变分法PDF电子书下载

序言 1

第1章 变分法的概念 1

1 泛函和泛函的极值 1

1.1 实例 1

1.2 泛函和泛函的极值 4

2 基本引理 8

习题1 10

第2章 固定边界的变分问题 12

1 欧拉(Euler)方程 12

1.1 欧拉方程的推导 12

1.2 欧拉方程的几种特殊情况 15

1.3 捷线问题的近似解 23

2 含多个未知函数的变分问题 25

3 含高阶导数的变分问题 29

4 参数形式的变分问题 33

5.1 泛函的一阶变分 38

5 泛函的变分 38

5.2 极值必要条件的变分表示 43

5.3 泛函的二阶变分 45

习题2 50

第3章 变动边界的变分问题 55

1 变动端点变分问题的自然边界条件 55

2 变动端点变分问题的横截条件 59

2.1 横截条件 59

2.2 一阶变分的一般形式 62

2.3 三维空间的横截条件 66

习题3 68

第4章 重积分的变分问题 71

1 固定边界问题 71

2 变动边界问题与自然边界条件 78

习题4 80

第5章 泛函的条件极值问题 82

1 短程线问题 82

2 等周问题 91

3 哈密顿(Hamilton)原理 99

习题5 104

第6章 泛函极值的充分条件 108

1 泛函弱极值的充分条件 108

1.1 雅可比(Jacobi)方程 109

1.2 雅可比判定法 112

1.3 欧拉方程与雅可比方程解的联系 114

2 泛函强极值的充分条件 117

2.1 极值曲线场 118

2.2 维尔斯特拉斯(Weierstrass)函数 119

2.3 强极值的充分条件 121

习题6 124

第7章 变分原理 125

1 预备知识 125

1.1 函数的内积 125

1.2 微分算子 128

2 与自共轭微分方程边值问题等价的变分问题 135

2.1 构造泛函 135

2.2 二次泛函的变分原理 137

2.3 非齐次边界条件 139

2.4 高阶方程的情形 141

3 与自共轭偏微分方程边值问题等价的变分问题 142

3.1 狄里克雷(Dirichlet)问题 143

3.2 诺伊曼(Neumann)问题 145

3.3 洛平(Robin)问题 147

3.4 非齐次边界条件 150

习题7 152

1.1 里兹法的基本思想 157

第8章 变分问题的近似解法 157

1 里兹法 157

1.2 二阶自共轭微分方程边值问题的里兹法 163

1.3 二阶自共轭偏微分方程边值问题的里兹法 169

2 伽辽金法 178

3 有限元法介绍 186

习题8 195

习题答案 198