第15章 空间解析几何与向量代数 1
15.1 空间直角坐标系 1
15.1.1 空间直角坐标系的概念 1
15.1.2 空间点的直角坐标 2
15.1.3 两点间的距离 3
15.1.4 线段的定比分点 4
15.2 向量代数 6
15.2.1 向量概念 6
15.2.2 向量的加减法 7
15.2.3 向量与数的乘法 9
15.3 向量的坐标 10
15.3.1 向量在轴上的投影 10
15.3.2 分向量与向量的坐标 12
15.3.3 向量的模与方向余弦 14
15.4 向量的数量积、向量积、混合积 16
15.4.1 两向量的数量积 16
15.4.2 两向量的向量积 19
15.4.3 向量的混合积 23
15.5 空间的直线与平面 26
15.5.1 平面的方程 27
15.5.2 两平面的相互关系 31
15.5.3 点到平面的距离 32
15.5.4 空间的直线方程 33
15.5.5 平面与直线间的关系、平面束 39
15.6 几种常见的二次曲面 43
15.6.1 柱面、投影柱面 44
15.6.2 球面 47
15.6.3 锥面 48
15.6.4 旋转曲面 50
15.6.5 椭球面 51
15.6.6 双曲面 53
15.6.7 抛物面 55
15.7 坐标轴的变换 59
15.7.1 坐标轴的平移 59
15.7.2 坐标轴的旋转 60
15.8 曲面方程与曲线方程 63
15.8.1 曲面的一般方程与参数方程 63
15.8.2 曲线的一般方程与参数方程 65
15.8.3 曲线在坐标面上的投影 66
15.8.4 曲线的一般方程与参数方程的互化 67
第16章 多元函数微分学 71
16.1 多元函数 71
16.1.1 平面点集 71
16.1.2 R2的几个基本定理 77
16.1.3 多元函数的基本概念 79
16.2 多元函数的极限与连续性 83
16.2.1 多元函数的极限 83
16.2.2 多元函数的连续性 90
16.2.3 有界闭区域上连续函数的性质 93
16.3 偏导数与全微分 95
16.3.1 偏导数及高阶偏导数的概念和计算 96
16.3.2 全微分 102
16.3.3 方向导数 113
16.4 复合函数微分法 119
16.4.1 链锁法则 119
16.4.2 一阶全微分形式的不变性 127
16.4.3 高阶全微分 128
16.5 隐函数存在定理与隐函数微分法 131
16.5.1 一个方程、一个自变量情形 132
16.5.2 一个方程、n（n≥2）个自变量的情形 135
16.5.3 方程组的情形 137
16.5.4 变量代换 145
16.6 多元函数微分学在几何中的应用 149
16.6.1 空间曲线的切线与法平面 149
16.6.2 曲面的切平面与法线 154
16.7 多元函数极值 159
16.7.1 二元函数泰勒公式 159
16.7.2 多元函数极值的必要条件与充分条件 164
16.7.3 最小二乘法 170
16.7.4 条件极值、拉格朗日乘数法 173
第17章 重积分 179
17.1 二重积分 179
17.1.1 二重积分的概念与性质 179
17.1.2 二重积分的计算 183
17.2 三重积分 204
17.2.1 三重积分的概念 204
17.2.2 三重积分的计算 206
17.2.3 n重积分 218
17.3 重积分的应用 224
17.3.1 几何上的应用 224
17.3.2 物理中的应用 229
第18章 曲线积分与曲面积分 236
18.1 曲线积分 236
18.1.1 第一型曲线积分的概念、性质及计算 236
18.1.2 第二型曲线积分的概念、性质及计算 243
18.1.3 两类曲线积分之间的联系 249
18.2 格林公式、平面曲线积分与路径无关的条件 255
18.2.1 格林公式 255
18.2.2 平面曲线积分与路径无关的条件 262
18.3 由面积分 267
18.3.1 第一型曲面积分的概念、性质及计算 268
18.3.2 第二型曲面积分的概念、性质及计算 271
18.4 高斯公式、斯托克斯公式 281
18.4.1 高斯公式 281
18.4.2 斯托克斯公式 287
18.4.3 空间曲线积分与路径无关的条件 291
18.5 微分形式简介 294
18.5.1 外积 294
18.5.2 外微分 300
18.5.3 牛顿－莱布尼兹公式的一般化 304
第19章 向量分析、场论与微分几何初步 309
19.1 向量值函数的分析性质 309
19.1.1 向量值函数的极限与连续 309
19.1.2 向量值函数的导数与积分 311
19.2 数量场与向量场 316
19.2.1 数量场的等值面与梯度 317
19.2.2 算符？的介绍 320
19.2.3 向量场的向量线 321
19.2.4 向量场的通量与散度 322
19.2.5 向量场的环量与旋度 327
19.2.6 保守场等几个重要的向量场 333
19.2.7 在正交曲线坐标系中？φ,？·F,？×F的表达式 336
19.3 空间曲线的基本知识 341
19.3.1 预备知识 341
19.3.2 曲线的弧长与活动标架 343
19.3.3 曲线的曲率、挠率与弗雷耐公式 352
19.4 空间曲面的基本知识 360
19.4.1 曲面的表示、参数变换、切平面 360
19.4.2 曲面的第一基本形式 365
19.4.3 曲面的法曲率、曲面的第二基本形式 369
第20章 无穷级数 376
20.1 数项级数 376
20.1.1 基本概念 376
