第一章 函数、极限与连续 1
【学习目标】 1
【重点与难点】 1
第一节 函数 1
一、函数的概念 1
二、函数的表示法 3
三、函数的性质 4
四、反函数 5
习题1-1 5
第二节 初等函数 6
一、基本初等函数 6
二、复合函数 9
习题1-2 10
第三节 极限的概念 10
一、数列的极限 10
二、函数的极限 11
三、极限的性质 14
四、无穷小量 15
五、无穷大量 16
习题1-3 16
第四节 极限的运算 17
一、极限的四则运算法则 17
二、复合函数的极限法则 19
三、两个重要极限 19
四、无穷小的比较 21
习题1-4 22
第五节 函数的连续性 23
一、函数连续性的概念 23
二、函数的间断点 24
三、连续函数的运算 25
四、初等函数的连续性 26
五、闭区间上连续函数的性质 26
习题1-5 27
【本章小结】 28
【复习题一】 29
【数学史话】极限思想的发展 30
第二章 导数与微分 32
【学习目标】 32
【重点与难点】 32
第一节 导数的概念 32
一、引例 32
二、导数的概念 33
三、导数的几何意义 36
四、函数的可导性与连续性的关系 37
习题2-1 37
第二节 导数的运算 37
一、导数的四则运算法则 38
二、复合函数的求导法则 39
三、反函数的求导法则 40
四、初等函数的导数 41
五、三个常用的求导方法 42
习题2-2 44
第三节 高阶导数 44
习题2-3 45
第四节 微分及其应用 46
一、引例 46
二、微分的概念 46
三、微分公式和微分的运算法则 47
四、微分在近似计算中的应用 48
习题2-4 49
【本章小结】 49
【复习题二】 50
【数学史话】欧拉 54
第三章 导数的应用 55
【学习目标】 55
【重点与难点】 55
第一节 中值定理 55
一、罗尔定理 55
二、拉格朗日中值定理 56
三、柯西定中值定理 57
习题3-1 59
第二节 洛必达法则 59
一、O/O型未定式的极限 59
二、∞/∞型未定式的极限 60
三、其他类型的未定式 61
习题3-2 62
第三节 函数的单调性、极值与最值 63
一、函数单调性的判别法 63
二、函数的极值 64
三、函数的最值 66
习题3-3 67
第四节 函数图形的描绘 67
一、曲线的凹凸性及拐点 67
二、曲线的渐近线 68
三、函数图形的描绘 69
习题3-4 71
第五节 曲率 71
一、曲率的概念 71
二、曲率的计算 73
习题3-5 75
第六节 微分学在经济领域的应用 75
一、边际分析 75
二、税收问题 77
三、弹性分析 78
习题3-6 80
【本章小结】 80
【复习题三】 81
【数学史话】拉格朗日 83
第四章 不定积分 84
【学习目标】 84
【重点与难点】 84
第一节 不定积分的概念和性质 84
一、不定积分的概念 84
二、不定积分的性质 85
三、基本积分公式 85
习题4-1 86
第二节 换元积分法 87
一、第一类换元积分法（凑微分法） 87
二、第二类换元积分法 89
习题4-2 91
第三节 分部积分法 91
习题4-3 93
【本章小结】 94
【复习题四】 94
【数学史话】牛顿 95
第五章 定积分及其应用 97
【学习目标】 97
【重点与难点】 97
第一节 定积分的概念与性质 97
一、定积分问题举例 97
二、定积分的概念 99
三、定积分的几何意义 100
四、定积分的性质 101
习题5-1 103
第二节 微积分基本公式 104
一、积分上限函数 104
二、微积分基本公式 105
习题5-2 106
第三节 定积分的计算 106
一、定积分的换元积分法 106
二、定积分的分部积分法 108
习题5-3 109
第四节 广义积分 109
一、无穷区间上的广义积分 109
二、无界函数的广义积分 111
习题5-4 112
第五节 定积分的应用 113
一、定积分的微元法（元素法） 113
二、定积分在几何上的应用 113
三、定积分在物理上的应用 118
习题5-5 120
【本章小结】 120
【复习题五】 121
【数学史话】莱布尼兹 122
第六章 常微分方程 124
【学习目标】 124
【重点与难点】 124
第一节 常微分方程的基本概念与可分离变量方程 124
一、常微分方程的基本概念 124
二、可分离变量方程 127
习题6-1 128
