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第一章 函数、极限与连续 1

【学习目标】 1

【重点与难点】 1

第一节 函数 1

一、函数的概念 1

二、函数的表示法 3

三、函数的性质 4

四、反函数 5

习题1-1 5

第二节 初等函数 6

一、基本初等函数 6

二、复合函数 9

习题1-2 10

第三节 极限的概念 10

一、数列的极限 10

二、函数的极限 11

三、极限的性质 14

四、无穷小量 15

五、无穷大量 16

习题1-3 16

第四节 极限的运算 17

一、极限的四则运算法则 17

二、复合函数的极限法则 19

三、两个重要极限 19

四、无穷小的比较 21

习题1-4 22

第五节 函数的连续性 23

一、函数连续性的概念 23

二、函数的间断点 24

三、连续函数的运算 25

四、初等函数的连续性 26

五、闭区间上连续函数的性质 26

习题1-5 27

【本章小结】 28

【复习题一】 29

【数学史话】极限思想的发展 30

第二章 导数与微分 32

【学习目标】 32

【重点与难点】 32

第一节 导数的概念 32

一、引例 32

二、导数的概念 33

三、导数的几何意义 36

四、函数的可导性与连续性的关系 37

习题2-1 37

第二节 导数的运算 37

一、导数的四则运算法则 38

二、复合函数的求导法则 39

三、反函数的求导法则 40

四、初等函数的导数 41

五、三个常用的求导方法 42

习题2-2 44

第三节 高阶导数 44

习题2-3 45

第四节 微分及其应用 46

一、引例 46

二、微分的概念 46

三、微分公式和微分的运算法则 47

四、微分在近似计算中的应用 48

习题2-4 49

【本章小结】 49

【复习题二】 50

【数学史话】欧拉 54

第三章 导数的应用 55

【学习目标】 55

【重点与难点】 55

第一节 中值定理 55

一、罗尔定理 55

二、拉格朗日中值定理 56

三、柯西定中值定理 57

习题3-1 59

第二节 洛必达法则 59

一、O/O型未定式的极限 59

二、∞/∞型未定式的极限 60

三、其他类型的未定式 61

习题3-2 62

第三节 函数的单调性、极值与最值 63

一、函数单调性的判别法 63

二、函数的极值 64

三、函数的最值 66

习题3-3 67

第四节 函数图形的描绘 67

一、曲线的凹凸性及拐点 67

二、曲线的渐近线 68

三、函数图形的描绘 69

习题3-4 71

第五节 曲率 71

一、曲率的概念 71

二、曲率的计算 73

习题3-5 75

第六节 微分学在经济领域的应用 75

一、边际分析 75

二、税收问题 77

三、弹性分析 78

习题3-6 80

【本章小结】 80

【复习题三】 81

【数学史话】拉格朗日 83

第四章 不定积分 84

【学习目标】 84

【重点与难点】 84

第一节 不定积分的概念和性质 84

一、不定积分的概念 84

二、不定积分的性质 85

三、基本积分公式 85

习题4-1 86

第二节 换元积分法 87

一、第一类换元积分法（凑微分法） 87

二、第二类换元积分法 89

习题4-2 91

第三节 分部积分法 91

习题4-3 93

【本章小结】 94

【复习题四】 94

【数学史话】牛顿 95

第五章 定积分及其应用 97

【学习目标】 97

【重点与难点】 97

第一节 定积分的概念与性质 97

一、定积分问题举例 97

二、定积分的概念 99

三、定积分的几何意义 100

四、定积分的性质 101

习题5-1 103

第二节 微积分基本公式 104

一、积分上限函数 104

二、微积分基本公式 105

习题5-2 106

第三节 定积分的计算 106

一、定积分的换元积分法 106

二、定积分的分部积分法 108

习题5-3 109

第四节 广义积分 109

一、无穷区间上的广义积分 109

二、无界函数的广义积分 111

习题5-4 112

第五节 定积分的应用 113

一、定积分的微元法（元素法） 113

二、定积分在几何上的应用 113

三、定积分在物理上的应用 118

习题5-5 120

【本章小结】 120

【复习题五】 121

【数学史话】莱布尼兹 122

第六章 常微分方程 124

【学习目标】 124

【重点与难点】 124

第一节 常微分方程的基本概念与可分离变量方程 124

