第1章 函数、极限与连续 1
1.1 函数的概念与简单性质 1
1.1.1 集合、常量与变量 1
1.1.2 函数的概念 3
1.1.3 函数的简单性质 5
1.1.4 反函数和复合函数 7
1.1.5 初等函数 8
习题1-1 13
1.2 数列的极限 15
1.2.1 数列极限的定义 15
1.2.2 收敛数列极限的性质 19
1.2.3 数列极限的存在准则 19
1.2.4 数列极限的四则运算法则 21
习题1-2 22
1.3 函数的极限 23
1.3.1 x→∞时函数的极限 23
1.3.2 x→x0时函数的极限 24
1.3.3 函数极限的运算法则 26
1.3.4 两个重要极限 28
习题1-3 31
1.4 无穷小量和无穷大量 33
1.4.1 无穷小量 33
1.4.2 无穷大量 37
习题1-4 37
1.5 函数的连续性 38
1.5.1 函数的连续性 38
1.5.2 函数的间断点 39
1.5.3 初等函数的连续性及连续函数的性质 41
1.5.4 闭区间上连续函数的性质 43
习题1-5 44
总习题一 45
习题答案 46
第2章 导数与微分 50
2.1 导数的概念 50
2.1.1 引例 50
2.1.2 导数的概念 51
2.1.3 左导数和右导数 54
2.1.4 可导与连续的关系 55
习题2-1 56
2.2 导数的四则运算法则 57
习题2-2 59
2.3 复合函数求导法 60
2.3.1 复合函数的求导法则 60
2.3.2 反函数的导数 62
2.3.3 隐函数的导数 63
2.3.4 对数求导法 64
2.3.5 参数方程确定函数的导数 65
2.3.6 基本求导公式和法则 67
习题2-3 68
2.4 高阶导数 69
习题2-4 71
2.5 函数的微分 72
2.5.1 微分的定义 72
2.5.2 微分的几何意义 74
2.5.3 微分的运算法则 75
2.5.4 微分在近似计算中的应用 77
习题2-5 77
总习题二 79
习题答案 79
第3章 微分中值定理与导数的应用 84
3.1 微分中值定理 84
3.1.1 罗尔定理 84
3.1.2 拉格朗日中值定理 85
3.1.3 柯西中值定理 87
3.1.4 泰勒公式 87
习题3-1 88
3.2 洛必达法则 89
3.2.1 “0/0”型和“∞／∞”型未定式 89
3.2.2 其他类型的未定式 91
习题3-2 92
3.3 函数的单调性和曲线的凹凸性 93
3.3.1 函数单调性的判定法 93
3.3.2 曲线的凹凸性与拐点 95
习题3-3 96
3.4 函数的极值与最大值、最小值问题 97
3.4.1 函数的极值及其求法 97
3.4.2 函数的最大值与最小值问题 100
习题3-4 101
3.5 函数图形的描绘 103
3.5.1 曲线的渐近线 103
3.5.2 函数y=f（x）图形的描绘 104
习题3-5 105
3.6 弧微分与曲率 105
3.6.1 弧微分 106
3.6.2 曲率及其计算 106
3.6.3 曲率圆 108
习题3-6 108
总习题三 108
习题答案 109
第4章 不定积分 112
4.1 不定积分的概念与性质 112
4.1.1 原函数与不定积分的概念 112
4.1.2 基本积分表 114
4.1.3 不定积分的性质 115
习题4-1 116
4.2 第一类换元积分法 117
习题4-2 122
4.3 第二类换元积分法 123
习题4-3 126
4.4 分部积分法 126
习题4-4 130
4.5 有理函数和可化为有理函数的积分 130
4.5.1 有理函数的积分 130
4.5.2 三角函数有理式的积分 134
4.5.3 几类简单无理函数的积分 135
习题4-5 136
总习题四 137
习题答案 138
第5章 定积分及其应用 141
5.1 定积分的概念与性质 141
5.1.1 引入定积分概念的实例 141
5.1.2 定积分定义 142
5.1.3 定积分的性质 145
习题5-1 147
5.2 微积分基本公式 147
5.2.1 变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 148
5.2.2 积分上限的函数及其导数 148
5.2.3 牛顿-莱布尼茨公式 149
习题5-2 151
5.3 定积分的换元法和分部积分法 152
5.3.1 定积分的换元法 152
5.3.2 定积分的分部积分法 155
习题5-3 157
5.4 广义积分 157
5.4.1 无穷限的广义积分 157
5.4.2 无界函数的广义积分 159
习题5-4 161
5.5 定积分在几何学上的应用 162
5.5.1 定积分的元素法 162
5.3.2 平面图形的面积 163
5.5.3 求体积 167
5.5.4 求平面曲线的弧长 170
习题5-5 172
5.6 定积分的物理应用 173
5.6.1 变力沿直线所作的功 173
5.6.2 水压力 174
5.6.3 引力 176
习题5-6 176
总习题五 177
习题答案 179
第6章 微分方程 183
6.1 微分方程的基本概念 183
习题6-1 186
6.2 一阶微分方程的解法 186
6.2.1 可分离变量的微分方程 187
6.2.2 齐次微分方程 189
6.2.3 一阶线性微分方程 190
6.2.4 伯努利方程 193
习题6-2 194
6.3 高阶微分方程的解法 196
6.3.1 可降阶的高阶微分方程 196
6.3.2 二阶线性微分方程解的结构 199
