第一章 连续体边值问题和有限差分法 1
第1.1节 引言 1
第1.2节 连续体问题的例题 2
第1.3节 一维有限差分 5
1．导数的有限差分近似式 6
2．用有限差分法解微分方程 10
习题 1.1～1.7 13
第1.4节 导数边界条件 15
习题 1.8～1.10 18
第1.5节 非线性问题 19
习题 1.11～1.13 22
第1.6节 高维有限差分 23
习题 1.14～1.19 29
第1.7节 含不规则形状区域的问题 32
第1.8节 高维非线性问题 34
第1.9节 逼近和收敛 34
第1.10节 结束语 36
习题 1.20～1.23 37
参考文献 38
提高读物 39
第二章 加权残数法：连续试探函数的应用 40
第2.1节 引言——试探函数近似法 40
1．函数的点拟合 41
2．傅立叶正弦级数 43
第2.2节 加权残数近似法 44
1．配点法 45
2．子域法 46
3．伽辽金法 46
4．其它权函数 48
习题 2.1～2.3 51
第2.3节 应用试探函数—加权残数形式逼近微分方程的解。选择满足边界条件的试探函数 51
习题 2.4～2.8 60
第2.4节 同时逼近微分方程的解和边界条件 61
习题 2.9～2.12 65
第2.5节 自然边界条件 67
1．热传导方程的自然边界条件 69
习题 2.13～2.18 74
第2.6节 边界解法 76
第2.7节 微分方程组 80
习题 2.19～2.21 93
第2.8节 非线性问题 94
习题 2.22～2.25 98
第2.9节 结束语 98
参考文献 99
提高读物 100
第三章 分片试探函数和有限元法 101
第3.1节 引言——有限元法概念 101
第3.2节 局部定义的典型窄基形函数 102
第3.3节 微分方程近似解和连续性要求 108
第3.4节 弱列式和伽辽金法 111
第3.5节 一维问题 112
习题 3.1～3.10 129
第3.6节 标准离散系统。方程装配过程的物理模拟 129
习题 3.11～3.12 137
第3.7节 有限元概念在二维和一维问题中的推广 138
1．概述 138
2．线性三角形单元 138
3．双线性矩形单元 142
4．线性三维单元 144
第3.8节 有限元法应用于二维热传导问题 145
1．三角形单元 146
2．矩形单元 149
习题 3.13～3.19 160
第3.9节 三角形单元用于二维弹性应力分析 163
习题 3.20～3.21 167
第3.10节 有限差分法是有限元法的特例吗？ 167
第3.11节 结束语 171
参考文献 173
提高读物 174
第四章 高次有限元近似法 175
第4.1节 引言 175
第4.2节 试探函数中多项式的幂次与收敛率 176
第4.3节 分片试验 178
第4.4节 具C0阶连续的一维单元标准高次形函数 178
习题 4.1～4.7 184
第4.5节 具有C0阶连续的一维单元高次层次形函数 185
1．概述 185
2．层次多项式 187
3．几乎正交的层次多项式 189
习题 4.8～4.12 193
第4.6节 二维矩形单元高次形函数 193
第4.7节 二维三角形单元形函数 201
1．标准型形函数——面积坐标 201
2．层次型形函数 204
第4.8节 三维形函数 205
第4.9节 结束语 206
习题 4.13～4.21 207
参考文献 208
提高读物 208
第五章 映射和数值积分 209
第5.1节 映射的概念 209
1．概述 209
2．参数映射 215
习题 5.1～5.11 218
第5.2节 数值积分 222
1．概述 222
2．一维高斯求积公式 225
3．二维和三维高斯求积法 228
习题 5.12～5.16 231
第5.3节 其它的映射 231
1．概述 231
2．混合函数映射 232
3．采用解辅助方程的映射 234
习题 5.17～5.20 235
4．无限元 237
习题 5.21～5.22 245
第5.4节 网格生成与结论 246
参考文献 248
提高读物 248
第六章 变分法 250
第6.1节 引言 250
第6.2节 变分原理 250
习题 6.1～6.3 255
第6.3节 自然变分原理的建立 256
1．对称算子 256
习题 6.4～6.7 258
2．对称算子的变分原理 258
习题 6.8～6.12 263
第6.4节 用瑞利—里兹法求微分方程的近似解 265
习题 6.13～6.16 268
第6.5节 拉格朗日乘子的应用 269
习题 6.17～6.19 271
1．拉格朗日乘子的物理意义及修正 272
的变分原理 272
习题 6.20～6.22 275
第6.6节 广义变分原理 276
第6.7节 罚函数 277
习题 6.23～6.25 280
第6.8节 最小二乘法 280
习题 6.26～6.27 286
第6.9节 结束语 286
参考文献 288
提高读物 288
第七章 部分离散化和非稳态问题 289
第7.1节 引言 289
第7.2节 边值问题的部分离散化 289
习题 7.1～7.3 292
第7.3节 非稳态问题的部分离散化 293
习题 7.4～7.8 298
第7.4节 解析法 299
1．二阶方程组的自由响应 299
2．一阶方程组的自由响应 301
3．模态分解的瞬时响应 301
习题 7.9～7.11 306
第7.5节 时间域的有限元解法 306
1．一阶方程组 307
2．一阶方程组的特殊格式 310
3．一阶方程组的多点格式 313
4．二点格式的稳定性 317
习题 7.12～7.16 323
5．二阶方程组 324
6．二阶方程组中三点格式的稳定性 328
7．非线性的非稳态问题 331
习题 7.17～7.23 332
参考文献 333
提高读物 334
第八章 广义有限元误差估计与结论 335
第8.1节 广义有限元法 335
第8.2节 数值解中的离散误差 336
第8.3节 离散误差 337
第8.4节 离散误差估计 338
习题 8.1～8.3 346
第8.5节 结束语 347
参考文献 348
提高读物 349
索引 350