一、常微分方程的基本概念 124

二、可分离变量方程 127

习题6-1 128

第二节 一阶线性微分方程与可降阶的高阶微分方程 129

一、一阶线性微分方程 129

二、可降阶的高阶微分方程 131

习题6-2 133

第三节 二阶常系数线性微分方程 134

一、二阶常系数线性微分方程解的结构 134

二、二阶常系数线性齐次微分方程的解法 135

三、二阶常系数线性非齐次微分方程的解法 137

习题6-3 141

【本章小结】 142

【复习题六】 143

【数学史话】正统的数学家——柯西 144

第七章 向量与空间解析几何 146

【学习目标】 146

【重点与难点】 146

第一节 空间直角坐标系与向量的概念 146

一、空间直角坐标系 146

二、向量的概念及线性运算 148

三、向量的坐标表示 149

习题7-1 151

第二节 向量的点积和叉积 151

一、向量的点积 151

二、向量的叉积 152

习题7-2 154

第三节 空间平面与直线 154

一、图形与方程 154

二、平面 155

三、直线 157

习题7-3 159

第四节 曲面与空间曲线 159

一、曲面 159

二、空间曲线 160

三、空间曲线在坐标面上的投影 162

习题7-4 163

【本章小结】 163

【复习题七】 164

【数学史话】向量的由来 165

第八章 多元函数微分学 166

【学习目标】 166

【重点与难点】 166

第一节 多元函数的极限与连续性 166

一、多元函数的概念 166

二、二元函数的极限与连续性 168

习题8-1 170

第二节 偏导数 170

一、偏导数 170

二、高阶偏导数 172

习题8-2 173

第三节 全微分 174

一、全微分的概念 174

二、全微分在近似计算中的应用 176

习题8-3 176

第四节 多元复合函数微分法 177

一、多元复合函数微分法 177

二、隐函数的微分法 180

习题8-4 181

第五节 偏导数在几何上的应用 181

一、空间曲线的切线和法平面 181

二、空间曲面的切平面和法线 183

习题8-5 184

第六节 多元函数的极值和最值 184

一、多元函数的极值 184

二、多元函数的最值 186

三、条件极值 187

习题8-6 190

【本章小结】 190

【复习题八】 192

【数学史话】多元函数微积分的创立（一） 193

第九章 多元函数积分学 194

【学习目标】 194

【重点与难点】 194

第一节 二重积分的概念和性质 194

一、引例分析 194

二、二重积分的概念 195

三、二重积分的性质 195

习题9-1 196

第二节 二重积分的计算与应用 196

一、在直角坐标系下计算二重积分 196

二、在极坐标系下计算二重积分 201

三、二重积分的应用 204

习题9-2 207

第三节 曲线积分的概念与计算 208

一、第一类曲线积分——对弧长的曲线积分 208

二、第二类曲线积分——对坐标的曲线积分 210

习题9-3 213

【本章小结】 213

【复习题九】 215

【数学史话】多元函数微积分的创立（二） 216

第十章 级数 217

【学习目标】 217

【重点与难点】 217

第一节 数项级数及其敛散性 217

一、数项级数的概念及性质 217

二、正项级数的概念及性质 222

三、交错级数的概念及性质 226

四、绝对收敛与条件收敛 226

习题10-1 228

第二节 幂级数 228

一、函数项级数的概念 228

二、幂级数及其收敛性 229

三、幂级数的性质 231

四、函数的幂级数展开 233

习题10-2 239

【本章小结】 240

【复习题十】 241

【数学史话】大数学家——泰勒 243

第十一章 拉普拉斯变换 245

【学习目标】 245

【重点与难点】 245

第一节 拉普拉斯变换的概念 245

一、拉普拉斯变换的基本概念 245

二、单位脉冲函数及其拉普拉斯变换 246

习题11-1 248

第二节 拉普拉斯变换性质 248

一、线性性质 248

二、微分性质 248

三、积分性质 250

四、位移性质 250

五、延迟性质 251

六、卷积与卷积定理 251

习题11-2 253

第三节 拉普拉斯变换的逆变换 254

习题11-3 254

第四节 拉普拉斯变换的应用 255

习题11-4 256

【本章小结】 256

【复习题十一】 257

【数学史话】拉普拉斯 257

附录Ⅰ 拉普拉斯变换表 259

附录Ⅱ 参考答案 262

参考文献 281