代数特征值问题PDF电子书下载

第一章 理论基础 1

引言 1

定义 2

转置矩阵的特征值与特征向量 3

不相同的特征值 4

相似变换 6

重特征值与一般矩阵的标准型 7

亏损特征向量系 8

Jordan(经典的)标准型 10

初等因子 11

A的特征多项式的友矩阵 12

非减次矩阵 13

Frobenius(有理的)标准型 15

Jordan标准型与Frobenius标准型的关系 16

相抵变换 17

λ矩阵 18

初等运算 19

Smith标准型 19

λ矩阵的κ行子式的最大公因子 22

(A-λI)的不变因子 22

三角标准型 24

Hermite矩阵与对称矩阵 24

Hermite矩阵的基本性质 25

复对称矩阵 27

用酉变换化成三角型 27

二次型 27

正定性的充要条件 29

常系数微分方程 30

对应于非线性初等因子的解 31

高阶微分方程 33

特殊形式的二阶方程 34

By--Ay的显式解 35

形如(AB-λI)x=0的方程 36

向量的最小多项式 37

矩阵的最小多项式 38

Cayley-Hamilton定理 39

最小多项式与标准型的关系 40

主向量 43

初等相似变换 44

初等矩阵的性质 46

用初等相似变换化成三角标准型 46

初等酉变换 48

初等酉Hermite矩阵 49

用初等酉变换化成三角型 51

正规矩阵 52

可交换矩阵 53

AB的特征值 55

向量与矩阵的范数 56

从属的矩阵范数 57

Euclid范数与谱范数 58

范数与极限 59

避免使用矩阵无穷级数 62

第二章 摄动理论 64

引言 64

关于特征值连续性的Ostrowski定理 65

代数函数 66

数值例题 67

单特征值的摄动理论 68

对应特征向量的摄动 69

具有线性初等因子的矩阵 70

特征值的一阶摄动 71

高阶摄动 72

特征向量的一阶摄动 72

重特征值 73

Gerschgorin定理 73

基于Gerschgorin定理的摄动理论 75

情形1 具有线性初等因子矩阵的单特征值λ1的摄动 75

情形2 具有线性初等因子矩阵的重特征值λ1的摄动 78

情形3 具有一个或多个非线性初等因子矩阵的单特征值的摄动 80

情形4 相应于非减次矩阵非线性因子的特征值的摄动 82

情形5 当有一个以上(λ？-λ)幂次的初等因子且至少有一个为非线性时，特征值λ？的摄动 83

相应于非线性因子一般分布的摄动 84

根据Jordan标准型的特征向量的摄动理论 84

相应于重特征值(线性初等因子)的特征向量的摄动 86

摄动理论的限度 87

si之间的关系 88

条件数 89

计算问题的条件 89

矩阵A关于特征值问题的谱条件数 90

谱条件数的性质 91

条件数的不变性 92

非常病态的矩阵 93

实对称矩阵的摄动理论 96

非对称摄动 96

对称摄动 97

经典方法 98

秩为1的对称矩阵 101

特征值的极值性质 102

特征值的极小-极大性质 103

两个对称矩阵之和的特征值 105

实际应用 106

分隔定理 107

极小-极大原理的进一步应用 107

Wielandt-Hoffman定理 108

第三章 误差分析 114

引言 114

定点运算 114

内积的累加 115

浮点运算 116

误差界的简化表示 117

某些基本浮点计算的误差界 118

误差矩阵的范数的界 119

浮点运算中内积的累加 120

某些基本f？2()计算的误差界 121

平方根的计算 123

块浮点向量和矩阵 123

t位计算的基本限制 124

用相似变换作简化的特征值方法 127

基于初等非酉变换方法的误差分析 128

基于初等酉变换的方法的误差分析 130

酉变换的优越性 132

实对称矩阵 133

酉变换的限度 134

用浮点计算的平面旋转的误差分析 135

用平面旋转的乘法 137

用一系列平面旋转做乘法 139

近似的平面旋转乘积的误差 144

相似变换的误差 145

对称矩阵 146

定点运算的平面旋转 148

sinθ和cosθ的另一种算法 149

用近似的定点旋转左乘 150

用一系列平面旋转相乘(定点) 151

一组近似平面旋转的计算乘积 153

相似变换的误差 153

关于误差界的总评述 156

浮点计算的初等Hermite矩阵 157

初等Hermite矩阵计算的误差分析 158

数值例子 162

用近似的初等Hermite矩阵左乘 163

用近似的初等Hermite矩阵序列的乘法 166

类似平面旋转的非酉初等矩阵 168

类似于初等Hermite矩阵的非酉初等矩阵 169

用非酉矩阵序列左乘 171

先验的误差界 172

正规性的偏离 173

简单的例子 175

后验的界 176

正规矩阵的后验的界 177

Rayleigh商 178

Rayleigh商的误差 180

Hermite矩阵 181

病态地靠近的特征值 183

非正规矩阵 185

完全特征系的误差分析 187

数值例子 188

限制可达精度的条件 189

非线性初等因子 190

近似的不变子空间 192

几乎正规矩阵 195

第四章 线性代数方程组的解法 197

引言 197

摄动理论 197

条件数 199

平衡矩阵 200

简单的实际例子 201

特征向量矩阵的条件 201

显式解 202

对矩阵条件的总评述 203

病态和几乎奇异的关系 204

t位运算的限制 205

解线性方程组的算法 206