第二节 一阶线性微分方程与可降阶的高阶微分方程 129
一、一阶线性微分方程 129
二、可降阶的高阶微分方程 131
习题6-2 133
第三节 二阶常系数线性微分方程 134
一、二阶常系数线性微分方程解的结构 134
二、二阶常系数线性齐次微分方程的解法 135
三、二阶常系数线性非齐次微分方程的解法 137
习题6-3 141
【本章小结】 142
【复习题六】 143
【数学史话】正统的数学家——柯西 144
第七章 向量与空间解析几何 146
【学习目标】 146
【重点与难点】 146
第一节 空间直角坐标系与向量的概念 146
一、空间直角坐标系 146
二、向量的概念及线性运算 148
三、向量的坐标表示 149
习题7-1 151
第二节 向量的点积和叉积 151
一、向量的点积 151
二、向量的叉积 152
习题7-2 154
第三节 空间平面与直线 154
一、图形与方程 154
二、平面 155
三、直线 157
习题7-3 159
第四节 曲面与空间曲线 159
一、曲面 159
二、空间曲线 160
三、空间曲线在坐标面上的投影 162
习题7-4 163
【本章小结】 163
【复习题七】 164
【数学史话】向量的由来 165
第八章 多元函数微分学 166
【学习目标】 166
【重点与难点】 166
第一节 多元函数的极限与连续性 166
一、多元函数的概念 166
二、二元函数的极限与连续性 168
习题8-1 170
第二节 偏导数 170
一、偏导数 170
二、高阶偏导数 172
习题8-2 173
第三节 全微分 174
一、全微分的概念 174
二、全微分在近似计算中的应用 176
习题8-3 176
第四节 多元复合函数微分法 177
一、多元复合函数微分法 177
二、隐函数的微分法 180
习题8-4 181
第五节 偏导数在几何上的应用 181
一、空间曲线的切线和法平面 181
二、空间曲面的切平面和法线 183
习题8-5 184
第六节 多元函数的极值和最值 184
一、多元函数的极值 184
二、多元函数的最值 186
三、条件极值 187
习题8-6 190
【本章小结】 190
【复习题八】 192
【数学史话】多元函数微积分的创立（一） 193
第九章 多元函数积分学 194
【学习目标】 194
【重点与难点】 194
第一节 二重积分的概念和性质 194
一、引例分析 194
二、二重积分的概念 195
三、二重积分的性质 195
习题9-1 196
第二节 二重积分的计算与应用 196
一、在直角坐标系下计算二重积分 196
二、在极坐标系下计算二重积分 201
三、二重积分的应用 204
习题9-2 207
第三节 曲线积分的概念与计算 208
一、第一类曲线积分——对弧长的曲线积分 208
二、第二类曲线积分——对坐标的曲线积分 210
习题9-3 213
【本章小结】 213
【复习题九】 215
【数学史话】多元函数微积分的创立（二） 216
第十章 级数 217
【学习目标】 217
【重点与难点】 217
第一节 数项级数及其敛散性 217
一、数项级数的概念及性质 217
二、正项级数的概念及性质 222
三、交错级数的概念及性质 226
四、绝对收敛与条件收敛 226
习题10-1 228
第二节 幂级数 228
一、函数项级数的概念 228
二、幂级数及其收敛性 229
三、幂级数的性质 231
四、函数的幂级数展开 233
习题10-2 239
【本章小结】 240
【复习题十】 241
【数学史话】大数学家——泰勒 243
第十一章 拉普拉斯变换 245
【学习目标】 245
【重点与难点】 245
第一节 拉普拉斯变换的概念 245
一、拉普拉斯变换的基本概念 245
二、单位脉冲函数及其拉普拉斯变换 246
习题11-1 248
第二节 拉普拉斯变换性质 248
一、线性性质 248
二、微分性质 248
三、积分性质 250
四、位移性质 250
五、延迟性质 251
六、卷积与卷积定理 251
习题11-2 253
第三节 拉普拉斯变换的逆变换 254
习题11-3 254
第四节 拉普拉斯变换的应用 255
习题11-4 256
【本章小结】 256
【复习题十一】 257
【数学史话】拉普拉斯 257
附录Ⅰ 拉普拉斯变换表 259
附录Ⅱ 参考答案 262
参考文献 281