第1章 行列式 1
1.1 行列式的基本概念 1
1.1.1 行列式的定义 1
1.1.2 子行列式 7
1.1.3 行列式的展开式 9
1.2 行列式的性质 13
1.2.1 行列式的转置 13
1.2.2 行列式的基本性质 14
1.2.3 范德蒙行列式 19
1.3 行列式的展开和运算 21
1.3.1 特殊行列式的展开式 21
1.3.2 拉普拉斯展式 24
1.3.3 乘法公式 25
习题 27
第2章 向量 30
2.1 向量与n维向量空间 30
2.1.1 向量的基本概念 30
2.1.2 n维向量空间 33
2.2 向量运算 33
2.2.1 向量运算法则 33
2.2.2 向量运算性质 36
2.3 零向量、单位坐标向量和向量的长度 37
2.3.1 零向量 37
2.3.2 单位坐标向量 37
2.3.3 向量的长度 38
2.3.4 向量长度的性质 40
2.4 向量的内积 41
2.4.1 向量内积的定义 41
2.4.2 向量内积的性质 43
2.5 向量相关性 44
2.5.1 向量相关性的定义 44
2.5.2 相关向量系的性质 47
2.5.3 向量系的秩 49
2.5.4 向量系的基底 50
2.5.5 空间的基底 51
2.6 直交向量系 53
2.6.1 向量的直交性 53
2.6.2 直交向量系的定义 53
2.6.3 向量的直交化 54
习题 57
第3章 矩阵 60
3.1 矩阵及特殊矩阵 60
3.1.1 矩阵的基本概念 60
3.1.2 特殊矩阵 62
3.2 矩阵运算 66
3.2.1 矩阵相等 66
3.2.2 矩阵相加减 67
3.2.3 数乘矩阵 68
3.2.4 矩阵的乘法 70
3.2.5 矩阵的转置 75
3.3 逆矩阵 78
3.3.1 逆矩阵的基本概念 78
3.3.2 乘积和转置矩阵的逆矩阵 83
3.3.3 线性变换与逆变换 84
3.4 矩阵的初等变换 87
3.4.1 初等变换的基本概念 87
3.4.2 初等变换求逆矩阵 92
3.5 分块矩阵 95
3.5.1 分块矩阵的定义 95
3.5.2 分块矩阵的运算 96
3.6 直交矩阵 105
3.6.1 直交矩阵的定义 105
3.6.2 直交矩阵的性质 106
习题 108
第4章 矩阵的秩与线性方程组 112
4.1 矩阵的秩 112
4.1.1 矩阵的子式 112
4.1.2 秩的基本概念 113
4.1.3 矩阵的行秩和列秩 114
4.2 线性方程组 115
4.2.1 线性方程组的定义 115
4.2.2 线性方程组的相容性 116
4.3 线性方程组的解 119
4.3.1 齐次线性方程组的解 119
4.3.2 非齐次线性方程组的解 129
习题 134
第5章 矩阵的特征值 136
5.1 特征值的基本概念 136
5.1.1 特征值问题 136
5.1.2 特征多项式 137
5.1.3 求矩阵的特征值和特征向量 138
5.2 相似矩阵及其特征值 142
5.2.1 相似矩阵的定义及性质 142
5.2.2 相似矩阵的特征值 142
5.2.3 实对称矩阵的特征值与特征向量 143
5.3 实对称矩阵的对角化 145
5.3.1 实矩阵的三角化 145
5.3.2 实对称矩阵的对角化 147
5.4 约当标准型 151
5.4.1 约当块和约当型矩阵 151
5.4.2 约当矩阵的特征值 153
习题 154
第6章 实二次型 157
6.1 实二次型的定义 157
6.2 矩阵的合同 158
6.3 实二次型的简化 159
6.3.1 实二次型的简化定理 159
6.3.2 二次型的简化方法 161
6.4 惯性定律 165
6.4.1 规范标准型 165
6.4.2 惯性定理 166
6.5 矩阵的正定性 171
6.5.1 正定性的定义 171
6.5.2 正定矩阵的性质 173
6.5.3 正定矩阵的判别 175
6.6 矩阵的变换 179
习题 180
参考文献 182