Gauss消去法 208

三角形分解 208

三角形分解矩阵的结构 209

三角形矩阵元素的显式表达式 210

Gauss消去法的中断 212

数值稳定性 213

交换的重要性 214

数值例子 215

Gauss消去法的误差分析 217

用定点运算的摄动矩阵的上界 219

约化后的矩阵元素的上界 220

全主元素 220

部分主元素方法的实际过程 222

浮点误差分析 222

不选主元素的浮点分解 224

有效位的损失 225

流传的谬误 225

特殊形式的矩阵 226

在高速计算机上的Gauss消去法 229

对应不同的右端的解 230

直接的三角形分解 230

Gauss消去法和直接的三角形分解的关系 231

分解不唯一和失败的例子 232

有行交换的三角形分解 233

三角形分解的误差分析 236

行列式计算 238

Cholesky分解 238

对称非正定矩阵 239

定点运算Cholesky分解的误差分析 240

病态矩阵 242

用初等Hermite矩阵的三角形化 243

Householder三角形化的误差分析 246

用M′ii型初等稳定矩阵的三角形化 246

前主子式的计算 247

用平面旋转的三角形化 249

Givens约化的误差分析 250

正交三角形化的唯一性 251

Schmidt正交化 252

三角形化方法的比较 254

向后回代 256

三角形方程组的计算解的高精度 259

一般的方程组的解 261

一般矩阵的逆的计算 262

计算解的精度 263

没有小主元素的病态矩阵 264

近似解的迭代改进 265

迭代过程中舍入误差的影响 266

定点计算的迭代过程 267

迭代过程的一个简单例子 268

迭代过程的总评述 270

有关的迭代法 271

迭代过程的极限 272

迭代法的严格的调整 272

实对称矩阵的经典Jacobi方法 275

第五章 Hermite矩阵 275

引言 275

收敛率 277

收敛于固定的对角矩阵 278

顺序Jacobi方法 279

Gerschgorin圆 280

Jacobi方法的最后的二次收敛性 280

靠近的和重的特征值 282

数值例子 283

cosθ与sinθ的计算 284

更简单的转角计算方法 287

过关Jacobi方法 288

特征向量计算 289

数值例子 289

Jacobi方法的舍入误差 290

计算的特征向量的精确度 291

用定点计算的误差界 292

程序编制问题 293

Givens方法 293

在有两级存储设备的计算机上实现Givens方法 295

Givens方法的浮点误差分析 297

定点误差分析 298

数值例子 299

Householder方法 302

利用对称性 304

存储方案的研究 304

在有内、外存储设备的计算机上实现Householder方法 305

用定点运算的Householder方法 306

数值例子 307

Householder方法的误差分析 309

对称三对角矩阵的特征值 310

Sturm序列性质 311

分半法 313

分半法的数值稳定性 314

数值例子 317

关于分半法的总评述 318

小特征值 319

靠近的特征值和小β？ 319

特征值的定点计算 324

三对角型的特征向量计算 327

特征向量显式表达式的不稳定性 328

数值例子 330

逆迭代 333

初始向量b的选择 335

误差分析 336

数值例子 337

靠近的特征值和小的β？ 339

对应重特征值的线性独立特征向量 340

计算特征向量的交替方法 343

数值例子 344

三对角矩阵特征问题的评论 344

Givens和Householder方法的完成 345

方法的比较 347

拟对称三对角矩阵 348

特征向量的计算 349

形如Ax=λBx和ABx=λx的方程 349

数值例子 351

同时简化A和B为对角型 352

三对角矩阵A和B 353

复Hermite矩阵 354

Givens方法 359

第六章 化一般矩阵为压缩型 359

引言 359

Householder方法 361

存储方案的研究 364

误差分析 365

Givens方法与Householder方法的关系 366

初等稳定变换 368

置换的意义 370

直接约化矩阵为Hessenberg型 371

结合交换 373

数值例子 374

误差分析 378

有关的误差分析 380

Hessenberg矩阵的劣定 383

用M′？i型稳定矩阵化为Hessenberg型 383

Krylov方法 384

逐列Gauss消去法 385

实际的困难 386

对于某些标准的特征值分布的C的条件 387

级小于n的初始向量 389

实际的经验 391

广义Hessenberg方法 392

广义Hessenberg方法的失败 393

Hessenberg方法 395

实际的方法 395

Hessenberg方法与以前的方法的关系 396

Arnoldi方法 397

实际的考虑 398

再正交化的重要性 400

Lanczos方法 403

过程的故障 404

数值例子 406

实际的Lanczos方法 406

数值例子 408

非对称的Lanczos方法的总评述 409

对称的Lanczos方法 410

化Hessenberg矩阵为更压缩的形式 411

化下Hessnberg矩阵为三对角型 411

使用交换 412

小主元素的影响 414

