第一章 典型方程与典型定解问题 1
1 偏微分方程举例和基本概念 1
1.1 偏微分方程举例 1
1.2 基本概念 2
习题 3
2 热传导方程及其定解问题 4
2.1 热传导问题的提出 4
2.2 热传导方程 5
2.3 热传导方程的定解条件 8
2.4 热传导方程的典型定解问题 10
2.5 低维热传导方程及其定解问题 12
习题 13
3 波动方程及其定解问题 14
3.1 波动方程的物理背景 14
3.2 弦的微小横振动方程 15
3.3 弦振动方程的定解条件 18
3.4 弦振动方程的典型定解问题 21
3.5 二维和三维波动问题 22
习题 23
4 位势方程及其定解问题 23
4.1 位势方程 23
4.2 典型定解问题 24
习题 25
5.1 衔接条件 26
5 衔接条件和方程的分类与标准型 26
5.2 二阶线性偏微分方程的分类与标准型 28
习题 33
6 适定性概念和课程的基本内容 34
6.1 适定性概念 34
6.2 课程的基本内容 35
7 叠加原理 36
7.1 方程型的叠加原理 37
7.2 定解问题型的叠加原理 38
习题 39
1 Duhamel原理 40
1.1 Duhamel原理 40
第二章 行波法 40
1.2 Duhamel原理的物理背景 41
习题 42
2 一维波动问题 43
2.1 无界弦的自由振动 43
2.2 无界弦的强迫振动 45
习题 46
3 空间波动方程 47
3.1 球面波方程 47
3.2 空间齐次波动问题 49
3.3 空间非齐次波动问题 52
3.4 二维波动问题 54
习题 56
4.1 d′Alembert公式的物理意义 57
4 波动问题解的物理性质 57
4.2 依赖区域、决定区域和影响区域 59
4.3 空间波传播的物理性质 62
4.4 二维波传播的物理性质 64
第三章 分离变量法 66
1 常微分方程的本征值问题 66
1.1 第一齐边值条件的本征值问题 66
1.2 第二齐边值条件的本征值问题 68
习题 69
2 弦振动方程的第一边值问题 70
2.1 齐方程齐边值条件的情形 70
2.2 非齐方程齐边值条件的情形 73
2.3 非齐方程非齐边值条件的情形 77
2.4 解的物理意义 78
习题 80
3 热传导方程的第二边值问题 82
3.1 齐边值条件的情形 82
3.2 非齐边值条件的情形 85
习题 86
4 位势方程的第一边值问题 87
4.1 矩形域上的第一边值问题 87
4.2 圆域上的第一边值问题 89
习题 93
1 积分变换的一般概念 95
1.1 基本定义 95
第四章 积分变换法 95
1.2 常见的积分变换 96
1.3 积分变换的作用 98
2 Fourier积分公式 98
2.1 Fourier积分公式的形式推导 98
2.2 Fourier积分公式成立的充分条件 101
习题 104
3 Fourier变换 105
3.1 Fourier变换的概念 105
3.2 Fourier变换的基本性质 106
3.3 多重Fourier变换 108
习题 109
4.1 齐方程的初值问题 111
4 Fourier变换的应用 111
4.2 非齐方程的初值问题 112
4.3 半无界区间上的边值问题 114
习题 117
5 Lapace变换 118
5.1 Laplace变换的形式推导 118
5.2 存在定理与反演公式 120
5.3 展开定理 124
习题 135
6 Laplace变换的基本性质及其应用 135
6.1 Laplace变换的基本性质 135
6.2 热传导方程的初值问题 144
6.3 热传导方程的混合问题 149
习题 151
第五章 Green函数法 153
1 δ－函数 153
1.1 δ－函数的定义 153
1.2 δ－函数的物理意义 154
1.3 δ－函数作为普通函数的弱极限 155
1.4 弱相等概念和δ－函数的性质 159
1.5 高维δ－函数 163
习题 163
2 解初值问题的Green函数法 164
2.1 基本思想 164
2.2 解一维初值问题的Green函数法 166
2.3 解三维初值问题的Green函数法 169
习题 173
3 解混合问题的Green函数法 174
3.1 Green函数的概念及其表达式 174
3.2 Green函数法 175
习题 175
4 解Poisson方程第一边值问题的Green函数法 176
4.1 Green第一公式和第二公式 176
4.2 点源场 177
4.3 Green函数及其物理意义 178
4.4 Green函数法 180
4.5 求Green函数的静电源象法 184
4.6 Green函数的对称性 189
习题 192
第六章 变分原理与变分方法 196
1 单积分型泛函的变分问题 197
1.1 模型问题 197
1.2 变分问题的确切提法 198
1.3 变分原理——Euler方程 201
1.4 泛函的变分 206
1.5 二阶变分和极值函数的充分条件 207
1.6 多个函数的变分问题 209
习题 212
2 重积分型泛函的变分问题 213
2.1 极小曲面问题 213
2.2 变分问题及其原理 214
2.3 J（u）的一阶变分 218
习题 219
3 条件极值 220
3.1 等周问题 220
3.2 一般变分问题 220
3.3 等周问题的解 223
习题 225
4 自然边值条件 227
4.1 变动端点问题的自然边值条件 227
4.2 变动边值问题的自然边值条件 229
4.3 更一般的泛函的自然边值条件 231
5 变分法与数学物理定解问题 234
5.1 极值原理 234
习题 234
5.2 膜的微小横振动方程 235
习题 237
6 边值问题与变分问题 237
6.1 变分方法大意 237
6.2 常微边值问题对应的变分问题 238
6.3 Poison方程对应的变分问题 241
7 解变分问题的直接方法 242
7.1 一个常微分方程边值问题解的存在与唯一性 242
7.2 直接方法的基本思想 244
7.3 作极小函数列的Ritz方法 244
7.4 解变分问题的Ritz方法 252
7.5 解变分问题的Galerkin方法 254
习题 256
8 解本征值问题的变分方法 259
8.1 本征值和本征函数的一些性质 259
8.2 本征值问题与变分问题 261
8.3 本征值和本征函数的求法举例 263
第七章 定解问题的唯一性与稳定性 267
1 弦振动方程混合问题解的唯一性 267
1.1 能量守恒原理 267
1.2 唯一性定理 269
习题 271
2 位势方程边值问题的适定性 273
2.1 调和函数的积分表达式 273
2.2 极值原理 276
2.3 唯一性与稳定性定理 279
2.4 可微性定理 281
习题 282
3 热传导方程混合问题解的唯一性与稳定性 283
3.1 极值原理 283
3.2 唯一性与稳定性 285
习题 287
4 不适定问题的例子 287
4.1 Laplace方程的不适定例子 287
4.2 弦振动方程的不适定例子 288
5 广义解 289
5.1 解的概念应当推广 289
5.2 广义解的概念 291
5.3 广义解的进一步讨论 294
5.4 广义解的求法 296
第八章 附录 301
1 Fourier级数的逐项微商定理 301
1.1 展开定理及其推论 301
1.2 基本引理 302
1.3 逐项微商定理 307
2 形式解为真解的条件 308
2.1 第三章 的定解问题（2.1）—（2.3） 308
2.2 第三章 的定解问题（4.11）—（4.12） 309
3 一个函数系的完全性证明 311
4 积分变换表 313
提示和答案 317