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第1章　函数、极限与连续 1

1.1　函数的概念与简单性质 1

1.1.1　集合、常量与变量 1

1.1.2　函数的概念 3

1.1.3　函数的简单性质 5

1.1.4　反函数和复合函数 7

1.1.5　初等函数 8

习题1-1 13

1.2　数列的极限 15

1.2.1　数列极限的定义 15

1.2.2　收敛数列极限的性质 19

1.2.3　数列极限的存在准则 19

1.2.4　数列极限的四则运算法则 21

习题1-2 22

1.3　函数的极限 23

1.3.1　x→∞时函数的极限 23

1.3.2　x→x0时函数的极限 24

1.3.3　函数极限的运算法则 26

1.3.4　两个重要极限 28

习题1-3 31

1.4　无穷小量和无穷大量 33

1.4.1　无穷小量 33

1.4.2　无穷大量 37

习题1-4 37

1.5　函数的连续性 38

1.5.1　函数的连续性 38

1.5.2　函数的间断点 39

1.5.3　初等函数的连续性及连续函数的性质 41

1.5.4　闭区间上连续函数的性质 43

习题1-5 44

总习题一 45

习题答案 46

第2章　导数与微分 50

2.1　导数的概念 50

2.1.1　引例 50

2.1.2　导数的概念 51

2.1.3　左导数和右导数 54

2.1.4　可导与连续的关系 55

习题2-1 56

2.2　导数的四则运算法则 57

习题2-2 59

2.3　复合函数求导法 60

2.3.1　复合函数的求导法则 60

2.3.2　反函数的导数 62

2.3.3　隐函数的导数 63

2.3.4　对数求导法 64

2.3.5　参数方程确定函数的导数 65

2.3.6　基本求导公式和法则 67

习题2-3 68

2.4　高阶导数 69

习题2-4 71

2.5　函数的微分 72

2.5.1　微分的定义 72

2.5.2　微分的几何意义 74

2.5.3　微分的运算法则 75

2.5.4　微分在近似计算中的应用 77

习题2-5 77

总习题二 79

习题答案 79

第3章　微分中值定理与导数的应用 84

3.1　微分中值定理 84

3.1.1　罗尔定理 84

3.1.2　拉格朗日中值定理 85

3.1.3　柯西中值定理 87

3.1.4　泰勒公式 87

习题3-1 88

3.2　洛必达法则 89

3.2.1　“0/0”型和“∞／∞”型未定式 89

3.2.2　其他类型的未定式 91

习题3-2 92

3.3　函数的单调性和曲线的凹凸性 93

3.3.1　函数单调性的判定法 93

3.3.2 曲线的凹凸性与拐点 95

习题3-3 96

3.4　函数的极值与最大值、最小值问题 97

3.4.1　函数的极值及其求法 97

3.4.2　函数的最大值与最小值问题 100

习题3-4 101

3.5　函数图形的描绘 103

3.5.1　曲线的渐近线 103

3.5.2　函数y=f（x）图形的描绘 104

习题3-5 105

3.6　弧微分与曲率 105

3.6.1　弧微分 106

3.6.2　曲率及其计算 106

3.6.3　曲率圆 108

习题3-6 108

总习题三 108

习题答案 109

第4章　不定积分 112

4.1　不定积分的概念与性质 112

4.1.1　原函数与不定积分的概念 112

4.1.2　基本积分表 114

4.1.3　不定积分的性质 115

习题4-1 116

4.2　第一类换元积分法 117

习题4-2 122

4.3　第二类换元积分法 123

习题4-3 126

4.4　分部积分法 126

习题4-4 130

4.5　有理函数和可化为有理函数的积分 130

4.5.1　有理函数的积分 130

4.5.2　三角函数有理式的积分 134

4.5.3　几类简单无理函数的积分 135

习题4-5 136

总习题四 137

习题答案 138

第5章　定积分及其应用 141

5.1　定积分的概念与性质 141

5.1.1　引入定积分概念的实例 141

5.1.2　定积分定义 142

5.1.3　定积分的性质 145

习题5-1 147

5.2　微积分基本公式 147

5.2.1　变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 148

5.2.2　积分上限的函数及其导数 148

5.2.3　牛顿-莱布尼茨公式 149

习题5-2 151

5.3　定积分的换元法和分部积分法 152

5.3.1　定积分的换元法 152

5.3.2　定积分的分部积分法 155

习题5-3 157

5.4　广义积分 157

5.4.1　无穷限的广义积分 157

5.4.2　无界函数的广义积分 159

习题5-4 161

5.5　定积分在几何学上的应用 162

5.5.1　定积分的元素法 162

5.3.2　平面图形的面积 163

5.5.3　求体积 167

5.5.4　求平面曲线的弧长 170

习题5-5 172

5.6　定积分的物理应用 173

5.6.1　变力沿直线所作的功 173

5.6.2　水压力 174

5.6.3　引力 176

习题5-6 176

总习题五 177

习题答案 179

第6章　微分方程 183

6.1　微分方程的基本概念 183

习题6-1 186

6.2　一阶微分方程的解法 186

6.2.1　可分离变量的微分方程 187

6.2.2　齐次微分方程 189

6.2.3　一阶线性微分方程 190

6.2.4　伯努利方程 193

习题6-2 194

6.3　高阶微分方程的解法 196

6.3.1　可降阶的高阶微分方程 196

