第一章 理论基础 1
引言 1
定义 2
转置矩阵的特征值与特征向量 3
不相同的特征值 4
相似变换 6
重特征值与一般矩阵的标准型 7
亏损特征向量系 8
Jordan(经典的)标准型 10
初等因子 11
A的特征多项式的友矩阵 12
非减次矩阵 13
Frobenius(有理的)标准型 15
Jordan标准型与Frobenius标准型的关系 16
相抵变换 17
λ矩阵 18
初等运算 19
Smith标准型 19
λ矩阵的κ行子式的最大公因子 22
(A-λI)的不变因子 22
三角标准型 24
Hermite矩阵与对称矩阵 24
Hermite矩阵的基本性质 25
复对称矩阵 27
用酉变换化成三角型 27
二次型 27
正定性的充要条件 29
常系数微分方程 30
对应于非线性初等因子的解 31
高阶微分方程 33
特殊形式的二阶方程 34
By--Ay的显式解 35
形如(AB-λI)x=0的方程 36
向量的最小多项式 37
矩阵的最小多项式 38
Cayley-Hamilton定理 39
最小多项式与标准型的关系 40
主向量 43
初等相似变换 44
初等矩阵的性质 46
用初等相似变换化成三角标准型 46
初等酉变换 48
初等酉Hermite矩阵 49
用初等酉变换化成三角型 51
正规矩阵 52
可交换矩阵 53
AB的特征值 55
向量与矩阵的范数 56
从属的矩阵范数 57
Euclid范数与谱范数 58
范数与极限 59
避免使用矩阵无穷级数 62
第二章 摄动理论 64
引言 64
关于特征值连续性的Ostrowski定理 65
代数函数 66
数值例题 67
单特征值的摄动理论 68
对应特征向量的摄动 69
具有线性初等因子的矩阵 70
特征值的一阶摄动 71
高阶摄动 72
特征向量的一阶摄动 72
重特征值 73
Gerschgorin定理 73
基于Gerschgorin定理的摄动理论 75
情形1 具有线性初等因子矩阵的单特征值λ1的摄动 75
情形2 具有线性初等因子矩阵的重特征值λ1的摄动 78
情形3 具有一个或多个非线性初等因子矩阵的单特征值的摄动 80
情形4 相应于非减次矩阵非线性因子的特征值的摄动 82
情形5 当有一个以上(λ？-λ)幂次的初等因子且至少有一个为非线性时，特征值λ？的摄动 83
相应于非线性因子一般分布的摄动 84
根据Jordan标准型的特征向量的摄动理论 84
相应于重特征值(线性初等因子)的特征向量的摄动 86
摄动理论的限度 87
si之间的关系 88
条件数 89
计算问题的条件 89
矩阵A关于特征值问题的谱条件数 90
谱条件数的性质 91
条件数的不变性 92
非常病态的矩阵 93
实对称矩阵的摄动理论 96
非对称摄动 96
对称摄动 97
经典方法 98
秩为1的对称矩阵 101
特征值的极值性质 102
特征值的极小-极大性质 103
两个对称矩阵之和的特征值 105
实际应用 106
分隔定理 107
极小-极大原理的进一步应用 107
Wielandt-Hoffman定理 108
第三章 误差分析 114
引言 114
定点运算 114
内积的累加 115
浮点运算 116
误差界的简化表示 117
某些基本浮点计算的误差界 118
误差矩阵的范数的界 119
浮点运算中内积的累加 120
某些基本f？2()计算的误差界 121
平方根的计算 123
块浮点向量和矩阵 123
t位计算的基本限制 124
用相似变换作简化的特征值方法 127
基于初等非酉变换方法的误差分析 128
基于初等酉变换的方法的误差分析 130
酉变换的优越性 132
实对称矩阵 133
酉变换的限度 134
用浮点计算的平面旋转的误差分析 135
用平面旋转的乘法 137
用一系列平面旋转做乘法 139
近似的平面旋转乘积的误差 144
相似变换的误差 145
对称矩阵 146
定点运算的平面旋转 148
sinθ和cosθ的另一种算法 149
用近似的定点旋转左乘 150
用一系列平面旋转相乘(定点) 151
一组近似平面旋转的计算乘积 153
相似变换的误差 153
关于误差界的总评述 156
浮点计算的初等Hermite矩阵 157
初等Hermite矩阵计算的误差分析 158
数值例子 162
用近似的初等Hermite矩阵左乘 163
用近似的初等Hermite矩阵序列的乘法 166
类似平面旋转的非酉初等矩阵 168
类似于初等Hermite矩阵的非酉初等矩阵 169
用非酉矩阵序列左乘 171
先验的误差界 172
正规性的偏离 173
简单的例子 175
后验的界 176
正规矩阵的后验的界 177
Rayleigh商 178
Rayleigh商的误差 180
Hermite矩阵 181
病态地靠近的特征值 183
非正规矩阵 185
完全特征系的误差分析 187
数值例子 188
限制可达精度的条件 189
非线性初等因子 190
近似的不变子空间 192
几乎正规矩阵 195
第四章 线性代数方程组的解法 197
引言 197
摄动理论 197
条件数 199
平衡矩阵 200
简单的实际例子 201
特征向量矩阵的条件 201
显式解 202
对矩阵条件的总评述 203
病态和几乎奇异的关系 204
t位运算的限制 205
解线性方程组的算法 206
Gauss消去法 208
