第一章 实数集与函数 1
1 实数 1
一 实数及其性质 1
二 绝对值与不等式 3
2 数集·确界原理 4
一 区间与邻域 5
二 有界集·确界原理 5
3 函数概念 10
一 函数的定义 10
三 函数的四则运算 11
二 函数的表示法 11
四 复合函数 12
五 反函数 13
六 初等函数 14
4 具有某些特性的函数 16
一 有界函数 16
二 单调函数 17
三 奇函数和偶函数 19
四 周期函数 19
第二章 数列极限 23
1 数列极限概念 23
2 收敛数列的性质 28
3 数列极限存在的条件 35
第三章 函数极限 42
1 函数极限概念 42
一 x趋于∞时函数的极限 42
二 x趋于xo时函数的极限 43
2 函数极限的性质 48
3 函数极限存在的条件 52
4 两个重要的极限 56
一 证明lim？sinx/x=1 56
二 证明lim？(1+1/x)=e 56
一 无穷小量 59
5 无穷小量与无穷大量 59
二 无穷小量阶的比较 60
三 无穷大量 62
四 曲线的渐近线 64
第四章 函数的连续性 69
1 连续性概念 69
一 函数在一点的连续性 69
二 间断点及其分类 71
三 区间上的连续函数 72
一 连续函数的局部性质 74
2 连续函数的性质 74
二 闭区间上连续函数的基本性质 75
三 反函数的连续性 78
四 一致连续性 79
3 初等函数的连续性 82
一 指数函数的连续性 82
二 初等函数的连续性 83
第五章 导数和微分 87
1 导数的概念 87
一 导数的定义 87
二 导函数 90
三 导数的几何意义 91
2 求导法则 95
一 导数的四则运算 95
二 反函数的导数 97
三 复合函数的导数 98
四 基本求导法则与公式 101
3 参变量函数的导数 103
4 高阶导数 106
5 微分 110
一 微分的概念 110
二 微分的运算法则 112
三 高阶微分 113
四 微分在近似计算中的应用 114
第六章 微分中值定理及其应用 119
1 拉格朗日定理和函数的单调性 119
一 罗尔定理与拉格朗日定理 119
二 单调函数 123
2 柯西中值定理和不定式极限 125
一 柯西中值定理 125
二 不定式极限 127
一 带有佩亚诺型余项的泰勒公式 134
3 泰勒公式 134
二 带有拉格朗日型余项的泰勒公式 138
三 在近似计算上的应用 140
4 函数的极值与量大(小)值 142
一 极值判别 142
二 最大值与最小值 144
5 函数的凸性与拐点 148
6 函数图象的讨论 154
7 方程的近似解 155
一 区间套定理与柯西收敛准则 161
1 关于实数集完备性的基本定理 161
第七章 实数的完备性 161
二 聚点定理与有限覆盖定理 163
三 实数完备性基本定理的等价性 166
2 闭区间上连续函数性质的证明 168
3 上极限和下极限 172
第八章 不定积分 176
1 不定积分概念与基本积分公式 176
一 原函数与不定积分 176
二 基本积分表 179
一 换元积分法 182
2 换元积分法与分部积分法 182
二 分部积分法 187
3 有理函数和可化为有理函数的不定积分 190
一 有理函数的不定积分 190
二 三角函数有理式的不定积分 194
三 某些无理根式的不定积分 195
第九章 定积分 200
1 定积分概念 200
一 问题提出 200
二 定积分的定义 201
2 牛顿--莱布尼茨公式 204
3 可积条件 207
一 可积的必要条件 207
二 可积的充要条件 208
三 可积函数类 209
4 定积分的性质 213
一 定积分的基本性质 213
二 积分中值定理 217
5 微积分学基本定理·定积分计算(续) 220
一 变限积分与原函数的存在性 220
二 换元积分法与分部积分法 224
三 泰勒公式的积分型余项 227
6 可积性理论补叙 231
一 上和与下和的性质 231
二 可积的充要条件 233
第十章 定积分的应用 239
1 平面图形的面积 239
2 由平行截面面积求体积 243
3 平面曲线的弧长与曲率 247
一 平面曲线的弧长 247
二 曲率 250
一 微元法 253
4 旋转曲面的面积 253
二 旋转曲面的面积 254
5 定积分在物理中的某些应用 255
一 液体静压力 255
二 引力 256
三 功与平均功率 257
6 定积分的近似计算 259
一 梯形法 260
二 抛物线法 260
一 问题提出 264
1 反常积分概念 264
第十一章 反常积分 264
二 两类反常积分的定义 265
2 无穷积分的性质与收敛判别 270
一 无究积分的性质 270
二 比较判别法 271
三 狄利克雷判别法与阿贝尔判别法 273
3 瑕积分的性质与收敛判别 276
附录Ⅰ 微积分学简史 281
附录Ⅱ 实数理论 289
一 建立实数的原则 289
二 分析 290
三 分划全体所成的有序集 292
四 R中的加法 294
五 R中的乘法 295
六 R作为Q的扩充 297
七 实数的无限小数表示 299
八 无限小数四则运算的定义 300
附录Ⅲ 积分表 303
一 含有xn的形式 303
二 含有a+bx的形式 303
五 含有？的形式 304
四 含有a+bx+cx2,b2≠4ac的形式 304
三 含有a2?x2,a>0的形式 304
六 含有？，a>0的形式 305
七 含有？，a>0的形式 306
八 含有sin x 或cos x的形式 306
九 含有tan x,cot x,sec x,cscx的形式 307
十 含有反三角函数的形式 308
十一 含有ex的形式 308
十二 含有ln x的形式 309
习题答案 310
索引 330
人名索引 334