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第15章 空间解析几何与向量代数 1

15.1 空间直角坐标系 1

15.1.1 空间直角坐标系的概念 1

15.1.2 空间点的直角坐标 2

15.1.3 两点间的距离 3

15.1.4 线段的定比分点 4

15.2 向量代数 6

15.2.1 向量概念 6

15.2.2 向量的加减法 7

15.2.3 向量与数的乘法 9

15.3 向量的坐标 10

15.3.1 向量在轴上的投影 10

15.3.2 分向量与向量的坐标 12

15.3.3 向量的模与方向余弦 14

15.4 向量的数量积、向量积、混合积 16

15.4.1 两向量的数量积 16

15.4.2 两向量的向量积 19

15.4.3 向量的混合积 23

15.5 空间的直线与平面 26

15.5.1 平面的方程 27

15.5.2 两平面的相互关系 31

15.5.3 点到平面的距离 32

15.5.4 空间的直线方程 33

15.5.5 平面与直线间的关系、平面束 39

15.6 几种常见的二次曲面 43

15.6.1 柱面、投影柱面 44

15.6.2 球面 47

15.6.3 锥面 48

15.6.4 旋转曲面 50

15.6.5 椭球面 51

15.6.6 双曲面 53

15.6.7 抛物面 55

15.7 坐标轴的变换 59

15.7.1 坐标轴的平移 59

15.7.2 坐标轴的旋转 60

15.8 曲面方程与曲线方程 63

15.8.1 曲面的一般方程与参数方程 63

15.8.2 曲线的一般方程与参数方程 65

15.8.3 曲线在坐标面上的投影 66

15.8.4 曲线的一般方程与参数方程的互化 67

第16章 多元函数微分学 71

16.1 多元函数 71

16.1.1 平面点集 71

16.1.2 R2的几个基本定理 77

16.1.3 多元函数的基本概念 79

16.2 多元函数的极限与连续性 83

16.2.1 多元函数的极限 83

16.2.2 多元函数的连续性 90

16.2.3 有界闭区域上连续函数的性质 93

16.3 偏导数与全微分 95

16.3.1 偏导数及高阶偏导数的概念和计算 96

16.3.2 全微分 102

16.3.3 方向导数 113

16.4 复合函数微分法 119

16.4.1 链锁法则 119

16.4.2 一阶全微分形式的不变性 127

16.4.3 高阶全微分 128

16.5 隐函数存在定理与隐函数微分法 131

16.5.1 一个方程、一个自变量情形 132

16.5.2 一个方程、n（n≥2）个自变量的情形 135

16.5.3 方程组的情形 137

16.5.4 变量代换 145

16.6 多元函数微分学在几何中的应用 149

16.6.1 空间曲线的切线与法平面 149

16.6.2 曲面的切平面与法线 154

16.7 多元函数极值 159

16.7.1 二元函数泰勒公式 159

16.7.2 多元函数极值的必要条件与充分条件 164

16.7.3 最小二乘法 170

16.7.4 条件极值、拉格朗日乘数法 173

第17章 重积分 179

17.1 二重积分 179

17.1.1 二重积分的概念与性质 179

17.1.2 二重积分的计算 183

17.2 三重积分 204

17.2.1 三重积分的概念 204

17.2.2 三重积分的计算 206

17.2.3 n重积分 218

17.3 重积分的应用 224

17.3.1 几何上的应用 224

17.3.2 物理中的应用 229

第18章 曲线积分与曲面积分 236

18.1 曲线积分 236

18.1.1 第一型曲线积分的概念、性质及计算 236

18.1.2 第二型曲线积分的概念、性质及计算 243

18.1.3 两类曲线积分之间的联系 249

18.2 格林公式、平面曲线积分与路径无关的条件 255

18.2.1 格林公式 255

18.2.2 平面曲线积分与路径无关的条件 262

18.3 由面积分 267

18.3.1 第一型曲面积分的概念、性质及计算 268

18.3.2 第二型曲面积分的概念、性质及计算 271

18.4 高斯公式、斯托克斯公式 281

18.4.1 高斯公式 281

18.4.2 斯托克斯公式 287

18.4.3 空间曲线积分与路径无关的条件 291

18.5 微分形式简介 294

18.5.1 外积 294

18.5.2 外微分 300

18.5.3 牛顿－莱布尼兹公式的一般化 304

第19章 向量分析、场论与微分几何初步 309

19.1 向量值函数的分析性质 309

19.1.1 向量值函数的极限与连续 309

19.1.2 向量值函数的导数与积分 311

19.2 数量场与向量场 316

19.2.1 数量场的等值面与梯度 317

19.2.2 算符？的介绍 320

19.2.3 向量场的向量线 321

19.2.4 向量场的通量与散度 322

19.2.5 向量场的环量与旋度 327

19.2.6 保守场等几个重要的向量场 333

19.2.7 在正交曲线坐标系中？φ,？·F,？×F的表达式 336

19.3 空间曲线的基本知识 341

19.3.1 预备知识 341

19.3.2 曲线的弧长与活动标架 343

19.3.3 曲线的曲率、挠率与弗雷耐公式 352

19.4 空间曲面的基本知识 360

19.4.1 曲面的表示、参数变换、切平面 360

19.4.2 曲面的第一基本形式 365

19.4.3 曲面的法曲率、曲面的第二基本形式 369

第20章 无穷级数 376

