第一章 多元函数微分学 1
1 多元函数的概念 1
一、多元函数的概念 1
二、平面区域 3
三、二元函数的几何意义 7
习题1-1 7
2 多元函数的极限与连续 8
一、二元函数的极限 8
二、二元函数的连续性 10
三、有界闭区域上二元连续函数的性质 12
四、二次极限 13
习题1-2 14
3 偏导数 15
一、偏导数的定义 15
二、二元函数偏导数的几何意义 17
三、偏导数与连续的关系 18
习题1-3 20
4 全微分 20
一、全微分的概念 20
二、全微分的运算法则 25
5 多元复合函数的求导法则 26
一、链式法则 26
习题1-4 26
二、全微分的形式不变性 31
习题1-5 32
6 隐函数的导数 32
一、一个方程的情形 33
二、方程组的情形 36
习题1-6 38
7 高阶偏导数，高阶微分及泰勒公式 39
一、高阶偏导数 39
二、高阶微分 43
三、多元泰勒公式 46
习题1-7 48
8 方向导数 49
一、方向导数的概念 49
二、方向导数的计算 51
习题1-8 54
第二章 多元函数微分学的应用 56
1 曲线的切线和法平面方程 56
习题2-1 59
2 曲面的切平面和法线方程 59
一、曲面的切平面与法线 59
二、二元函数全微分的几何意义 62
3 平面曲线族的包络 63
习题2-2 63
习题2-3 67
4 多元函数的极值 67
一、极值 67
二、最大值和最小值 70
三、条件极值 72
习题2-4 76
第三章 多元函数积分学 77
1 Rn(n≤3)中的黎曼积分 77
一、Rn(n≤3)中的一类数学模型 77
二、黎曼积分的概念 80
三、黎曼积分的性质 82
习题3-1 86
2 二重积分的计算 86
一、直角坐标系下的二重积分 87
二、二重积分的换元法 92
三、利用极坐标计算二重积分 95
习题3-2 98
3 三重积分的计算 99
一、直角坐标系下的三重积分 99
二、三重积分的换元法 102
三、柱面坐标系下的三重积分 104
四、球面坐标系下的三重积分 106
习题3-3 108
4 广义重积分 109
一、无界区域上的二重积分 109
二、含瑕点的二重积分 112
习题3-4 113
5 对弧长的曲线积分和对面积的曲面积分的计算 113
一、对弧长的曲线积分的计算 113
二、对面积的曲面积分的计算 116
习题3-5 120
6 多元函数积分学在几何和物理中的应用 120
一、面积 121
二、体积 128
三、弧长 132
四、质量 133
五、重心 135
习题3-6 138
第四章 对坐标的曲线积分和曲面积分 140
1 对坐标的曲线积分 140
一、对坐标的曲线积分 140
二、对坐标的曲线积分的计算 142
三、对坐标的曲线积分与对弧长的曲线积分之间的联系 146
习题4-1 147
一、格林公式 148
2 格林公式 148
二、平面曲线积分与路径无关的条件 152
二、原函数与全微分方程 156
习题4-2 160
3 对坐标的曲面积分 161
一、有向曲面 161
二、对坐标的曲面积分 162
三、对坐标曲面积分的计算 164
四、两类曲面积分之间的联系 168
习题4-3 168
一、高斯公式 169
4 高斯公式与斯托克斯公式 169
二、斯托克斯公式 173
习题4-4 177
第五章 向量函数及场论 178
1 向量函数的极限和连续性 178
一、向量函数 178
二、向量函数的极限 179
三、向量函数的连续性 179
四、终端曲线和曲面 180
2 向量函数的导数和积分 181
一、向量函数的导数和偏导数 181
习题5-1 181
二、向量函数的微分 184
三、一元向量函数的定积分 187
习题5-2 189
3 数量场及其物理量 189
一、数量场 189
二、数量场的梯度 190
习题5-3 192
4 向量场及其物理量 193
一、向量场 193
二、通量与散度 195
三、环量与旋度 196
四、几种重要的向量场 198
习题5-4 201
第六章 含参变量的积分 202
1 含参变量的积分 202
习题6-1 208
2 含参变量的广义积分 208
习题6-2 213
3 Г函数和В函数 214
一、Г函数 214
二、В函数 217
习题6-3 219
一、周期为2π的函数的傅里叶级数展开 220
第七章 傅里叶级数与积分变换 220
1 傅里叶级数 220
二、函数的周期性延拓 225
三、周期为T的函数的傅里叶级数展开 228
习题7-1 230
2 傅里叶变换 231
一、傅里叶积分 231
二、傅里叶变换 234
三、单位脉冲函数 236
四、傅里叶变换的性质 238
习题7-2 240
一、拉普拉斯变换的定义 241
3 拉普拉斯变换 241
二、拉普拉斯变换的性质 245
三、拉普拉斯逆变换的求法 248
四、常微分方程的拉普拉斯变换解法 250
习题7-3 252
第八章 偏微分方程 255
1 方程的导出和基本概念 255
一、几个典型方程的导出 255
二、偏微分方程的基本概念和分类 258
三、方程的定解条件 259
习题8-1 260
一、弦振动方程的混合问题 261
2 分离变量法 261
二、一维热传导方程的混合问题 265
三、非齐次边界条件 266
四、非齐次方程(齐次边界条件) 267
习题8-2 269
3 积分变换法 270
一、傅里叶变换在求解定解问题的应用 270
二、拉普拉斯变换在求解定解问题的应用 273
习题8-3 274
4 特征线法--达朗贝尔公式 274
一、特征方程和特征线 274
二、无界弦的自由振动、达朗贝尔公式 275
三、半无界弦的自由振动、对称延拓法 276
四、无界弦的强迫振动、齐次化原理 278
习题8-4 279
5 格林函数 280
一、格林公式与基本解 280
二、格林函数 282
习题8-5 285
附录1 傅里叶变换简表 286
附录2 拉普拉斯变换简表 290
习题答案 294