绪论 1
第一部分 基础 3
第1章 数学基础 3
1.1 集合论基础 3
1.2 函数和极限 6
1.3 测度和质量分布 10
1.4 有关概率论的注记 16
1.5 注记和参考文献 23
第2章 豪斯多夫测度和维数 26
2.1 豪斯多夫测度 26
2.2 豪斯多夫维数 29
2.3 豪斯多夫维数的计算——简单的例子 32
2.4 豪斯多夫维数的等价定义 33
2.5 维数的精细定义 34
2.6 注记和参考文献 35
第3章 维数的其他定义 37
3.1 计盒维数 39
3.2 计盒维数的性质与问题 44
3.3 修改的计盒维数 46
3.4 填充测度与维数 47
3.5 维数的一些其他定义 49
3.6 注记和参考文献 52
第4章 计算维数的技巧 55
4.1 基本方法 55
4.2 有限测度子集 63
4.3 位势理论方法 64
4.4 傅里叶变换法 67
4.5 注记和参考文献 68
第5章 分形的局部结构 70
5.1 密度 70
5.2 1集的结构 74
5.3 s集的切线 78
5.4 注记和参考文献 82
第6章 分形的射影 83
6.1 任意集的射影 83
6.2 整数维s集的射影 86
6.3 整数维任意集的射影 87
6.4 注记和参考文献 89
第7章 分形的乘积 91
7.1 乘积公式 91
7.2 注记和参考文献 98
第8章 分形的交集 99
8.1 分形的交集公式 99
8.2 大交集 102
8.3 注记和参考文献 108
第二部分 应用与实例第9章 迭代函数系——自相似集与自仿射集 113
9.1 迭代函数系 113
9.2 自相似集的维数 118
9.3 一些变化 123
9.4 自仿射集 127
9.5 在编码图像中的应用 133
9.6 注记和参考文献 135
第10章 数论中的例子 138
10.1 数的数字分布 138
10.2 连分数 139
10.3 丢番图逼近 141
10.4 注记和参考文献 144
第11章 函数的图 146
11.1 图的维数 146
11.2 分形函数的自相关 153
11.3 注记和参考文献 157
第12章 纯数学中的例子 159
12.1 对偶和挂谷问题 159
12.2 Vitushkin猜想 162
12.3 凸函数 163
12.4 分数维的群和环 164
12.5 注记和参考文献 166
第13章 动力系统 168
13.1 斥子与迭代函数系 169
13.2 逻辑斯谛映射 172
13.3 拉伸与折叠变换 175
13.4 螺线管 179
13.5 连续动力系统 181
13.6 小因子理论 185
13.7 李雅普诺夫指数和熵 188
13.8 注记和参考文献 191
第14章 复变函数的迭代——Julia集 194
14.1 Julia集的一般理论 194
14.2 二次函数——Mandelbrot集 200
14.3 二次函数的Julia集 204
14.4 拟圆周的维数特征 211
14.5 解多项式方程的牛顿法 213
14.6 注记和参考文献 216
第15章 随机分形 219
15.1 随机康托尔集 220
15.2 分形渗流 226
15.3 注记和参考文献 229
第16章 布朗运动和布朗曲面 231
16.1 布朗运动 231
16.2 分数布朗运动 239
16.3 Lévy平稳过程 243
16.4 分数布朗曲面 244
16.5 注记和参考文献 246
第17章 多重分形测度 248
17.1 粗线条多重分形分析 250
17.2 精细多重分形分析 254
17.3 自相似多重分形 256
17.4 注记和参考文献 265
第18章 物理应用 268
18.1 分形的生长 270
18.2 静电势和引力势的奇异性 275
18.3 流体力学和湍流 276
18.4 分形天线 278
18.5 金融中的分形 280
18.6 注记和参考文献 283
参考文献 286
索引 300
译后记 304