6.3.2　二阶线性微分方程解的结构 199

6.3.3　二阶常系数齐次线性微分方程的解法 201

6.3.4　二阶常系数非齐次线性微分方程的解法 203

习题6-3 207

总习题六 208

习题答案 209

第7章　向量代数与空间解析几何 212

7.1　空间直角坐标系与向量的线性运算 212

7.1.1　空间直角坐标系 212

7.1.2　向量的概念 213

7.1.3　向量的线性运算 213

7.1.4　向量的坐标表示 215

7.1.5　向量的模与方向余弦 217

习题7-1 219

7.2　向量的数量积与向量积 219

7.2.1　两向量的数量积 219

7.2.2　两向量的向量积 221

习题7-2 225

7.3　平面及其方程 225

7.3.1　平面的点法式方程 225

7.3.2　平面的一般式方程 226

7.3.3　两平面的夹角 228

7.3.4　平面外一点到平面的距离 228

习题7-3 229

7.4　空间直线及其方程 229

7.4.1　直线的一般式方程 229

7.4.2　直线的对称式方程与参数方程 229

7.4.3　两直线的夹角 231

7.4.4　直线与平面的夹角 232

7.4.5　综合举例 232

习题7-4 234

7.5　曲面及其方程 235

7.5.1　曲面方程的概念 235

7.5.2　几种常见曲面及其方程 235

7.5.3　二次曲面 238

习题7-5 240

7.6　空间曲线及其方程 241

7.6.1　空间曲线的方程 241

7.6.2　空间曲线在坐标面上的投影 242

7.6.3　空间立体图形的投影 244

习题7-6 245

总习题七 245

习题答案 246

第8章　多元函数微分法及其应用 250

8.1　多元函数的基本概念与极限 250

8.1.1　平面点集、区域 250

8.1.2　多元函数的概念 252

8.1.3　二元函数的极限与连续性 254

习题8-1 257

8.2　偏导数 258

8.2.1　偏导数的定义及其计算方法 258

8.2.2　高阶偏导数 261

习题8-2 262

8.3　全微分及其应用 263

8.3.1　全微分的定义 263

8.3.2　全微分在近似计算中的应用 266

习题8-3 267

8.4　复合函数与隐函数求导法 267

8.4.1　多元复合函数的求导法则 267

8.4.2　全微分形式不变性 271

8.4.3　隐函数的求导公式 272

习题8-4 275

8.5　方向导数与梯度 276

8.5.1　方向导数 276

8.5.2　梯度 277

习题8-5 279

8.6　微分法在几何上的应用 280

8.6.1　空间曲线的切线与法平面 280

8.6.2　曲面的切平面与法线 281

习题8-6 283

8.7　多元函数的极值及其求法 284

8.7.1　多元函数的极值 284

8.7.2　多元函数的最大值与最小值 286

8.7.3　条件极值拉格朗日乘数法 287

习题8-7 289

总习题八 289

习题答案 291

第9章　多元函数积分学 296

9.1　二重积分的概念与性质 296

9.1.1　两个实例 296

9.1.2　二重积分的概念 298

9.1.3　二重积分的性质 299

习题9-1 301

9.2　二重积分的计算 302

9.2.1　在直角坐标系下二重积分的计算方法 302

9.2.2　在极坐标系下二重积分的计算方法 309

习题9-2 313

9.3　二重积分的应用 315

9.3.1　曲面的面积 315

9.3.2　平面薄片的重心 317

9.3.3　平面薄片的转动惯量 319

习题9-3 321

9.4　三重积分 321

9.4.1　三重积分的概念 321

9.4.2　三重积分的计算方法 322

9.4.3　三重积分的应用 327

习题9-4 328

9.5　对弧长的曲线积分 329

9.5.1　对弧长的曲线积分的概念与性质 330

9.5.2　对弧长的曲线积分的算法 331

9.5.3　对弧长的曲线积分的推广 334

9.5.4　对弧长的曲线积分的应用举例 334

习题9-5 336

9.6　对坐标的曲线积分 337

9.6.1　对坐标的曲线积分的概念与性质 337

9.6.2　对坐标的曲线积分的算法 339

9.6.3　两类曲线积分之间的关系 342

习题9-6 343

9.7　格林公式及其应用 344

9.7.1　格林公式 344

9.7.2　平面上曲线积分与路径无关的条件 349

9.7.3　二元函数全微分的求积问题 351

习题9-7 355

总习题九 356

习题答案 358

第10章　无穷级数 362

10.1　常数项级数的概念和性质 362

10.1.1　常数项级数的概念 362

10.1.2　常数项级数的基本性质 363

习题10-1 366

10.2　常数项级数的审敛法 366

10.2.1　正项级数及其审敛法 366

10.2.2　交错级数及其审敛法 371

10.2.3　绝对收敛与条件收敛 372

习题10-2 374

10.3　幂级数 375

10.3.1　函数项级数的概念 375

10.3.2　幂级数及其收敛性 376

10.3.3　幂级数的运算 379

习题10-3 381

10.4　函数展开成幂级数 381

10.4.1　泰勒级数 382

10.4.2　函数展开成幂级数 383

10.4.3　函数的幂级数展开式应用 388

习题10-4 391

10.5　傅里叶级数 391

10.5.1　以2π为周期的函数展开成傅里叶级数 391

10.5.2　周期为2l的周期函数的傅里叶级数 398

习题10-5 401

总习题十 401

习题答案 403

附录Ⅰ 几种常用的曲线 406

附录Ⅱ 简明积分表 408