三角形分解 208
三角形分解矩阵的结构 209
三角形矩阵元素的显式表达式 210
Gauss消去法的中断 212
数值稳定性 213
交换的重要性 214
数值例子 215
Gauss消去法的误差分析 217
用定点运算的摄动矩阵的上界 219
约化后的矩阵元素的上界 220
全主元素 220
部分主元素方法的实际过程 222
浮点误差分析 222
不选主元素的浮点分解 224
有效位的损失 225
流传的谬误 225
特殊形式的矩阵 226
在高速计算机上的Gauss消去法 229
对应不同的右端的解 230
直接的三角形分解 230
Gauss消去法和直接的三角形分解的关系 231
分解不唯一和失败的例子 232
有行交换的三角形分解 233
三角形分解的误差分析 236
行列式计算 238
Cholesky分解 238
对称非正定矩阵 239
定点运算Cholesky分解的误差分析 240
病态矩阵 242
用初等Hermite矩阵的三角形化 243
Householder三角形化的误差分析 246
用M′ii型初等稳定矩阵的三角形化 246
前主子式的计算 247
用平面旋转的三角形化 249
Givens约化的误差分析 250
正交三角形化的唯一性 251
Schmidt正交化 252
三角形化方法的比较 254
向后回代 256
三角形方程组的计算解的高精度 259
一般的方程组的解 261
一般矩阵的逆的计算 262
计算解的精度 263
没有小主元素的病态矩阵 264
近似解的迭代改进 265
迭代过程中舍入误差的影响 266
定点计算的迭代过程 267
迭代过程的一个简单例子 268
迭代过程的总评述 270
有关的迭代法 271
迭代过程的极限 272
迭代法的严格的调整 272
实对称矩阵的经典Jacobi方法 275
第五章 Hermite矩阵 275
引言 275
收敛率 277
收敛于固定的对角矩阵 278
顺序Jacobi方法 279
Gerschgorin圆 280
Jacobi方法的最后的二次收敛性 280
靠近的和重的特征值 282
数值例子 283
cosθ与sinθ的计算 284
更简单的转角计算方法 287
过关Jacobi方法 288
特征向量计算 289
数值例子 289
Jacobi方法的舍入误差 290
计算的特征向量的精确度 291
用定点计算的误差界 292
程序编制问题 293
Givens方法 293
在有两级存储设备的计算机上实现Givens方法 295
Givens方法的浮点误差分析 297
定点误差分析 298
数值例子 299
Householder方法 302
利用对称性 304
存储方案的研究 304
在有内、外存储设备的计算机上实现Householder方法 305
用定点运算的Householder方法 306
数值例子 307
Householder方法的误差分析 309
对称三对角矩阵的特征值 310
Sturm序列性质 311
分半法 313
分半法的数值稳定性 314
数值例子 317
关于分半法的总评述 318
小特征值 319
靠近的特征值和小β？ 319
特征值的定点计算 324
三对角型的特征向量计算 327
特征向量显式表达式的不稳定性 328
数值例子 330
逆迭代 333
初始向量b的选择 335
误差分析 336
数值例子 337
靠近的特征值和小的β？ 339
对应重特征值的线性独立特征向量 340
计算特征向量的交替方法 343
数值例子 344
三对角矩阵特征问题的评论 344
Givens和Householder方法的完成 345
方法的比较 347
拟对称三对角矩阵 348
特征向量的计算 349
形如Ax=λBx和ABx=λx的方程 349
数值例子 351
同时简化A和B为对角型 352
三对角矩阵A和B 353
复Hermite矩阵 354
Givens方法 359
第六章 化一般矩阵为压缩型 359
引言 359
Householder方法 361
存储方案的研究 364
误差分析 365
Givens方法与Householder方法的关系 366
初等稳定变换 368
置换的意义 370
直接约化矩阵为Hessenberg型 371
结合交换 373
数值例子 374
误差分析 378
有关的误差分析 380
Hessenberg矩阵的劣定 383
用M′？i型稳定矩阵化为Hessenberg型 383
Krylov方法 384
逐列Gauss消去法 385
实际的困难 386
对于某些标准的特征值分布的C的条件 387
级小于n的初始向量 389
实际的经验 391
广义Hessenberg方法 392
广义Hessenberg方法的失败 393
Hessenberg方法 395
实际的方法 395
Hessenberg方法与以前的方法的关系 396
Arnoldi方法 397
实际的考虑 398
再正交化的重要性 400
Lanczos方法 403
过程的故障 404
数值例子 406
实际的Lanczos方法 406
数值例子 408
非对称的Lanczos方法的总评述 409
对称的Lanczos方法 410
化Hessenberg矩阵为更压缩的形式 411
化下Hessnberg矩阵为三对角型 411
使用交换 412
小主元素的影响 414
