多元函数微积分篇 1
第五章 多元函数的极限与连续 3
1 预备知识 3
1.1 平面点集 3
1.2 二元函数的概念 5
1.3 n维欧氏空间 6
2 二元函数的极限和连续 8
2.1 二元函数极限的概念 8
习题5.1 8
2.2 二元函数连续的概念 11
习题5.2 13
第六章 多元函数的微分 15
1 偏导数与全微分 15
1.1 偏导数的概念 15
1.2 中值定理 16
1.3 全微分的概念 19
1.4 可微与偏导数存在和偏导数连续的关系 21
习题6.1 24
2.1 复合函数的偏导数 26
2 复合函数的偏导数与方向导数 26
2.2 一阶微分形式不变性 30
2.3 方向导数 31
2.4 梯度 33
习题6.2 34
3 高阶偏导数与泰勒公式 35
3.1 高阶偏导数 35
3.2 泰勒公式 37
习题6.3 40
1.1 由一个方程确定的隐函数 42
第七章 隐函数存在定理及其应用 42
1 隐函数存在定理 42
1.2 由方程组确定的隐函数 49
1.3 反函数组 54
习题7.1 57
2 多元微分学的应用 60
2.1 几何应用 60
2.2 多元函数的极值 66
习题7.2 79
1.1 二重积分的概念 81
第八章 重积分 81
1 二重积分 81
1.2 二重积分的可积条件 84
1.3 可积函数类 85
1.4 二重积分的性质 86
习题8.1 88
2 二重积分的计算 89
2.1 化重积分为累次积分 89
2.2二重积分的变量替换 99
习题8.2 106
3 三重积分 109
3.1 三重积分 109
3.2 三重积分的计算 111
习题8.3 120
第九章 曲线积分和曲面积分 123
1 第一型曲线积分 123
1.1 第一型曲线积分的概念 123
1.2 第一型曲线积分的性质与计算 125
2.1 第二型曲线积分的概念 129
2 第二型曲线积分 129
习题9.1 129
2.2 第二型曲线积分的计算 132
2.3 两类曲线积分的关系 138
习题9.2 139
3 格林公式及曲线积分与路线无关的条件 140
3.1 格林公式 141
3.2 曲线积分与路线无关的条件 150
习题9.3 156
4.1 第一型曲面积分的概念 158
4 第一型曲面积分 158
4.2 第一型曲面积分的计算 159
习题9.4 161
5 第二型曲面积分 162
5.1 第二型曲面积分的概念 162
5.2 第二型曲面积分的计算 166
习题9.5 171
6 奥-高公式和斯托克斯公式 173
6.1 奥-高公式 173
6.2 斯托克斯公式 178
6.3 空间曲线积分与路线无关的条件 183
习题9.6 185
7 曲线积分与曲面积分的物理意义 188
7.1 场的基本概念 188
7.2 奥-高公式、斯托斯克斯公式（格林公式）的物理意义 189
第十章 含参变量积分 193
1 含参变量正常积分 193
1.1 含参变量正常积分的性质 193
1.2 例题 195
习题10.1 198
2 含参量广义积分的一致收敛性 200
2.1 二元函数的一致收敛 200
2.2 含参量广义积分的一致收敛及其判别 202
习题10.2 208
3 含参量广义积分的性质 209
3.1 含参量广义积分的性质 210
3.2 例题 213
3.3 欧拉(Euler)积分 216
习题10.3 219
无穷级数及极限理论篇 221
1 级数的收敛性及其性质 223
1.1 基本概念 223
第十一章 数项级数 223
1.2 柯西收敛准则 225
1.3 收敛级数的性质 227
习题11.1 228
2 正项级数 229
习题11.2 241
3.1 交错级数 243
3 任意项级数 243
3.2 绝对收敛和条件收敛级数 245
3.3 狄利克雷判别法和阿贝尔判别法 245
习题11.3 251
4 级数的重排与乘积 252
4.1 级数的重排 252
4.2 级数的乘积 256
习题11.4 259
1 函数列与函数项级数的一致收敛性 260
1.1 函数列及其一致收敛的概念 260
第十二章 函数项级数 260
1.2 函数列一致收敛的判别法 263
1.3 函数项级数一致收敛的概念 265
1.4 函数项级数一致收敛的充分判别法 270
习题12.1 273
2 一致收敛的函数列和函数项级数的性质 276
2.1 一致收敛函数列的性质 276
2.2 一致收敛的函数项级数和函数的性质 281
习题12.2 285
3.1 幂级数的收敛区域与收敛半径 286
3 幂级数 286
3.2 幂级数的性质 290
3.3 函数的幂级数展开 296
3.4 幂级数的应用 304
习题12.3 305
第十三章 傅里叶级数 308
1 傅里叶级数 308
1.1 三角函数系的正交性 308
1.2 傅里叶级数 309
1.3 收敛定理 311
习题13.1 325
2 收敛定理的证明 327
习题13.2 335
3 傅里叶级数的性质 335
习题13.3 341
4 连续函数的多项式逼近 342
习题13.4 345
第十四章 极限理论 347
1 实数概述 347
1.1 戴德金实数定义 348
1.2 戴德金实数连续性定理 352
2 实数连续性定理的等价性 354
3 实数完备性定理应用举例 360
习题14.1 367
4 上极限与下极限 367
4.1 上、下极限的概念 367
4.2 上、下极限的性质 369
4.3 上、下极限的应用 371
习题14.2 372
附录:微分形式及微分形式的外微分与积分 374