第一部分 高等数学 1
第一章 函数 1
1 函数的有关概念和几种特性 1
2 分段函数与积分上限的函数 5
第二章 极限 连续 求极限的方法 7
1 极限的概念与性质 8
1.1 定义 8
1.2 基本性质 8
2 极限的存在与不存在问题 9
2.1 数列xn敛散性的判别 9
2.2 函数y=f(x)的极限存在与不存在问题 10
2.3 证明二元函数z=f(x,y)极限不存在问题 11
3 无穷小量和它的阶 12
3.1 无穷小量、极限、无穷大量及相互间的关系 12
3.2 无穷小量的阶 12
3.3 无穷小量阶的运算性质 13
3.4 等价无穷小量的重要性质 14
3.5 确定无穷小量阶的方法 14
4 求极限的方法 15
4.1 极限的四则运算与幂指数运算法则 15
4.2 用洛必达法则求未定式的极限 17
4.3 利用函数的连续性求极限 20
4.4 利用变量替换法与两个重要极限求极限 20
4.5 利用适当放大缩小法求极限 21
4.6 利用函数极限求数列极限 23
4.7 利用单调有界数列存在极限定理求某些递归数列的极限 24
4.8 利用定积分求某些和式的极限 26
4.9 求二元函数的极限 27
5 函数的连续性及其判断 28
5.1 连续性概念 28
5.2 连续性运算法则 28
5.3 怎样判断函数的连续性 28
5.4 二元函数的连续性 30
第三章 导数 微分法 31
1 导数的概念 函数的可导性与连续性之间的关系 31
1.1 基本事项 31
1.2 用导数定义求某些函数的极限 32
1.3 用定义求导数 33
2 微分法则 36
2.1 导数的四则运算 复合函数求导法 36
2.2 隐函数的微分法 41
2.3 某些简单函数的n阶导数 42
3 微分的概念及其运算法则 44
4 导数的几何意义 经济学中的两个概念 46
4.1 导数的几何意义 46
4.2 经济学中的两个概念 47
5 多元函数的偏导数与全微分概念 50
6 复合函数偏导数的求法 53
7 多元隐函数的微分法 57
8 多元函数全微分计算 60
第四章 闭区间上连续函数的性质微分学的中值定理及其应用 63
1 闭区间上连续函数的性质及其应用 63
2 微分学中值定理的内容提要 64
3 用微分学中值定理进行函数性态研究的内容提要 65
3.1 函数的单调性 65
3.2 函数的极值 65
3.3 函数的最大值、最小值 65
3.4 函数图形的凹凸性和拐点 66
3.5 曲线的渐近线 66
3.6 函数图形的描绘 67
4 微分学中值定理的应用题型 67
4.1 函数单调性的讨论 67
4.2 不等式的证明 69
4.3 讨论极值和最值问题 73
4.4 中值命题的证明 74
4.5 方程根的讨论 80
4.6 证明函数恒等常数 82
4.7 描绘函数图形并利用图形作辅助工具解决有关问题 82
第五章 一元积分学 84
1 不定积分的内容提要 84
1.1 原函数与不定积分的概念 84
1.2 不定积分的性质 85
1.3 求不定积分的基本公式 85
1.4 求不定积分的基本方法 86
2 定积分的内容提要 94
2.1 定积分的概念和性质 定积分中值定理 94
2.2 微积分基本定理 牛顿-莱布尼茨公式 96
2.3 定积分的换元法 96
2.4 定积分的分部积分法 96
3 广义积分内容提要 97
3.1 无穷区间上的广义积分(无穷积分) 97
3.2 无界函数的广义积分(瑕积分) 98
4 定积分的计算 98
4.1 计算定积分的基本方法 98
4.2 分段函数(包括带绝对值符号的函数)的定积分计算 102
4.3 含参数的定积分计算 103
5 广义积分的计算 104
6 定积分证明题 105
6.1 定积分等式的证明 105
6.2 定积分不等式的证明 108
6.3 定积分中值命题的证明 112
6.4 从定积分的信息提取被积函数的信息 113
7 变限定积分及其导数 114
第六章 二重积分 115
1 二重积分的概念与性质 115
1.1 二重积分的定义、几何意义与物理意义 115
1.2 二重积分的存在性 116