6.3.3 二阶常系数齐次线性微分方程的解法 201
6.3.4 二阶常系数非齐次线性微分方程的解法 203
习题6-3 207
总习题六 208
习题答案 209
第7章 向量代数与空间解析几何 212
7.1 空间直角坐标系与向量的线性运算 212
7.1.1 空间直角坐标系 212
7.1.2 向量的概念 213
7.1.3 向量的线性运算 213
7.1.4 向量的坐标表示 215
7.1.5 向量的模与方向余弦 217
习题7-1 219
7.2 向量的数量积与向量积 219
7.2.1 两向量的数量积 219
7.2.2 两向量的向量积 221
习题7-2 225
7.3 平面及其方程 225
7.3.1 平面的点法式方程 225
7.3.2 平面的一般式方程 226
7.3.3 两平面的夹角 228
7.3.4 平面外一点到平面的距离 228
习题7-3 229
7.4 空间直线及其方程 229
7.4.1 直线的一般式方程 229
7.4.2 直线的对称式方程与参数方程 229
7.4.3 两直线的夹角 231
7.4.4 直线与平面的夹角 232
7.4.5 综合举例 232
习题7-4 234
7.5 曲面及其方程 235
7.5.1 曲面方程的概念 235
7.5.2 几种常见曲面及其方程 235
7.5.3 二次曲面 238
习题7-5 240
7.6 空间曲线及其方程 241
7.6.1 空间曲线的方程 241
7.6.2 空间曲线在坐标面上的投影 242
7.6.3 空间立体图形的投影 244
习题7-6 245
总习题七 245
习题答案 246
第8章 多元函数微分法及其应用 250
8.1 多元函数的基本概念与极限 250
8.1.1 平面点集、区域 250
8.1.2 多元函数的概念 252
8.1.3 二元函数的极限与连续性 254
习题8-1 257
8.2 偏导数 258
8.2.1 偏导数的定义及其计算方法 258
8.2.2 高阶偏导数 261
习题8-2 262
8.3 全微分及其应用 263
8.3.1 全微分的定义 263
8.3.2 全微分在近似计算中的应用 266
习题8-3 267
8.4 复合函数与隐函数求导法 267
8.4.1 多元复合函数的求导法则 267
8.4.2 全微分形式不变性 271
8.4.3 隐函数的求导公式 272
习题8-4 275
8.5 方向导数与梯度 276
8.5.1 方向导数 276
8.5.2 梯度 277
习题8-5 279
8.6 微分法在几何上的应用 280
8.6.1 空间曲线的切线与法平面 280
8.6.2 曲面的切平面与法线 281
习题8-6 283
8.7 多元函数的极值及其求法 284
8.7.1 多元函数的极值 284
8.7.2 多元函数的最大值与最小值 286
8.7.3 条件极值拉格朗日乘数法 287
习题8-7 289
总习题八 289
习题答案 291
第9章 多元函数积分学 296
9.1 二重积分的概念与性质 296
9.1.1 两个实例 296
9.1.2 二重积分的概念 298
9.1.3 二重积分的性质 299
习题9-1 301
9.2 二重积分的计算 302
9.2.1 在直角坐标系下二重积分的计算方法 302
9.2.2 在极坐标系下二重积分的计算方法 309
习题9-2 313
9.3 二重积分的应用 315
9.3.1 曲面的面积 315
9.3.2 平面薄片的重心 317
9.3.3 平面薄片的转动惯量 319
习题9-3 321
9.4 三重积分 321
9.4.1 三重积分的概念 321
9.4.2 三重积分的计算方法 322
9.4.3 三重积分的应用 327
习题9-4 328
9.5 对弧长的曲线积分 329
9.5.1 对弧长的曲线积分的概念与性质 330
9.5.2 对弧长的曲线积分的算法 331
9.5.3 对弧长的曲线积分的推广 334
9.5.4 对弧长的曲线积分的应用举例 334
习题9-5 336
9.6 对坐标的曲线积分 337
9.6.1 对坐标的曲线积分的概念与性质 337
9.6.2 对坐标的曲线积分的算法 339
9.6.3 两类曲线积分之间的关系 342
习题9-6 343
9.7 格林公式及其应用 344
9.7.1 格林公式 344
9.7.2 平面上曲线积分与路径无关的条件 349
9.7.3 二元函数全微分的求积问题 351
习题9-7 355
总习题九 356
习题答案 358
第10章 无穷级数 362
10.1 常数项级数的概念和性质 362
10.1.1 常数项级数的概念 362
10.1.2 常数项级数的基本性质 363
习题10-1 366
10.2 常数项级数的审敛法 366
10.2.1 正项级数及其审敛法 366
10.2.2 交错级数及其审敛法 371
10.2.3 绝对收敛与条件收敛 372
习题10-2 374
10.3 幂级数 375
10.3.1 函数项级数的概念 375
10.3.2 幂级数及其收敛性 376
10.3.3 幂级数的运算 379
习题10-3 381
10.4 函数展开成幂级数 381
10.4.1 泰勒级数 382
10.4.2 函数展开成幂级数 383
10.4.3 函数的幂级数展开式应用 388
习题10-4 391
10.5 傅里叶级数 391
10.5.1 以2π为周期的函数展开成傅里叶级数 391
10.5.2 周期为2l的周期函数的傅里叶级数 398
习题10-5 401
总习题十 401
习题答案 403
附录Ⅰ 几种常用的曲线 406
附录Ⅱ 简明积分表 408