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第一章 变换群与几何学 1

1 变换与变换群 1

1.1 映射与变换 1

1.2 映射的乘积与逆 4

1.3 变换的不动元素与不动子集 5

1.4 变换群 6

习题 7

2.1 仿射坐标和仿射坐标变换 8

2 仿射坐标和仿射平面 8

2.2 在仿射平面上的几个常用结论 11

2.3 仿射平面A2的定义 13

习题 14

3 仿射变换 15

3.1 透视仿射变换 15

3.2 仿射变换的定义与基本性质 17

3.3 仿射变换的表达式和例子 18

3.4 关于仿射变换的几个重要定理 21

习题 23

4.1 欧氏平面E2的定义 24

4 欧氏平面和保距变换 24

4.2 保距变换的定义和表达式 25

4.3 保距变换的直观实现 27

4.4 保距变换的性质 28

习题 29

5 几何学与变换群的关系 30

5.1 欧氏几何与欧氏群 30

5.2 克莱因观点介绍 31

5.3 仿射群与仿射几何 32

习题 33

1.1 中心射影的直观讨论 34

第二章 射影平面 34

1 扩大仿射平面 34

1.2 点的齐次仿射坐标 37

1.3 直线的齐次仿射坐标方程 38

习题 41

2 射影平面 42

2.1 射影平面和它的性质 42

2.2 射影平面P2的定义和它的类型 44

2.3 射影坐标和射影坐标变换 45

2.4 直线与点列 一维射影坐标 50

2.5 德萨格定理 53

习题 56

3 交比与调和共轭 57

3.1 在扩大欧氏平面上的直观讨论 57

3.2 交比的定义和计算 59

3.3 交比与射影坐标的关系 64

3.4 交比的分组 65

3.5 调和共轭 67

3.6 完全四点形的调和性质 69

习题 71

4.1 点坐标与线坐标 73

4 对偶原理 73

4.2 对偶原理 75

4.3 几种重要的对偶图形和命题 79

习题 83

第三章 射影变换 86

1 一维射影变换 86

1.1 透视对应 86

1.2 一维基本形之间的射影对应 89

1.3 射影对应与透视的关系 92

1.4 一维射影变换 95

1.5 对合 97

习题 100

2 直射变换 102

2.1 直射变换的定义和表达式 102

2.2 射影群和基本射影性质 104

2.3 关于直射的基本定理 107

2.4 直射变换的不动元素 112

2.5 同调与直移 114

习题 115

3.1 对射变换 117

3 对射变换与配极 117

3.2 配极变换 118

3.3 共轭元素与配极原则 120

3.4 配极的分类与自极三点形 123

3.5 配极诱导的对合 127

习题 131

第四章 二次曲线的射影理论 134

1 配极变换与二次曲线 134

1.1 二阶曲线与二级曲线 134

1.2 极点与极线 二次曲线 136

1.3 二次曲线方程的简化形式 141

习题 143

2 一维射影对应与二次曲线 144

2.1 二次曲线的射影定义 145

2.2 帕斯卡定理与布利安香定理 152

习题 156

3 二次曲线上的射影变换 157

3.1 二阶曲线上的射影变换 157

3.2 二阶曲线上的对合 160

习题 162

4.1 退化二次曲线和奇异点 163

4 二次曲线的射影分类 163

4.2 二次曲线的射影分类 165

习题 171

第五章 射影几何的子几何 172

1 无穷远直线与仿射几何 172

1.1 扩大仿射平面和仿射变换 172

1.2 仿射性质 173

1.3 二次曲线的仿射理论 175

习题 186

2.1 虚元素 复射影平面 187

2 圆环点与欧氏几何 187

2.2 绝对对合与直角坐标 189

2.3 保距变换与欧氏度量 190

2.4 二次曲线的度量性质 196

习题 201

3 实二次曲线与双曲几何 202

3.1 自同构群与射影测度 202

3.2 第五公设与罗巴切夫斯基几何的产生 205

3.3 实二次曲线与双曲运动群 207

3.4 双曲度量 209

3.5 罗巴切夫斯基几何的克莱因模型 213

习题 217

4 射影几何的其他子几何 218

4.1 虚二次曲线和椭圆几何 218

4.2 伽利略几何简介 221

4.3 闵科夫斯基几何简介 222

习题 223

第六章 几何基础介绍 224

1 公理法简介 224

1.1 公理法的产生 224

1.2 公理法的结构 226

1.3 公理系统的和谐性、独立性和完备性 227

2 欧氏平面几何的公理系统 228

2.1 绝对几何 229

2.2 欧氏几何与非欧几何 235

习题 238

3 平面射影几何的公理系统 239

3.1 平面射影几何的一个公理系统 239

3.2 平面射影几何公理系统的算术模型 243

4 有限几何介绍 249

习题 249

4.1 有限域GF(q)与有限射影平面PG(2，q) 250

4.2 有限射影平面PG(2，2)介绍 251

4.3 有限仿射平面AG(2，2)介绍 252

5 射影几何的历史概述 253

5.1 射影几何的萌芽时期 253

5.2 射影几何创立初期 254

5.3 射影几何的形成和繁荣时期 254

5.4 射影几何在中国 257

1 高等几何对中学几何的一般指导意义 259

1.1 几何学的对象和分类 259

第七章 高等几何与中学几何 259

1.2 对坐标系的认识 260

1.3 关于直线形 261

1.4 关于二次曲线理论 262

1.5 综合法与解析法 264

讨论题 265

2 中学几何命题的发现 265

2.1 从已知射影命题设计出初等命题 265

2.2 变换已知命题，得出新命题 268

3.1 仿射变换的应用 274

3 用高等几何方法证明中学几何题 274

习题 274

3.2 射影变换的应用 277

3.3 关于点线结合例题的证明 280

习题 281

4 直尺作图 281

4.1 利用完全四点形的调和性质作图 282

4.2 有关不可到达的点和直线的作图 283

4.3 有关二次曲线的作图 285

习题 288

参考书目 289