1.3 二重积分的性质 116
2 在直角坐标系中化二重积分为累次积分 120
3 二重积分的变量替换——平移变换与极坐标变换 122
3.1 二重积分的平移变换 122
3.2 在极坐标变换下化二重积分为累次积分 123
4 怎样应用二重积分化为累次积分公式及简化二重积分计算问题 126
5 无界区域上简单二重积分的计算 132
第七章 微积分的应用 133
1 导数的某些应用 134
1.1 边际与弹性 134
1.2 最大值与最小值应用问题 136
2 定积分的某些应用 141
第八章 无穷级数 147
1 常数项级数？ 147
1.1 ？收敛、和、发散的概念及基本性质 147
1.2 用差消法、夹逼法求某些级数的和 148
1.3 用必要条件判别级数的发散性 149
1.4 用基本性质判别级数的收敛性 150
2 正项级数的收敛判别法 150
2.1 估计部分和有界法 150
2.2 比较判别法 151
2.3 达朗贝尔(比值)判别法 153
3 交错级数 153
4 级数的绝对收敛与条件收敛 155
5 函数项级数 幂级数 156
5.1 基本概念 156
5.2 幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛区域 157
5.3 幂级数在其收敛区间内的基本性质 简单幂级数的和函数的求法 160
6 函数的幂级数展开式 165
6.1 内容提要 165
6.2 初等函数的幂级数展开式 166
第九章 常微分方程与差分方程 169
1 常微分方程 169
1.1 基本概念 169
1.2 变量可分离的方程与齐次方程 171
1.3 一阶线性方程 173
1.4 二阶常系数线性微分方程 176
2 差分方程 181
2.1 基本概念 181
2.2 一阶常系数线性差分方程 182
3 微分方程与差分方程的简单应用 185
第二部分 线性代数 189
第一章 行列式 189
1 行列式的概念 189
2 行列式的性质与计算 191
3 行列式按行(或列)的展开公式 195
4 行列式的分块计算 范德蒙行列式 200
第二章 矩阵 203
1 矩阵的概念及运算 203
1.1 矩阵的概念 203
1.2 矩阵的运算 204
1.3 几类特殊的矩阵 208
2 逆矩阵与伴随矩阵 211
2.1 可逆矩阵的概念与性质 211
2.2 伴随矩阵 214
3 初等变换与初等矩阵 217
3.1 概念与性质 217
3.2 利用初等行变换求逆矩阵 222
3.3 矩阵方程 224
3.4 阶梯形矩阵 226
4 矩阵的分块运算 227
第三章 向量 228
1 向量的线性关系 229
1.1 向量的基本概念 229
1.2 向量的线性运算 229
1.3 线性组合与线性表示 230
1.4 向量组的线性相关与线性无关 231
2 向量组的极大无关组与秩 矩阵的秩 235
2.1 向量组的极大无关组与秩 235
2.2 矩阵的秩 237
2.3 秩的计算 239
3 向量的内积运算 244
3.1 内积的定义及性质 244
3.2 正交矩阵 245
3.3 施密特正交化 246
第四章 线性方程组 249
1 概念 249
1.1 基本概念 249
1.2 线性方程组的解的性质 250
2 齐次线性方程组Ax=O 251
2.1 有非零解的条件 251
2.2 基础解系和通解 251
2.3 基础解系的求法(矩阵消元法) 252
3 非齐次线性方程组Ax=B 256
3.1 判别定理 256
3.2 解的结构 259
3.3 非齐次方程组通解的求法 259
第五章 n阶矩阵的特征值和特征向量n阶矩阵的相似关系和对角化 264
1 特征向量和特征值 264
1.1 定义与性质 264
1.2 特征多项式 267
1.3 特征值与特征向量的计算 269
2 n阶矩阵的相似关系与对角化 272
2.1 n阶矩阵的相似关系 272
2.2 n阶矩阵的对角化问题 273
3 实对称矩阵的对角化 278
第六章 二次型 281
1 二次型及其矩阵 281
1.1 二次型的定义 281
