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第一章 多元函数微分学 1

1 多元函数的概念 1

一、多元函数的概念 1

二、平面区域 3

三、二元函数的几何意义 7

习题1-1 7

2 多元函数的极限与连续 8

一、二元函数的极限 8

二、二元函数的连续性 10

三、有界闭区域上二元连续函数的性质 12

四、二次极限 13

习题1-2 14

3 偏导数 15

一、偏导数的定义 15

二、二元函数偏导数的几何意义 17

三、偏导数与连续的关系 18

习题1-3 20

4 全微分 20

一、全微分的概念 20

二、全微分的运算法则 25

5 多元复合函数的求导法则 26

一、链式法则 26

习题1-4 26

二、全微分的形式不变性 31

习题1-5 32

6 隐函数的导数 32

一、一个方程的情形 33

二、方程组的情形 36

习题1-6 38

7 高阶偏导数，高阶微分及泰勒公式 39

一、高阶偏导数 39

二、高阶微分 43

三、多元泰勒公式 46

习题1-7 48

8 方向导数 49

一、方向导数的概念 49

二、方向导数的计算 51

习题1-8 54

第二章 多元函数微分学的应用 56

1 曲线的切线和法平面方程 56

习题2-1 59

2 曲面的切平面和法线方程 59

一、曲面的切平面与法线 59

二、二元函数全微分的几何意义 62

3 平面曲线族的包络 63

习题2-2 63

习题2-3 67

4 多元函数的极值 67

一、极值 67

二、最大值和最小值 70

三、条件极值 72

习题2-4 76

第三章 多元函数积分学 77

1 Rn(n≤3)中的黎曼积分 77

一、Rn(n≤3)中的一类数学模型 77

二、黎曼积分的概念 80

三、黎曼积分的性质 82

习题3-1 86

2 二重积分的计算 86

一、直角坐标系下的二重积分 87

二、二重积分的换元法 92

三、利用极坐标计算二重积分 95

习题3-2 98

3 三重积分的计算 99

一、直角坐标系下的三重积分 99

二、三重积分的换元法 102

三、柱面坐标系下的三重积分 104

四、球面坐标系下的三重积分 106

习题3-3 108

4 广义重积分 109

一、无界区域上的二重积分 109

二、含瑕点的二重积分 112

习题3-4 113

5 对弧长的曲线积分和对面积的曲面积分的计算 113

一、对弧长的曲线积分的计算 113

二、对面积的曲面积分的计算 116

习题3-5 120

6 多元函数积分学在几何和物理中的应用 120

一、面积 121

二、体积 128

三、弧长 132

四、质量 133

五、重心 135

习题3-6 138

第四章 对坐标的曲线积分和曲面积分 140

1 对坐标的曲线积分 140

一、对坐标的曲线积分 140

二、对坐标的曲线积分的计算 142

三、对坐标的曲线积分与对弧长的曲线积分之间的联系 146

习题4-1 147

一、格林公式 148

2 格林公式 148

二、平面曲线积分与路径无关的条件 152

二、原函数与全微分方程 156

习题4-2 160

3 对坐标的曲面积分 161

一、有向曲面 161

二、对坐标的曲面积分 162

三、对坐标曲面积分的计算 164

四、两类曲面积分之间的联系 168

习题4-3 168

一、高斯公式 169

4 高斯公式与斯托克斯公式 169

二、斯托克斯公式 173

习题4-4 177

第五章 向量函数及场论 178

1 向量函数的极限和连续性 178

一、向量函数 178

二、向量函数的极限 179

三、向量函数的连续性 179

四、终端曲线和曲面 180

2 向量函数的导数和积分 181

一、向量函数的导数和偏导数 181

习题5-1 181

二、向量函数的微分 184

三、一元向量函数的定积分 187

习题5-2 189

3 数量场及其物理量 189

一、数量场 189

二、数量场的梯度 190

习题5-3 192

4 向量场及其物理量 193

一、向量场 193

二、通量与散度 195

三、环量与旋度 196

四、几种重要的向量场 198

习题5-4 201

第六章 含参变量的积分 202

1 含参变量的积分 202

习题6-1 208

2 含参变量的广义积分 208

习题6-2 213

3 Г函数和В函数 214

一、Г函数 214

二、В函数 217

习题6-3 219

一、周期为2π的函数的傅里叶级数展开 220

第七章 傅里叶级数与积分变换 220

1 傅里叶级数 220

二、函数的周期性延拓 225

三、周期为T的函数的傅里叶级数展开 228

习题7-1 230

2 傅里叶变换 231

一、傅里叶积分 231

二、傅里叶变换 234

三、单位脉冲函数 236

四、傅里叶变换的性质 238

习题7-2 240

一、拉普拉斯变换的定义 241

3 拉普拉斯变换 241

二、拉普拉斯变换的性质 245

三、拉普拉斯逆变换的求法 248

四、常微分方程的拉普拉斯变换解法 250

习题7-3 252

第八章 偏微分方程 255

1 方程的导出和基本概念 255

一、几个典型方程的导出 255

二、偏微分方程的基本概念和分类 258

三、方程的定解条件 259

习题8-1 260

一、弦振动方程的混合问题 261

2 分离变量法 261

二、一维热传导方程的混合问题 265

三、非齐次边界条件 266

四、非齐次方程(齐次边界条件) 267

习题8-2 269

3 积分变换法 270

一、傅里叶变换在求解定解问题的应用 270

二、拉普拉斯变换在求解定解问题的应用 273

习题8-3 274

4 特征线法--达朗贝尔公式 274

一、特征方程和特征线 274

二、无界弦的自由振动、达朗贝尔公式 275

三、半无界弦的自由振动、对称延拓法 276

四、无界弦的强迫振动、齐次化原理 278

习题8-4 279

5 格林函数 280

一、格林公式与基本解 280

二、格林函数 282

习题8-5 285

附录1 傅里叶变换简表 286

附录2 拉普拉斯变换简表 290

习题答案 294