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第一章 典型方程与典型定解问题 1

1 偏微分方程举例和基本概念 1

1.1 偏微分方程举例 1

1.2 基本概念 2

习题 3

2 热传导方程及其定解问题 4

2.1 热传导问题的提出 4

2.2 热传导方程 5

2.3 热传导方程的定解条件 8

2.4 热传导方程的典型定解问题 10

2.5 低维热传导方程及其定解问题 12

习题 13

3 波动方程及其定解问题 14

3.1 波动方程的物理背景 14

3.2 弦的微小横振动方程 15

3.3 弦振动方程的定解条件 18

3.4 弦振动方程的典型定解问题 21

3.5 二维和三维波动问题 22

习题 23

4 位势方程及其定解问题 23

4.1 位势方程 23

4.2 典型定解问题 24

习题 25

5.1 衔接条件 26

5 衔接条件和方程的分类与标准型 26

5.2 二阶线性偏微分方程的分类与标准型 28

习题 33

6 适定性概念和课程的基本内容 34

6.1 适定性概念 34

6.2 课程的基本内容 35

7 叠加原理 36

7.1 方程型的叠加原理 37

7.2 定解问题型的叠加原理 38

习题 39

1 Duhamel原理 40

1.1 Duhamel原理 40

第二章 行波法 40

1.2 Duhamel原理的物理背景 41

习题 42

2 一维波动问题 43

2.1 无界弦的自由振动 43

2.2 无界弦的强迫振动 45

习题 46

3 空间波动方程 47

3.1 球面波方程 47

3.2 空间齐次波动问题 49

3.3 空间非齐次波动问题 52

3.4 二维波动问题 54

习题 56

4.1 d′Alembert公式的物理意义 57

4 波动问题解的物理性质 57

4.2 依赖区域、决定区域和影响区域 59

4.3 空间波传播的物理性质 62

4.4 二维波传播的物理性质 64

第三章 分离变量法 66

1 常微分方程的本征值问题 66

1.1 第一齐边值条件的本征值问题 66

1.2 第二齐边值条件的本征值问题 68

习题 69

2 弦振动方程的第一边值问题 70

2.1 齐方程齐边值条件的情形 70

2.2 非齐方程齐边值条件的情形 73

2.3 非齐方程非齐边值条件的情形 77

2.4 解的物理意义 78

习题 80

3 热传导方程的第二边值问题 82

3.1 齐边值条件的情形 82

3.2 非齐边值条件的情形 85

习题 86

4 位势方程的第一边值问题 87

4.1 矩形域上的第一边值问题 87

4.2 圆域上的第一边值问题 89

习题 93

1 积分变换的一般概念 95

1.1 基本定义 95

第四章 积分变换法 95

1.2 常见的积分变换 96

1.3 积分变换的作用 98

2 Fourier积分公式 98

2.1 Fourier积分公式的形式推导 98

2.2 Fourier积分公式成立的充分条件 101

习题 104

3 Fourier变换 105

3.1 Fourier变换的概念 105

3.2 Fourier变换的基本性质 106

3.3 多重Fourier变换 108

习题 109

4.1 齐方程的初值问题 111

4 Fourier变换的应用 111

4.2 非齐方程的初值问题 112

4.3 半无界区间上的边值问题 114

习题 117

5 Lapace变换 118

5.1 Laplace变换的形式推导 118

5.2 存在定理与反演公式 120

5.3 展开定理 124

习题 135

6 Laplace变换的基本性质及其应用 135

6.1 Laplace变换的基本性质 135

6.2 热传导方程的初值问题 144

6.3 热传导方程的混合问题 149

习题 151

第五章 Green函数法 153

1 δ－函数 153

1.1 δ－函数的定义 153

1.2 δ－函数的物理意义 154

1.3 δ－函数作为普通函数的弱极限 155

1.4 弱相等概念和δ－函数的性质 159

1.5 高维δ－函数 163

习题 163

2 解初值问题的Green函数法 164

2.1 基本思想 164

2.2 解一维初值问题的Green函数法 166

2.3 解三维初值问题的Green函数法 169

习题 173

3 解混合问题的Green函数法 174

3.1 Green函数的概念及其表达式 174

3.2 Green函数法 175

习题 175

4 解Poisson方程第一边值问题的Green函数法 176

4.1 Green第一公式和第二公式 176

4.2 点源场 177

4.3 Green函数及其物理意义 178

4.4 Green函数法 180

4.5 求Green函数的静电源象法 184

4.6 Green函数的对称性 189

习题 192

第六章 变分原理与变分方法 196

1 单积分型泛函的变分问题 197

1.1 模型问题 197

1.2 变分问题的确切提法 198

1.3 变分原理——Euler方程 201

1.4 泛函的变分 206

1.5 二阶变分和极值函数的充分条件 207

1.6 多个函数的变分问题 209

习题 212

2 重积分型泛函的变分问题 213

2.1 极小曲面问题 213

2.2 变分问题及其原理 214

2.3 J（u）的一阶变分 218

习题 219

3 条件极值 220

3.1 等周问题 220

3.2 一般变分问题 220

3.3 等周问题的解 223

习题 225

4 自然边值条件 227

4.1 变动端点问题的自然边值条件 227

4.2 变动边值问题的自然边值条件 229

4.3 更一般的泛函的自然边值条件 231

5 变分法与数学物理定解问题 234

5.1 极值原理 234

习题 234

5.2 膜的微小横振动方程 235

习题 237

6 边值问题与变分问题 237

6.1 变分方法大意 237

6.2 常微边值问题对应的变分问题 238

6.3 Poison方程对应的变分问题 241

7 解变分问题的直接方法 242

7.1 一个常微分方程边值问题解的存在与唯一性 242

7.2 直接方法的基本思想 244

7.3 作极小函数列的Ritz方法 244

7.4 解变分问题的Ritz方法 252

7.5 解变分问题的Galerkin方法 254

习题 256

8 解本征值问题的变分方法 259

8.1 本征值和本征函数的一些性质 259

8.2 本征值问题与变分问题 261

8.3 本征值和本征函数的求法举例 263

第七章 定解问题的唯一性与稳定性 267

1 弦振动方程混合问题解的唯一性 267

1.1 能量守恒原理 267

1.2 唯一性定理 269

习题 271

2 位势方程边值问题的适定性 273

2.1 调和函数的积分表达式 273

2.2 极值原理 276

2.3 唯一性与稳定性定理 279

2.4 可微性定理 281

习题 282

3 热传导方程混合问题解的唯一性与稳定性 283

3.1 极值原理 283

3.2 唯一性与稳定性 285

习题 287

4 不适定问题的例子 287

4.1 Laplace方程的不适定例子 287

4.2 弦振动方程的不适定例子 288

5 广义解 289

5.1 解的概念应当推广 289

5.2 广义解的概念 291

5.3 广义解的进一步讨论 294

5.4 广义解的求法 296

第八章 附录 301

1 Fourier级数的逐项微商定理 301

1.1 展开定理及其推论 301

1.2 基本引理 302

1.3 逐项微商定理 307

2 形式解为真解的条件 308

2.1 第三章 的定解问题（2.1）—（2.3） 308

2.2 第三章 的定解问题（4.11）—（4.12） 309

3 一个函数系的完全性证明 311

4 积分变换表 313

提示和答案 317