误差分析 415
应用于下Hessenberg型的Hessenberg方法 417
Hessenberg方法与Lanczos方法的关系 418
化一般矩阵为三对角型 419
化矩阵为三对角型的重新考察 420
和Lanczos方法比较 420
化上Hessenberg型为Probenius型 421
小主元素的影响 423
数值例子 423
关于稳定性的总评述 424
特殊的上Hessenberg型 425
直接确定特征多项式 426
第七章 压缩型矩阵的特征值 429
引言 429
显式多项式形式 429
显式多项式的条件数 432
某些典型的零点分布 433
Krylov 方法的总评述 437
显式多项式的总评述 437
三对角矩阵 439
Hessenberg矩阵的行列式 442
舍入误差的影响 443
浮点累加 445
用正交变换计算 446
一般矩阵的行列式计算 448
文义特征值问题 448
间接确定特征多项式 449
Le Verrier方法 450
以插值为基础的迭代法 451
渐近收敛率 452
多重零点 454
函数关系的逆 456
区间分半法 458
Newton法 458
Newton法与插值法的比较 459
三次收敛的方法 460
Laguerre方法 461
复零点 464
复共轭零点 465
Bairstow方法 467
广义的Bairstow方法 468
实际的考虑 470
舍入误差对渐近收敛性的影响 471
区间分半法 471
逐次线性插值 473
多重的和病态靠近的特征值 475
其他的插值法 476
使用导数的方法 478
接收零点的准则 479
舍入误差的影响 480
消除已计算的零点 481
Hessenberg矩阵的降阶 482
三对角矩阵的降阶 485
用旋转或稳定的初等变换降阶 487
降阶的稳定性 489
关于降阶的总评述 491
消除已计算的零点 491
消除已计算的二次因子 492
关于消除零点方法的总评述 493
渐近收敛率 495
大范围的收敛性 495
复零点 498
建议 499
复矩阵 500
含有独立参数的矩阵 500
第八章 LR和QR算法 503
引言 503
有复特征值的实矩阵 504
LR算法 505
As的收敛性证明 507
正定Hermite矩阵 511
复共轭特征值 512
引进交换 516
数值例子 517
修改过程的收敛性 518
初始矩阵的预先约化 519
上Hessenberg型的不变性 520
行和列同时运算 522
收敛的加速 523
结合原点的移动 524
选择原点的移动 525
矩阵降阶 527
关于收敛性的实际经验 528
改进的移动策略 529
复共轭特征值 530
修正的LR算法的缺点 532
QR算法 533
QR算法的收敛性 534
收敛性的正式证明 535
特征值的不同顺序 537
等模的特征值 538
LR算法的另一个证明 539
QR算法的实际应用 541
原点移动 542
As的分解 543
数值例子 544
实际的方法 545
避免复共轭位移 546
用初等Hermite变换的双步QR 550
计算的细节 551
As的分解 552
LR的双位移技术 554
对LR算法和QR算法的评述 555
多重特征值 557
降阶法的特殊用途 561
对称矩阵 561
LR算法与QR算法的关系 562
Cholesky LR算法的收敛性 564
QR算法的三次收敛性 565
Cholesky LR中的原点位移 568
Cholesky分解失败 568
三次收敛的LR方法 570
带状矩阵 572
带状矩阵的QR分解 575
误差分析 579
非对称带状矩阵 580
在Q算法中同时分解和复合 583
缩小带宽 585
第九章 迭代法 588
引言 588
幂法 588
单个向量的直接迭代 589
原点移动 590
舍入误差的影响 591
р的变化 594
р的特别选择 595
Aitken的加速方法 596
复共轭特征值 597
复特征向量的计算 599
原点移动 600
非线性初等因子 601
同时决定几个特征值 602
复矩阵 603
收缩法 603
用相似变换的收缩法 604
用不变子空间的收缩法 605
用稳定初等变换的收缩法 606
用酉变换的收缩法 608
数值稳定性 609
数值例子 611
酉变换的稳定性 613
非相似变换的收缩法 614
用不变子空间的一般约化 617
实际应用 620
梯级迭代 621
复共轭特征值的精度确定 623
十分靠近的特征值 625
正交化方法 625
正交化的梯级迭代 626
双迭代 628
数值例子 629
Richardson改进方法 633
矩阵平方法 634
数值稳定性 636
Chebyshev多项式的使用 637
关于直接迭代的总评述 638
逆迭代 638
逆迭代的误差分析 639
分析的总评述 641
特征向量的进一步改进 642
非线性初等因子 645
Hessenberg矩阵的逆迭代 646
退化情况 647
带形矩阵逆迭代 648
复共轭特征向量 649
误差分析 651
数值例子 652
广义特征值问题 654
近似特征值的变更 655
特征系的改进 657
数值例子 661
特征向量的改进 661
复共轭特征值 664
重的和非常靠近的特征值 665
对ACE程序的评述 667
参考文献 670