20.1.2 收敛级数的性质 379
20.1.3 哥西收敛准则 382
20.1.4 正项级数的收敛判别法 384
20.1.5 任意项级数的收敛判别法 392
20.1.6 绝对收敛与条件收敛 398
20.2 函数项级数 408
20.2.1 函数项级数的一致收敛 409
20.2.2 一致收敛级数的分析性质 418
20.3 幂级数 424
20.3.1 幂级数的收敛半径 425
20.3.2 收敛半径的求法 428
20.3.3 幂级数的分析性质 431
20.4 泰勒级数 436
20.4.1 泰勒级数的概念及性质 437
20.4.2 初等函数的泰勒展开式 440
20.4.3 幂级数的某些应用 447
第21章 含参变量的积分 452
21.1 含参变量的常义积分 453
21.1.1 积分限固定的情形 453
21.1.2 积分限变动的情形 458
21.2 含参变量的广义积分 460
21.2.1 一致收敛的概念 460
21.2.2 一致收敛的判别法 462
21.2.3 一致收敛的含参变量的广义积分的性质 465
21.2.4 Г－函数与B－函数（欧拉积分） 470
21.2.5 几个重要的例子 476
第22章 傅立叶级数 480
22.1 傅立叶级数 480
22.1.1 三角函数系的正交性 481
22.1.2 以T为周期的函数的傅立叶级数 483
22.1.3 傅立叶级数的收敛性 486
22.1.4 奇、偶函数的傅立叶级数 493
22.1.5 有限区间上的函数的傅立叶级数 495
22.1.6 将函数展为正弦级数与余弦级数 500
22.2 复数形式的傅立叶级数 507
22.2.1 复数形式的傅氏级数 507
22.2.2 频谱分析 511
22.3 平均平方误差 516
22.3.1 平均平方误差 516
22.3.2 帕斯瓦尔（Parseval等式 520
第23章 一阶常微分方程 528
23.1 微分方程的基本概念 528
23.1.1 微分方程 528
23.1.2 微分方程的解 530
23.2 一阶微分方程 533
23.2.1 可分离变量的一阶方程 533
23.2.2 可化为变量分离方程的一阶方程 535
23.3 一阶线性微分方程 539
23.3.1 一阶线性微分方程的概念 539
23.3.2 伯努利（Bernoulli）方程 542
23.4 全微分方程 543
23.4.1 全微分方程的基本概念 543
23.4.2 积分因子法 545
23.5 一阶微分方程解的存在惟一性定理 548
23.5.1 存在惟一性定理 549
23.5.2 逐次逼近法与误差估计 555
23.6 一阶隐微分方程 557
23.6.1 可就y或x解出的方程 557
23.6.2 不显含y或x的方程 560
23.6.3 奇解 562
23.7 一阶微分方程应用举例 565
第24章 高阶常微分方程 569
24.1 几类特殊的高阶方程 570
24.1.1 类型y(n)=f(x) 570
24.1.2 类型F（x,y(n)）=0 571
24.1.3 类型y(n)=f（y(n-1)） 571
24.1.4 类型y(n)=f（y(n-2)） 572
24.2 n阶线性常微分方程 574
24.2.1 基本概念 574
24.2.2 n阶齐次线性方程解的结构 576
24.2.3 n阶非齐次线性方程的通解 582
24.2.4 降阶法和常数变易法 583
24.3 高阶常系数线性微分方程 587
24.3.1 二阶常系数齐次线性方程 588
24.3.2 二阶常系数非齐次线性方程 591
24.3.3 n阶常系数线性方程 596
24.3.4 欧拉方程 601
24.4 应用举例 604
24.5 微分方程的幂级数解法 613
24.5.1 概述 613
24.5.2 常点的情形 616
24.5.3 正则奇点的情形 618
第25章 常微分方程组 623
25.1 标准方程组 623
25.1.1 标准方程组的概念 623
25.1.2 标准方程组的向量形式与存在惟一性定理 625
25.1.3 首次积分 627
25.2 线性微分方程组的一般理论 633
25.2.1 齐次线性微分方程组解的结构 635
25.2.2 基本解矩阵 639
25.2.3 非齐次线性方程组解的结构 640
25.3 常系数线性微分方程组 644
25.3.1 常系数齐次线性方程组的求解 644
25.3.2 常系数非齐次线性方程组的求解 655
附录1 常系数非齐次线性微分方程的算子解法 657
附录2 常微分方程的数值解法 668
第26章 一阶偏微分方程 677
26.1 偏微分方程的基本概念 677
26.1.1 概念和记号 677
26.1.2 与常微分方程的比较 678
26.2 一阶线性及拟线性偏微分方程 680
26.2.1 特征线 680
26.2.2 哥西问题 683
26.2.3 线性及拟线性偏微分方程的通解 686
26.3 法夫（Pfaff）方程 689
第27章 定性理论基础简介 698
27.1 自治系统、相空间与轨线 698
27.2 二维自治系统的平衡点 700
27.2.1 线性系统的初等奇点 701
27.2.2 非线性系统的初等奇点 707
27.3 二维自治系统的极限环 708
27.4 自治系统平衡点的稳定性 713
27.4.1 稳定性定义 714
27.4.2 据线性近似系统判断稳定性 715
27.4.3 李雅普诺夫（Liapunov）直接法 718
习题答案 721
参考书目 757