1.2 可逆线性变量替换 283
1.3 n阶矩阵的合同关系 283
2 二次型的标准化和规范化 惯性指数 284
2.1 惯性指数 284
2.2 标准化和规范化的方法 284
2.3 惯性指数与特征值的关系 289
3 正定二次型与正定矩阵 290
3.1 定义与基本性质 290
3.2 正定性的判别 290
第三部分 概率论与数理统计初步 293
第一章 随机事件和概率 293
1 随机事件及其运算关系 293
1.1 基本概念 293
1.2 事件的关系和运算 293
2 概率的主要概念和性质 294
2.1 概率的定义及其基本性质 294
2.2 条件概率与事件的独立性 294
3 概率的主要公式及应用 295
3.1 计算概率的主要公式 295
3.2 概率计算的综合题 297
第二章 随机变量及其概率分布 300
1 随机变量及其分布函数 300
1.1 随机变量 300
1.2 分布函数 300
1.3 随机变量的函数 300
1.4 期望 300
1.5 方差 301
1.6 随机变量的分类 301
2 离散型随机变量 301
2.1 概率分布 301
2.2 分布函数 302
2.3 期望 302
2.4 方差 303
2.5 离散型随机变量函数Y=f(X)的概率分布 303
2.6 常见的离散型概率分布 304
3 连续型随机变量 304
3.1 分布密度 304
3.2 分布函数 305
3.3 期望 305
3.4 方差 306
3.5 随机变量函数Y=f(X)的概率分布 306
3.6 随机变量函数Y=f(X)期望计算的公式 306
3.7 常见的连续型分布 306
4 随机变量的分布函数、期望、方差的综合练习 307
第三章 随机向量及其概率分布 311
1 随机向量的基本概念 311
1.1 随机向量 311
1.2 联合分布函数 311
1.3 边缘分布函数 311
1.4 随机向量的独立性 312
1.5 随机向量的数字特征 312
1.6 随机向量的函数 312
1.7 随机向量的分类 312
2 离散型随机向量 312
2.1 联合概率分布 312
2.2 边缘概率分布 313
2.3 条件概率分布 314
2.4 离散型随机向量独立性条件 314
2.5 离散型随机向量函数Z=f(X,Y)的概率分布 314
2.6 离散型随机向量函数的期望公式 314
3 连续型随机向量 314
3.1 联合分布密度与联合分布函数 314
3.2 二元均匀分布 315
3.3 边缘分布函数与边缘分布密度函数 316
3.4 连续型随机向量的独立性 316
3.5 条件分布密度 317
3.6 连续型随机向量函数的概率分布密度 317
3.7 连续型随机向量函数的期望公式 317
3.8 二元正态分布N(μ1,μ2;σ？,σ？;ρ) 319
4 独立正态随机变量函数的概率分布 320
4.1 n元连续型随机向量 320
4.2 n元正态随机向量 320
4.3 x2分布、t分布和F分布 321
5 随机向量的概率分布和数字特征的计算 322
第四章 大数定律和中心极限定理 329
1 切比雪夫不等式和大数定律 329
1.1 切比雪夫不等式 329
1.2 切比雪夫大数定律 329
1.3 伯努利大数定律 330
1.4 辛钦大数定律 330
2 中心极限定理 330
2.1 泊松极限定理 330
2.2 棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理 331
2.3 列维-林德伯格中心极限定理 331
第五章 数理统计 332
1 数理统计的基本概念 332
1.1 总体与样本 332
1.2 统计量 333
1.3 正态总体某些统计量的分布 333
1.4 分布函数的分位数 334
2 参数估计 334
2.1 点估计 334
2.2 区间估计 338
3 假设检验 341
3.1 假设检验的基本点 341
3.2 单个正态总体X～N(μ,σ2)的假设检验 341
3.3 两个独立正态总体X～N(μ1,σ？)，Y～N(μ2，σ？)的假设检验 342