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目 录 1

序 言 1

第一章抽象群概论 1

§1.1集合与映射 1

1-1集合 1

1-2映射 3

1-3等价关系 5

2-1群的定义 6

§1.2群和实例 6

2-2乘法表 8

2-3子群、陪集和群心 8

2-4群的同构与同态 9

§1.3群的基本性质 11

§1.4置换群 12

4-1置换和宇称 12

4-2凯雷（Cayley）定理 14

§1.5类、不变子群和商群 16

5-1共轭元素和类 16

5-3商群（因子群） 19

5-2不变子群 19

5-4直积群和半直积群 21

习题一 23

第二章群表示论基础 26

§2.1 群表示与表示空间 26

1-1基本定义 26

1-2群算符和表示空间 28

1-3物理学中的群表示和哈密顿群 30

§2.2群表示的几个重要概念 33

2-1等价表示 33

2-2表示的直和与直积 34

2-3不变子空间、可约与不可约表示 35

2-4直积群的表示 36

§2.3幺正表示及其重要性质 36

§2.4舒尔引理及群表示的正交关系 39

4-1舒尔引理Ⅰ 40

4-2舒尔引理Ⅱ 41

4-3不可约表示第一正交关系 44

§2.5群表示的特征标 46

5-1特征标的定义及其性质 47

5-2特征标第一正交关系 48

5-4不可约表示的判据 49

5-3可约表示的约化 49

§2.6不可约表示及特征标第二正交关系 50

6-1勃恩赛得（Burnside）定理 50

6-2群表示第二正交关系 51

6-3特征标第二正交关系 52

6-4不可约表示的确定及特征标表 53

§2.7群表示基函数 55

7-1 投影算符 56

7-2 D3群二维不可约表示基函数 58

7-3直积表示和直积群表示的基函数 61

7-4克莱布西—高登（Clebsch-Gordan）系数 62

习题二 65

第三章分子和晶体对称群 69

§3.1点群的对称操作 69

§3.2极射赤面投影 71

§3.3晶体32种点群 71

3-1晶体转轴制约定理 71

3-2点群C？ 73

3-3点群C？ 73

3-5点群S？ 74

3-4点群C？ 74

3-6点群D？ 75

3-7点群D？ 76

3-8点群D？ 76

3-9正多面体点群 77

§3.4晶系和点群的国际符号 81

§3.5点群的不可约表示 84

§3.6晶体空间群 93

6-1平移变换和空间群元 94

6-2晶体平移群及其不可约表示 95

6-3晶体空间群的不可约表示 98

§3.7点群的初步应用 104

7-1哈密顿对称群及守恒量 105

7-2能级简并和分裂 107

7-3矩阵元定理和选择定则 115

习题三 120

第四章线性群和张量表示 123

§4.1线性群及其维数 123

1-1基矢变换与一般线性群 123

1-2直积空间与张量 124

1-3各种经典群及其维数 126

2-1群代数及其约化 128

§4.2群代数 128

2-2幂等元 131

§4.3标准杨盘和杨氏算子 133

§4.4置换群的不可约表示及其特征标 136

4-1置换群的不可约表示维数 137

4-2置换群的不可约表示 138

4-3置换群不可约表示的特征标 142

§4.5置换群表示的外积及其约化 147

§4.6线性群的张量表示及其约化 150

6-1线性群的高秩张量表示 150

6-2置换对张量的作用 152

6-3置换和线性变换的可易性 153

6-4张量空间的约化 155

§4.7不可约张量表示维数 158

7-1 完全反对称K秩张量 159

7-2完全对称K秩张量 159

7-3三秩混合对称张量 159

7-4一般对称型张量 160

§4.8线性群的分支律及其直积表示的约化 162

8-1分支律 162

8-2不可约表示的直积约化 164

§4.9一般线性群不可约张量表示与其子群SL（N,C），GL（N,R），SL（N,R），U（N）和SU（N）的关系 166

§4.10 幺模群的逆步张量表示和SU（N）群的有限维不可约表示 170

10-1 幺模群的对偶表示与逆步张量表示 170

10-2SU（N）群的有限维不可约表示 171

习题四 174

第五章李群和李代数 177

§5.1拓扑初步 177

1-1拓扑和拓扑空间 177

1-2解析流形 179

1-3同伦和同伦群 182

§5.2拓扑群和李群 185

2-1拓扑群（连续群） 186

2-2连续变换群和结构函数 187

2-3李群实例 189

§5.3李群其它重要概念 190

3-1 同 构 190

3-2共轭类和不变子群 191

3-3连通性和叶 192

3-4李群紧致性和群上不变积分 194

4-1李群的无穷小变换及其生成元 199

§5.4李群和李代数 199

4-2李氏第一定理 205

4-3李氏第二定理和结构常数 206

4-4李氏第三定理和李代数 208

4-5李氏三定理的逆定理 210

4-6泰劳（Taylor）定理 212

习题五 216

第六章半单李代数的正则形式及其根图 218

§6.1 基本概念 218

2-1基林型和完全反对称结构常数 222

§6.2基林（Killing）型和半单李代数的嘉当（Cartan）判据及其卡塞米尔（Casimir）算子 222

2-2嘉当判据和卡塞米尔算子 223

2-3可解李代数和幂零李代数 225

§6.3半单李代数的正则形式 227

3-1嘉当子代数和李代数的秩 227

3-2李代数的正则形式和基林型 228

3-3根矢量的基本性质 231

§6.4根图和单李代数分类 235

4-1根图和韦耳（Weyl）反射 235

4-2半单李代数的分类 238

5-1正根和素根 241

§6.5素根和邓金（Dynkin）图 241

5-2邓金图 246

5-3李代数的根系 249

习题六 255

第七章李代数的表示及其应用 257

§7.1李群和李代数的表示 257

§7.2半单李代数的表示和权图 259

2-1权与权空间 259

2-2权的基本性质 261

2-3单李代数不可约表示的标记及权图 263

2-4不可约表示维数 270

§7.3直积表示及其约化 274

§7.4夸克模型和强子波函数 279

4-1强子的su（3）夸克波函数的权图 280

4-2su（n）李代数不可约表示权图的一般讨论 287

§7.5盖尔曼—欧丘巴（Gell-Mann,Okubo）质量 288

关系 288

§7.6su（6）夸克模型和重子磁矩 292

习题七 297

主要参考文献 297