20.1 数项级数 376

20.1.1 基本概念 376

20.1.2 收敛级数的性质 379

20.1.3 哥西收敛准则 382

20.1.4 正项级数的收敛判别法 384

20.1.5 任意项级数的收敛判别法 392

20.1.6 绝对收敛与条件收敛 398

20.2 函数项级数 408

20.2.1 函数项级数的一致收敛 409

20.2.2 一致收敛级数的分析性质 418

20.3 幂级数 424

20.3.1 幂级数的收敛半径 425

20.3.2 收敛半径的求法 428

20.3.3 幂级数的分析性质 431

20.4 泰勒级数 436

20.4.1 泰勒级数的概念及性质 437

20.4.2 初等函数的泰勒展开式 440

20.4.3 幂级数的某些应用 447

第21章 含参变量的积分 452

21.1 含参变量的常义积分 453

21.1.1 积分限固定的情形 453

21.1.2 积分限变动的情形 458

21.2 含参变量的广义积分 460

21.2.1 一致收敛的概念 460

21.2.2 一致收敛的判别法 462

21.2.3 一致收敛的含参变量的广义积分的性质 465

21.2.4 Г－函数与B－函数（欧拉积分） 470

21.2.5 几个重要的例子 476

第22章 傅立叶级数 480

22.1 傅立叶级数 480

22.1.1 三角函数系的正交性 481

22.1.2 以T为周期的函数的傅立叶级数 483

22.1.3 傅立叶级数的收敛性 486

22.1.4 奇、偶函数的傅立叶级数 493

22.1.5 有限区间上的函数的傅立叶级数 495

22.1.6 将函数展为正弦级数与余弦级数 500

22.2 复数形式的傅立叶级数 507

22.2.1 复数形式的傅氏级数 507

22.2.2 频谱分析 511

22.3 平均平方误差 516

22.3.1 平均平方误差 516

22.3.2 帕斯瓦尔（Parseval等式 520

第23章 一阶常微分方程 528

23.1 微分方程的基本概念 528

23.1.1 微分方程 528

23.1.2 微分方程的解 530

23.2 一阶微分方程 533

23.2.1 可分离变量的一阶方程 533

23.2.2 可化为变量分离方程的一阶方程 535

23.3 一阶线性微分方程 539

23.3.1 一阶线性微分方程的概念 539

23.3.2 伯努利（Bernoulli）方程 542

23.4 全微分方程 543

23.4.1 全微分方程的基本概念 543

23.4.2 积分因子法 545

23.5 一阶微分方程解的存在惟一性定理 548

23.5.1 存在惟一性定理 549

23.5.2 逐次逼近法与误差估计 555

23.6 一阶隐微分方程 557

23.6.1 可就y或x解出的方程 557

23.6.2 不显含y或x的方程 560

23.6.3 奇解 562

23.7 一阶微分方程应用举例 565

第24章 高阶常微分方程 569

24.1 几类特殊的高阶方程 570

24.1.1 类型y(n)=f(x) 570

24.1.2 类型F（x,y(n)）=0 571

24.1.3 类型y(n)=f（y(n-1)） 571

24.1.4 类型y(n)=f（y(n-2)） 572

24.2 n阶线性常微分方程 574

24.2.1 基本概念 574

24.2.2 n阶齐次线性方程解的结构 576

24.2.3 n阶非齐次线性方程的通解 582

24.2.4 降阶法和常数变易法 583

24.3 高阶常系数线性微分方程 587

24.3.1 二阶常系数齐次线性方程 588

24.3.2 二阶常系数非齐次线性方程 591

24.3.3 n阶常系数线性方程 596

24.3.4 欧拉方程 601

24.4 应用举例 604

24.5 微分方程的幂级数解法 613

24.5.1 概述 613

24.5.2 常点的情形 616

24.5.3 正则奇点的情形 618

第25章 常微分方程组 623

25.1 标准方程组 623

25.1.1 标准方程组的概念 623

25.1.2 标准方程组的向量形式与存在惟一性定理 625

25.1.3 首次积分 627

25.2 线性微分方程组的一般理论 633

25.2.1 齐次线性微分方程组解的结构 635

25.2.2 基本解矩阵 639

25.2.3 非齐次线性方程组解的结构 640

25.3 常系数线性微分方程组 644

25.3.1 常系数齐次线性方程组的求解 644

25.3.2 常系数非齐次线性方程组的求解 655

附录1 常系数非齐次线性微分方程的算子解法 657

附录2 常微分方程的数值解法 668

第26章 一阶偏微分方程 677

26.1 偏微分方程的基本概念 677

26.1.1 概念和记号 677

26.1.2 与常微分方程的比较 678

26.2 一阶线性及拟线性偏微分方程 680

26.2.1 特征线 680

26.2.2 哥西问题 683

26.2.3 线性及拟线性偏微分方程的通解 686

26.3 法夫（Pfaff）方程 689

第27章 定性理论基础简介 698

27.1 自治系统、相空间与轨线 698

27.2 二维自治系统的平衡点 700

27.2.1 线性系统的初等奇点 701

27.2.2 非线性系统的初等奇点 707

27.3 二维自治系统的极限环 708

27.4 自治系统平衡点的稳定性 713

27.4.1 稳定性定义 714

27.4.2 据线性近似系统判断稳定性 715

27.4.3 李雅普诺夫（Liapunov）直接法 718

习题答案 721

参考书目 757