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第一章 连续体边值问题和有限差分法 1

第1.1节 引言 1

第1.2节 连续体问题的例题 2

第1.3节 一维有限差分 5

1．导数的有限差分近似式 6

2．用有限差分法解微分方程 10

习题 1.1～1.7 13

第1.4节 导数边界条件 15

习题 1.8～1.10 18

第1.5节 非线性问题 19

习题 1.11～1.13 22

第1.6节 高维有限差分 23

习题 1.14～1.19 29

第1.7节 含不规则形状区域的问题 32

第1.8节 高维非线性问题 34

第1.9节 逼近和收敛 34

第1.10节 结束语 36

习题 1.20～1.23 37

参考文献 38

提高读物 39

第二章 加权残数法：连续试探函数的应用 40

第2.1节 引言——试探函数近似法 40

1．函数的点拟合 41

2．傅立叶正弦级数 43

第2.2节 加权残数近似法 44

1．配点法 45

2．子域法 46

3．伽辽金法 46

4．其它权函数 48

习题 2.1～2.3 51

第2.3节 应用试探函数—加权残数形式逼近微分方程的解。选择满足边界条件的试探函数 51

习题 2.4～2.8 60

第2.4节 同时逼近微分方程的解和边界条件 61

习题 2.9～2.12 65

第2.5节 自然边界条件 67

1．热传导方程的自然边界条件 69

习题 2.13～2.18 74

第2.6节 边界解法 76

第2.7节 微分方程组 80

习题 2.19～2.21 93

第2.8节 非线性问题 94

习题 2.22～2.25 98

第2.9节 结束语 98

参考文献 99

提高读物 100

第三章 分片试探函数和有限元法 101

第3.1节 引言——有限元法概念 101

第3.2节 局部定义的典型窄基形函数 102

第3.3节 微分方程近似解和连续性要求 108

第3.4节 弱列式和伽辽金法 111

第3.5节 一维问题 112

习题 3.1～3.10 129

第3.6节 标准离散系统。方程装配过程的物理模拟 129

习题 3.11～3.12 137

第3.7节 有限元概念在二维和一维问题中的推广 138

1．概述 138

2．线性三角形单元 138

3．双线性矩形单元 142

4．线性三维单元 144

第3.8节 有限元法应用于二维热传导问题 145

1．三角形单元 146

2．矩形单元 149

习题 3.13～3.19 160

第3.9节 三角形单元用于二维弹性应力分析 163

习题 3.20～3.21 167

第3.10节 有限差分法是有限元法的特例吗？ 167

第3.11节 结束语 171

参考文献 173

提高读物 174

第四章 高次有限元近似法 175

第4.1节 引言 175

第4.2节 试探函数中多项式的幂次与收敛率 176

第4.3节 分片试验 178

第4.4节 具C0阶连续的一维单元标准高次形函数 178

习题 4.1～4.7 184

第4.5节 具有C0阶连续的一维单元高次层次形函数 185

1．概述 185

2．层次多项式 187

3．几乎正交的层次多项式 189

习题 4.8～4.12 193

第4.6节 二维矩形单元高次形函数 193

第4.7节 二维三角形单元形函数 201

1．标准型形函数——面积坐标 201

2．层次型形函数 204

第4.8节 三维形函数 205

第4.9节 结束语 206

习题 4.13～4.21 207

参考文献 208

提高读物 208

第五章 映射和数值积分 209

第5.1节 映射的概念 209

1．概述 209

2．参数映射 215

习题 5.1～5.11 218

第5.2节 数值积分 222

1．概述 222

2．一维高斯求积公式 225

3．二维和三维高斯求积法 228

习题 5.12～5.16 231

第5.3节 其它的映射 231

1．概述 231

2．混合函数映射 232

3．采用解辅助方程的映射 234

习题 5.17～5.20 235

4．无限元 237

习题 5.21～5.22 245

第5.4节 网格生成与结论 246

参考文献 248

提高读物 248

第六章 变分法 250

第6.1节 引言 250

第6.2节 变分原理 250

习题 6.1～6.3 255

第6.3节 自然变分原理的建立 256

1．对称算子 256

习题 6.4～6.7 258

2．对称算子的变分原理 258

习题 6.8～6.12 263

第6.4节 用瑞利—里兹法求微分方程的近似解 265

习题 6.13～6.16 268

第6.5节 拉格朗日乘子的应用 269

习题 6.17～6.19 271

1．拉格朗日乘子的物理意义及修正 272

的变分原理 272

习题 6.20～6.22 275

第6.6节 广义变分原理 276

第6.7节 罚函数 277

习题 6.23～6.25 280

第6.8节 最小二乘法 280

习题 6.26～6.27 286

第6.9节 结束语 286

参考文献 288

提高读物 288

第七章 部分离散化和非稳态问题 289

第7.1节 引言 289

第7.2节 边值问题的部分离散化 289

习题 7.1～7.3 292

第7.3节 非稳态问题的部分离散化 293

习题 7.4～7.8 298

第7.4节 解析法 299

1．二阶方程组的自由响应 299

2．一阶方程组的自由响应 301

3．模态分解的瞬时响应 301

习题 7.9～7.11 306

第7.5节 时间域的有限元解法 306

1．一阶方程组 307

2．一阶方程组的特殊格式 310

3．一阶方程组的多点格式 313

4．二点格式的稳定性 317

习题 7.12～7.16 323

5．二阶方程组 324

6．二阶方程组中三点格式的稳定性 328

7．非线性的非稳态问题 331

习题 7.17～7.23 332

参考文献 333

提高读物 334

第八章 广义有限元误差估计与结论 335

第8.1节 广义有限元法 335

第8.2节 数值解中的离散误差 336

第8.3节 离散误差 337

第8.4节 离散误差估计 338

习题 8.1～8.3 346

第8.5节 结束语 347

参考文献 348

提高读物 349

索引 350