引言 1
第一篇 结构数学基础 8
1 19世纪数学的遗产 8
1.1 18世纪末之前的数学 9
1.2 19世纪的数学 19
2 19世纪末的数学基础研究 44
2.1 几何学基础与公理化 44
2.2 实数理论 51
2.3 集合论 56
2.4 数理逻辑 62
3 数学结构的基本概念 78
3.1 数学结构 78
3.2 集合与映射 80
3.3 序结构 83
3.4 代数结构 84
3.5 拓扑结构 90
3.6 复合结构 91
3.7 多重结构 93
3.8 混合结构 95
3.9 衍生结构 96
4 20世纪数学一瞥 103
4.1 结构的产生与结构数学的兴趣 104
4.2 抽象代数学 106
4.3 一般拓扑学与泛函分析 118
4.4 经典数学 123
5 一些基本的数学结构 132
5.1 域 132
5.2 拓扑空间 146
5.3 点集纲性与测试 167
5.4 希尔伯特空间 176
5.5 巴拿赫空间 183
第二篇 群论 194
1 群论的历史渊源与理论框架 194
1.1 群论概念的产生 194
1.2 从对称性到群 196
1.3 从具本群到抽象群 203
1.4 群论的理论框架 207
2 阿贝尔群 211
3 有限置换群 220
3.1 置换群的表示 220
3.2 置换群的一些基本概念 222
3.3 可迁群与k重可迁群 224
3.4 2重可迁群的分数 229
4 有限群 234
4.1 群的列举 237
4.2 群的基本结构 240
4.3 算术结构 245
4.4 有限幂零群和可解群 250
4.5 有限单群 255
4.6 群表示论 287
5 无限群 297
5.1 自由群与自由积 299
5.2 有限表出群 304
5.3 伯恩塞德问题 309
5.4 无限幂零群和可解群 312
6 李群 317
6.1 李群的发展历史 317
6.2 李变换群 321
6.3 基灵和嘉当的工作 330
6.4 李代数理论 334
6.5 整体李群 341
7 代数群 347
第三篇 拓扑学 358
1 导言 358
2 直观拓扑学 361
2.1 哥尼斯堡七桥问题 361
2.2 平面布线问题 362
2.3 多面体的欧拉公式 362
2.4 若尔当定理 364
2.5 单侧曲面 365
2.6 曲面的拓扑分类 368
2.7 四色问题 371
3 拓扑学的早期历史 373
4 同调理论 379
4.1 复合形与同调群 379
4.2 奇异同调论 387
4.3 同调论公理 390
4.4 上同调理论 392
4.5 不动点定理 398
4.6 拓扑K理论 400
5 同伦理论 403
5.1 引言 403
5.2 同伦论前史 405
5.3 映射度 409
5.4 同伦群 414
5.5 组合同伦群 423
5.6 球面同伦群 433
5.7 阻碍理论 440
6 纤维空间和纤维丛 443
6.1 前史 443
6.2 定义 446
6.3 纤维丛的引入 451
6.4 纤维丛的分类问题 453
6.5 示性类 455
7.微分流形 464
7.1 微分流形的引入 464
7.2 配边理论 470
8 低维流形 475
8.1 三维流形 475
8.2 纽结理论 480
8.3 四维流形的拓扑 487
9 范畴与函子 492
9.1 范畴 492
9.2 函子 497
10 同调代数学 499
10.1 模 500
10.2 导出函子 502
第四篇 几何学与数论 507
1 微分流形的几何学 507
1.1 微分流形 507
1.2 微分流形的基础结构 509
1.3 微分流形的上层结构 510
1.4 微分流形的几何结构 513
2 大范围分析 520
2.1 德·拉姆理论 522
2.2 莫尔斯理论 526
2.3 微分映射的奇点理论 529
2.4 指标定理 533
2.5 叶状结构 537
3 复解析几何学 545
3.1 多复变函数论 545
3.2 复流形 550
4 代数几何学 555
4.1 前史 555
4.2 抽象代数几何学 558
4.3 代数曲线 565
4.4 代数曲面 570
5 代数数论 575
5.1 代数整数论 577
5.2 结构理论 583
5.3 解析理论 590
5.4 几何理论 597
结束语 606
参考文献 613