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多元函数微积分篇 1

第五章 多元函数的极限与连续 3

1 预备知识 3

1.1 平面点集 3

1.2 二元函数的概念 5

1.3 n维欧氏空间 6

2 二元函数的极限和连续 8

2.1 二元函数极限的概念 8

习题5.1 8

2.2 二元函数连续的概念 11

习题5.2 13

第六章 多元函数的微分 15

1 偏导数与全微分 15

1.1 偏导数的概念 15

1.2 中值定理 16

1.3 全微分的概念 19

1.4 可微与偏导数存在和偏导数连续的关系 21

习题6.1 24

2.1 复合函数的偏导数 26

2 复合函数的偏导数与方向导数 26

2.2 一阶微分形式不变性 30

2.3 方向导数 31

2.4 梯度 33

习题6.2 34

3 高阶偏导数与泰勒公式 35

3.1 高阶偏导数 35

3.2 泰勒公式 37

习题6.3 40

1.1 由一个方程确定的隐函数 42

第七章 隐函数存在定理及其应用 42

1 隐函数存在定理 42

1.2 由方程组确定的隐函数 49

1.3 反函数组 54

习题7.1 57

2 多元微分学的应用 60

2.1 几何应用 60

2.2 多元函数的极值 66

习题7.2 79

1.1 二重积分的概念 81

第八章 重积分 81

1 二重积分 81

1.2 二重积分的可积条件 84

1.3 可积函数类 85

1.4 二重积分的性质 86

习题8.1 88

2 二重积分的计算 89

2.1 化重积分为累次积分 89

2.2二重积分的变量替换 99

习题8.2 106

3 三重积分 109

3.1 三重积分 109

3.2 三重积分的计算 111

习题8.3 120

第九章 曲线积分和曲面积分 123

1 第一型曲线积分 123

1.1 第一型曲线积分的概念 123

1.2 第一型曲线积分的性质与计算 125

2.1 第二型曲线积分的概念 129

2 第二型曲线积分 129

习题9.1 129

2.2 第二型曲线积分的计算 132

2.3 两类曲线积分的关系 138

习题9.2 139

3 格林公式及曲线积分与路线无关的条件 140

3.1 格林公式 141

3.2 曲线积分与路线无关的条件 150

习题9.3 156

4.1 第一型曲面积分的概念 158

4 第一型曲面积分 158

4.2 第一型曲面积分的计算 159

习题9.4 161

5 第二型曲面积分 162

5.1 第二型曲面积分的概念 162

5.2 第二型曲面积分的计算 166

习题9.5 171

6 奥-高公式和斯托克斯公式 173

6.1 奥-高公式 173

6.2 斯托克斯公式 178

6.3 空间曲线积分与路线无关的条件 183

习题9.6 185

7 曲线积分与曲面积分的物理意义 188

7.1 场的基本概念 188

7.2 奥-高公式、斯托斯克斯公式（格林公式）的物理意义 189

第十章 含参变量积分 193

1 含参变量正常积分 193

1.1 含参变量正常积分的性质 193

1.2 例题 195

习题10.1 198

2 含参量广义积分的一致收敛性 200

2.1 二元函数的一致收敛 200

2.2 含参量广义积分的一致收敛及其判别 202

习题10.2 208

3 含参量广义积分的性质 209

3.1 含参量广义积分的性质 210

3.2 例题 213

3.3 欧拉(Euler)积分 216

习题10.3 219

无穷级数及极限理论篇 221

1 级数的收敛性及其性质 223

1.1 基本概念 223

第十一章 数项级数 223

1.2 柯西收敛准则 225

1.3 收敛级数的性质 227

习题11.1 228

2 正项级数 229

习题11.2 241

3.1 交错级数 243

3 任意项级数 243

3.2 绝对收敛和条件收敛级数 245

3.3 狄利克雷判别法和阿贝尔判别法 245

习题11.3 251

4 级数的重排与乘积 252

4.1 级数的重排 252

4.2 级数的乘积 256

习题11.4 259

1 函数列与函数项级数的一致收敛性 260

1.1 函数列及其一致收敛的概念 260

第十二章 函数项级数 260

1.2 函数列一致收敛的判别法 263

1.3 函数项级数一致收敛的概念 265

1.4 函数项级数一致收敛的充分判别法 270

习题12.1 273

2 一致收敛的函数列和函数项级数的性质 276

2.1 一致收敛函数列的性质 276

2.2 一致收敛的函数项级数和函数的性质 281

习题12.2 285

3.1 幂级数的收敛区域与收敛半径 286

3 幂级数 286

3.2 幂级数的性质 290

3.3 函数的幂级数展开 296

3.4 幂级数的应用 304

习题12.3 305

第十三章 傅里叶级数 308

1 傅里叶级数 308

1.1 三角函数系的正交性 308

1.2 傅里叶级数 309

1.3 收敛定理 311

习题13.1 325

2 收敛定理的证明 327

习题13.2 335

3 傅里叶级数的性质 335

习题13.3 341

4 连续函数的多项式逼近 342

习题13.4 345

第十四章 极限理论 347

1 实数概述 347

1.1 戴德金实数定义 348

1.2 戴德金实数连续性定理 352

2 实数连续性定理的等价性 354

3 实数完备性定理应用举例 360

习题14.1 367

4 上极限与下极限 367

4.1 上、下极限的概念 367

4.2 上、下极限的性质 369

4.3 上、下极限的应用 371

习题14.2 372

附录:微分形式及微分形式的外微分与积分 374