序言 1
第1章 变分法的概念 1
1 泛函和泛函的极值 1
1.1 实例 1
1.2 泛函和泛函的极值 4
2 基本引理 8
习题1 10
第2章 固定边界的变分问题 12
1 欧拉(Euler)方程 12
1.1 欧拉方程的推导 12
1.2 欧拉方程的几种特殊情况 15
1.3 捷线问题的近似解 23
2 含多个未知函数的变分问题 25
3 含高阶导数的变分问题 29
4 参数形式的变分问题 33
5.1 泛函的一阶变分 38
5 泛函的变分 38
5.2 极值必要条件的变分表示 43
5.3 泛函的二阶变分 45
习题2 50
第3章 变动边界的变分问题 55
1 变动端点变分问题的自然边界条件 55
2 变动端点变分问题的横截条件 59
2.1 横截条件 59
2.2 一阶变分的一般形式 62
2.3 三维空间的横截条件 66
习题3 68
第4章 重积分的变分问题 71
1 固定边界问题 71
2 变动边界问题与自然边界条件 78
习题4 80
第5章 泛函的条件极值问题 82
1 短程线问题 82
2 等周问题 91
3 哈密顿(Hamilton)原理 99
习题5 104
第6章 泛函极值的充分条件 108
1 泛函弱极值的充分条件 108
1.1 雅可比(Jacobi)方程 109
1.2 雅可比判定法 112
1.3 欧拉方程与雅可比方程解的联系 114
2 泛函强极值的充分条件 117
2.1 极值曲线场 118
2.2 维尔斯特拉斯(Weierstrass)函数 119
2.3 强极值的充分条件 121
习题6 124
第7章 变分原理 125
1 预备知识 125
1.1 函数的内积 125
1.2 微分算子 128
2 与自共轭微分方程边值问题等价的变分问题 135
2.1 构造泛函 135
2.2 二次泛函的变分原理 137
2.3 非齐次边界条件 139
2.4 高阶方程的情形 141
3 与自共轭偏微分方程边值问题等价的变分问题 142
3.1 狄里克雷(Dirichlet)问题 143
3.2 诺伊曼(Neumann)问题 145
3.3 洛平(Robin)问题 147
3.4 非齐次边界条件 150
习题7 152
1.1 里兹法的基本思想 157
第8章 变分问题的近似解法 157
1 里兹法 157
1.2 二阶自共轭微分方程边值问题的里兹法 163
1.3 二阶自共轭偏微分方程边值问题的里兹法 169
2 伽辽金法 178
3 有限元法介绍 186
习题8 195
习题答案 198