误差分析 415

应用于下Hessenberg型的Hessenberg方法 417

Hessenberg方法与Lanczos方法的关系 418

化一般矩阵为三对角型 419

化矩阵为三对角型的重新考察 420

和Lanczos方法比较 420

化上Hessenberg型为Probenius型 421

小主元素的影响 423

数值例子 423

关于稳定性的总评述 424

特殊的上Hessenberg型 425

直接确定特征多项式 426

第七章 压缩型矩阵的特征值 429

引言 429

显式多项式形式 429

显式多项式的条件数 432

某些典型的零点分布 433

Krylov 方法的总评述 437

显式多项式的总评述 437

三对角矩阵 439

Hessenberg矩阵的行列式 442

舍入误差的影响 443

浮点累加 445

用正交变换计算 446

一般矩阵的行列式计算 448

文义特征值问题 448

间接确定特征多项式 449

Le Verrier方法 450

以插值为基础的迭代法 451

渐近收敛率 452

多重零点 454

函数关系的逆 456

区间分半法 458

Newton法 458

Newton法与插值法的比较 459

三次收敛的方法 460

Laguerre方法 461

复零点 464

复共轭零点 465

Bairstow方法 467

广义的Bairstow方法 468

实际的考虑 470

舍入误差对渐近收敛性的影响 471

区间分半法 471

逐次线性插值 473

多重的和病态靠近的特征值 475

其他的插值法 476

使用导数的方法 478

接收零点的准则 479

舍入误差的影响 480

消除已计算的零点 481

Hessenberg矩阵的降阶 482

三对角矩阵的降阶 485

用旋转或稳定的初等变换降阶 487

降阶的稳定性 489

关于降阶的总评述 491

消除已计算的零点 491

消除已计算的二次因子 492

关于消除零点方法的总评述 493

渐近收敛率 495

大范围的收敛性 495

复零点 498

建议 499

复矩阵 500

含有独立参数的矩阵 500

第八章 LR和QR算法 503

引言 503

有复特征值的实矩阵 504

LR算法 505

As的收敛性证明 507

正定Hermite矩阵 511

复共轭特征值 512

引进交换 516

数值例子 517

修改过程的收敛性 518

初始矩阵的预先约化 519

上Hessenberg型的不变性 520

行和列同时运算 522

收敛的加速 523

结合原点的移动 524

选择原点的移动 525

矩阵降阶 527

关于收敛性的实际经验 528

改进的移动策略 529

复共轭特征值 530

修正的LR算法的缺点 532

QR算法 533

QR算法的收敛性 534

收敛性的正式证明 535

特征值的不同顺序 537

等模的特征值 538

LR算法的另一个证明 539

QR算法的实际应用 541

原点移动 542

As的分解 543

数值例子 544

实际的方法 545

避免复共轭位移 546

用初等Hermite变换的双步QR 550

计算的细节 551

As的分解 552

LR的双位移技术 554

对LR算法和QR算法的评述 555

多重特征值 557

降阶法的特殊用途 561

对称矩阵 561

LR算法与QR算法的关系 562

Cholesky LR算法的收敛性 564

QR算法的三次收敛性 565

Cholesky LR中的原点位移 568

Cholesky分解失败 568

三次收敛的LR方法 570

带状矩阵 572

带状矩阵的QR分解 575

误差分析 579

非对称带状矩阵 580

在Q算法中同时分解和复合 583

缩小带宽 585

第九章 迭代法 588

引言 588

幂法 588

单个向量的直接迭代 589

原点移动 590

舍入误差的影响 591

р的变化 594

р的特别选择 595

Aitken的加速方法 596

复共轭特征值 597

复特征向量的计算 599

原点移动 600

非线性初等因子 601

同时决定几个特征值 602

复矩阵 603

收缩法 603

用相似变换的收缩法 604

用不变子空间的收缩法 605

用稳定初等变换的收缩法 606

用酉变换的收缩法 608

数值稳定性 609

数值例子 611

酉变换的稳定性 613

非相似变换的收缩法 614

用不变子空间的一般约化 617

实际应用 620

梯级迭代 621

复共轭特征值的精度确定 623

十分靠近的特征值 625

正交化方法 625

正交化的梯级迭代 626

双迭代 628

数值例子 629

Richardson改进方法 633

矩阵平方法 634

数值稳定性 636

Chebyshev多项式的使用 637

关于直接迭代的总评述 638

逆迭代 638

逆迭代的误差分析 639

分析的总评述 641

特征向量的进一步改进 642

非线性初等因子 645

Hessenberg矩阵的逆迭代 646

退化情况 647

带形矩阵逆迭代 648

复共轭特征向量 649

误差分析 651

数值例子 652

广义特征值问题 654

近似特征值的变更 655

特征系的改进 657

数值例子 661

特征向量的改进 661

复共轭特征值 664

重的和非常靠近的特征值 665

对ACE程序的评述 667

参考文献 670