.1 有限域GF(q)与有限射影平面PG(2，q) 250
4.2 有限射影平面PG(2，2)介绍 251
4.3 有限仿射平面AG(2，2)介绍 252
5 射影几何的历史概述 253
5.1 射影几何的萌芽时期 253
5.2 射影几何创立初期 254
5.3 射影几何的形成和繁荣时期 254
5.4 射影几何在中国 257
1 高等几何对中学几何的一般指导意义 259
1.1 几何学的对象和分类 259
第七章 高等几何与中学几何 259
1.2 对坐标系的认识 260
1.3 关于直线形 261
1.4 关于二次曲线理论 262
1.5 综合法与解析法 264
讨论题 265
2 中学几何命题的发现 265
2.1 从已知射影命题设计出初等命题 265
2.2 变换已知命题，得出新命题 268
3.1 仿射变换的应用 274
3 用高等几何方法证明中学几何题 274
习题 274
3.2 射影变换的应用 277
3.3 关于点线结合例题的证明 280
习题 281
4 直尺作图 281
4.1 利用完全四点形的调和性质作图 282
4.2 有关不可到达的点和直线的作图 283
4.3 有关二次曲线的作图 285
习题 288
参考书目 289