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引言 1

第一篇 结构数学基础 8

1 19世纪数学的遗产 8

1.1 18世纪末之前的数学 9

1.2 19世纪的数学 19

2 19世纪末的数学基础研究 44

2.1 几何学基础与公理化 44

2.2 实数理论 51

2.3 集合论 56

2.4 数理逻辑 62

3 数学结构的基本概念 78

3.1 数学结构 78

3.2 集合与映射 80

3.3 序结构 83

3.4 代数结构 84

3.5 拓扑结构 90

3.6 复合结构 91

3.7 多重结构 93

3.8 混合结构 95

3.9 衍生结构 96

4 20世纪数学一瞥 103

4.1 结构的产生与结构数学的兴趣 104

4.2 抽象代数学 106

4.3 一般拓扑学与泛函分析 118

4.4 经典数学 123

5 一些基本的数学结构 132

5.1 域 132

5.2 拓扑空间 146

5.3 点集纲性与测试 167

5.4 希尔伯特空间 176

5.5 巴拿赫空间 183

第二篇 群论 194

1 群论的历史渊源与理论框架 194

1.1 群论概念的产生 194

1.2 从对称性到群 196

1.3 从具本群到抽象群 203

1.4 群论的理论框架 207

2 阿贝尔群 211

3 有限置换群 220

3.1 置换群的表示 220

3.2 置换群的一些基本概念 222

3.3 可迁群与k重可迁群 224

3.4 2重可迁群的分数 229

4 有限群 234

4.1 群的列举 237

4.2 群的基本结构 240

4.3 算术结构 245

4.4 有限幂零群和可解群 250

4.5 有限单群 255

4.6 群表示论 287

5 无限群 297

5.1 自由群与自由积 299

5.2 有限表出群 304

5.3 伯恩塞德问题 309

5.4 无限幂零群和可解群 312

6 李群 317

6.1 李群的发展历史 317

6.2 李变换群 321

6.3 基灵和嘉当的工作 330

6.4 李代数理论 334

6.5 整体李群 341

7 代数群 347

第三篇 拓扑学 358

1 导言 358

2 直观拓扑学 361

2.1 哥尼斯堡七桥问题 361

2.2 平面布线问题 362

2.3 多面体的欧拉公式 362

2.4 若尔当定理 364

2.5 单侧曲面 365

2.6 曲面的拓扑分类 368

2.7 四色问题 371

3 拓扑学的早期历史 373

4 同调理论 379

4.1 复合形与同调群 379

4.2 奇异同调论 387

4.3 同调论公理 390

4.4 上同调理论 392

4.5 不动点定理 398

4.6 拓扑K理论 400

5 同伦理论 403

5.1 引言 403

5.2 同伦论前史 405

5.3 映射度 409

5.4 同伦群 414

5.5 组合同伦群 423

5.6 球面同伦群 433

5.7 阻碍理论 440

6 纤维空间和纤维丛 443

6.1 前史 443

6.2 定义 446

6.3 纤维丛的引入 451

6.4 纤维丛的分类问题 453

6.5 示性类 455

7.微分流形 464

7.1 微分流形的引入 464

7.2 配边理论 470

8 低维流形 475

8.1 三维流形 475

8.2 纽结理论 480

8.3 四维流形的拓扑 487

9 范畴与函子 492

9.1 范畴 492

9.2 函子 497

10 同调代数学 499

10.1 模 500

10.2 导出函子 502

第四篇 几何学与数论 507

1 微分流形的几何学 507

1.1 微分流形 507

1.2 微分流形的基础结构 509

1.3 微分流形的上层结构 510

1.4 微分流形的几何结构 513

2 大范围分析 520

2.1 德·拉姆理论 522

2.2 莫尔斯理论 526

2.3 微分映射的奇点理论 529

2.4 指标定理 533

2.5 叶状结构 537

3 复解析几何学 545

3.1 多复变函数论 545

3.2 复流形 550

4 代数几何学 555

4.1 前史 555

4.2 抽象代数几何学 558

4.3 代数曲线 565

4.4 代数曲面 570

5 代数数论 575

5.1 代数整数论 577

5.2 结构理论 583

5.3 解析理论 590

5.4 几何理论 597

结束语 606

参考文献 613