目 录 1
序 言 1
第一章抽象群概论 1
§1.1集合与映射 1
1-1集合 1
1-2映射 3
1-3等价关系 5
2-1群的定义 6
§1.2群和实例 6
2-2乘法表 8
2-3子群、陪集和群心 8
2-4群的同构与同态 9
§1.3群的基本性质 11
§1.4置换群 12
4-1置换和宇称 12
4-2凯雷（Cayley）定理 14
§1.5类、不变子群和商群 16
5-1共轭元素和类 16
5-3商群（因子群） 19
5-2不变子群 19
5-4直积群和半直积群 21
习题一 23
第二章群表示论基础 26
§2.1 群表示与表示空间 26
1-1基本定义 26
1-2群算符和表示空间 28
1-3物理学中的群表示和哈密顿群 30
§2.2群表示的几个重要概念 33
2-1等价表示 33
2-2表示的直和与直积 34
2-3不变子空间、可约与不可约表示 35
2-4直积群的表示 36
§2.3幺正表示及其重要性质 36
§2.4舒尔引理及群表示的正交关系 39
4-1舒尔引理Ⅰ 40
4-2舒尔引理Ⅱ 41
4-3不可约表示第一正交关系 44
§2.5群表示的特征标 46
5-1特征标的定义及其性质 47
5-2特征标第一正交关系 48
5-4不可约表示的判据 49
5-3可约表示的约化 49
§2.6不可约表示及特征标第二正交关系 50
6-1勃恩赛得（Burnside）定理 50
6-2群表示第二正交关系 51
6-3特征标第二正交关系 52
6-4不可约表示的确定及特征标表 53
§2.7群表示基函数 55
7-1 投影算符 56
7-2 D3群二维不可约表示基函数 58
7-3直积表示和直积群表示的基函数 61
7-4克莱布西—高登（Clebsch-Gordan）系数 62
习题二 65
第三章分子和晶体对称群 69
§3.1点群的对称操作 69
§3.2极射赤面投影 71
§3.3晶体32种点群 71
3-1晶体转轴制约定理 71
3-2点群C？ 73
3-3点群C？ 73
3-5点群S？ 74
3-4点群C？ 74
3-6点群D？ 75
3-7点群D？ 76
3-8点群D？ 76
3-9正多面体点群 77
§3.4晶系和点群的国际符号 81
§3.5点群的不可约表示 84
§3.6晶体空间群 93
6-1平移变换和空间群元 94
6-2晶体平移群及其不可约表示 95
6-3晶体空间群的不可约表示 98
§3.7点群的初步应用 104
7-1哈密顿对称群及守恒量 105
7-2能级简并和分裂 107
7-3矩阵元定理和选择定则 115
习题三 120
第四章线性群和张量表示 123
§4.1线性群及其维数 123
1-1基矢变换与一般线性群 123
1-2直积空间与张量 124
1-3各种经典群及其维数 126
2-1群代数及其约化 128
§4.2群代数 128
2-2幂等元 131
§4.3标准杨盘和杨氏算子 133
§4.4置换群的不可约表示及其特征标 136
4-1置换群的不可约表示维数 137
4-2置换群的不可约表示 138
4-3置换群不可约表示的特征标 142
§4.5置换群表示的外积及其约化 147
§4.6线性群的张量表示及其约化 150
6-1线性群的高秩张量表示 150
6-2置换对张量的作用 152
6-3置换和线性变换的可易性 153
6-4张量空间的约化 155
§4.7不可约张量表示维数 158
7-1 完全反对称K秩张量 159
7-2完全对称K秩张量 159
7-3三秩混合对称张量 159
7-4一般对称型张量 160
§4.8线性群的分支律及其直积表示的约化 162
8-1分支律 162
8-2不可约表示的直积约化 164
§4.9一般线性群不可约张量表示与其子群SL（N,C），GL（N,R），SL（N,R），U（N）和SU（N）的关系 166
§4.10 幺模群的逆步张量表示和SU（N）群的有限维不可约表示 170
10-1 幺模群的对偶表示与逆步张量表示 170
10-2SU（N）群的有限维不可约表示 171
习题四 174
第五章李群和李代数 177
§5.1拓扑初步 177
1-1拓扑和拓扑空间 177
1-2解析流形 179
1-3同伦和同伦群 182
§5.2拓扑群和李群 185
2-1拓扑群（连续群） 186
2-2连续变换群和结构函数 187
2-3李群实例 189
§5.3李群其它重要概念 190
3-1 同 构 190
3-2共轭类和不变子群 191
3-3连通性和叶 192
3-4李群紧致性和群上不变积分 194
4-1李群的无穷小变换及其生成元 199
§5.4李群和李代数 199
4-2李氏第一定理 205
4-3李氏第二定理和结构常数 206
4-4李氏第三定理和李代数 208
4-5李氏三定理的逆定理 210
4-6泰劳（Taylor）定理 212
习题五 216
第六章半单李代数的正则形式及其根图 218
§6.1 基本概念 218
2-1基林型和完全反对称结构常数 222
§6.2基林（Killing）型和半单李代数的嘉当（Cartan）判据及其卡塞米尔（Casimir）算子 222
2-2嘉当判据和卡塞米尔算子 223
2-3可解李代数和幂零李代数 225
§6.3半单李代数的正则形式 227
3-1嘉当子代数和李代数的秩 227
3-2李代数的正则形式和基林型 228
3-3根矢量的基本性质 231
§6.4根图和单李代数分类 235
4-1根图和韦耳（Weyl）反射 235
4-2半单李代数的分类 238
5-1正根和素根 241
§6.5素根和邓金（Dynkin）图 241
5-2邓金图 246
5-3李代数的根系 249
习题六 255
第七章李代数的表示及其应用 257
§7.1李群和李代数的表示 257
§7.2半单李代数的表示和权图 259
2-1权与权空间 259
2-2权的基本性质 261
2-3单李代数不可约表示的标记及权图 263
2-4不可约表示维数 270
§7.3直积表示及其约化 274
§7.4夸克模型和强子波函数 279
4-1强子的su（3）夸克波函数的权图 280
4-2su（n）李代数不可约表示权图的一般讨论 287
§7.5盖尔曼—欧丘巴（Gell-Mann,Okubo）质量 288
关系 288
§7.6su（6）夸克模型和重子磁矩 292
习题七 297
主要参考文献 297