第1章 绪论 1
1.1 数值分析的内容与特点 1
1.2 误差及有效数字 2
1.2.1 误差的来源 3
1.2.2 绝对误差、相对误差和有效数字 4
1.2.3 有效数字 5
1.2.4 计算机机器数系与浮点运算 7
1.3 数值运算的误差估计 8
1.4 数值计算的注意事项 10
1.4.1 算法的数值稳定性 10
1.4.2 计算中应注意的问题 13
1.5 数值实验 14
习题1 16
第2章 插值法 17
2.1 多项式插值 17
2.1.1 多项式插值问题的定义 17
2.1.2 插值多项式的误差估计 18
2.1.3 插值基函数 19
2.2 拉格朗日多项式插值 20
2.2.1 线性插值 20
2.2.2 抛物线插值 20
2.2.3 拉格朗日插值 21
2.3 牛顿插值 23
2.3.1 差商及其性质 23
2.3.2 牛顿插值公式及其余项 25
2.3.3 差分形式的牛顿插值公式 26
2.4 埃尔米特插值 28
2.4.1 低次埃尔米特插值多项式 28
2.4.2 一般埃尔米特插值多项式 30
2.4.3 误差估计 31
2.5 分段低次插值 32
2.5.1 高次多项式插值问题 32
2.5.2 分段低次插值 33
2.6 三次样条插值 36
2.6.1 样条插值函数的概念 36
2.6.2 三次样条插值函数的构造 37
2.6.3 误差限与收敛性 43
2.7 数值实验 44
习题2 45
第3章 曲线拟合与函数逼近 47
3.1 曲线拟合的最小二乘法 47
3.2 最小二乘法的求法 48
3.2.1 多项式拟合 48
3.2.2 可化为线性拟合的非线性拟合 50
3.2.3 正交多项式拟合的最小二乘法 51
3.3 最佳平方逼近 53
3.3.1 正交多项式 53
3.3.2 最佳平方逼近 55
3.4 数值实验 57
习题3 58
第4章 线性方程组的数值解法 60
4.1 高斯消去法 60
4.2 选主元素的高斯消去法 63
4.2.1 全主元素消去法 64
4.2.2 列主元素消去法 64
4.3 矩阵的三角分解法 66
4.3.1 直接三角分解法 66
4.3.2 解三对角方程组的追赶法 71
4.4 平方根法与改进平方根法 73
4.4.1 平方根法 73
4.4.2 改进平方根法 76
4.5 向量和矩阵的范数 78
4.5.1 向量的范数 78
4.5.2 矩阵的范数 79
4.6 线性方程组的性态和解的误差分析 81
4.7 解线性方程组的迭代法 83
4.7.1 雅可比迭代法 84
4.7.2 高斯-塞德尔迭代法 85
4.7.3 超松弛迭代法 87
4.8 迭代法的收敛性及误差估计 88
4.8.1 迭代法的一般收敛条件 88
4.8.2 误差估计 91
4.9 共轭梯度法 92
4.9.1 预备知识 92
4.9.2 共轭梯度法求解过程 93
4.10 数值实验 95
习题4 97
第5章 数值积分与数值微分 100
5.1 数值积分公式 100
5.1.1 数值积分的基本概念 100
5.1.2 插值型求积公式 102
5.2 牛顿-科特斯公式 104
5.2.1 牛顿-科特斯公式的导出 104
5.2.2 牛顿-科特斯公式的代数精度 106
5.2.3 牛顿-科特斯公式的余项 107
5.3 复化求积公式 109
5.3.1 复化梯形公式 110
5.3.2 复化辛普森公式 111
5.3.3 复化科特斯公式 111
5.4 龙贝格求积公式 113
5.4.1 梯形法的递推化 113
5.4.2 龙贝格求积公式 115
5.5 高斯型求积公式 117
5.5.1 定义及性质 117
5.5.2 常用高斯型求积公式 120
5.6 数值微分 123
5.6.1 差商代替微商 123
5.6.2 插值型数值微分公式 123
5.6.3 用三次样条函数求导数 125
5.7 数值实验 126
习题5 127
第6章 非线性方程与方程组的数值解法 130
6.1 二分法 130
6.2 迭代法 132
6.2.1 不动点迭代法 132
6.2.2 迭代法的几何意义 133
6.2.3 迭代法收敛的条件 134
6.2.4 迭代法的收敛阶 137
6.2.5 埃特金加速法 138
6.3 牛顿法 140
6.3.1 牛顿法公式及误差分析 140
6.3.2 简化牛顿法与牛顿下山法 142
6.4 弦割法 144
6.5 非线性方程组的解法 145
6.5.1 简单迭代法 145
6.5.2 牛顿法 147
6.6 数值实验 148
习题6 149
第7章 常微分方程初值问题的数值解法 151
7.1 引言 151
7.2 离散变量法 152
7.3 欧拉法 154
7.3.1 欧拉法原理 154
7.3.2 隐式欧拉法 155
7.3.3 改进的欧拉法 157
7.4 龙格-库塔法 159
7.4.1 龙格-库塔法的基本思想及一般形式 159
7.4.2 龙格-库塔法的推导 159
7.5 单步法的收敛性与稳定性 163
7.5.1 相容性与收敛性 163
7.5.2 稳定性 164
7.6 线性多步法 167
7.6.1 一般形式 167
7.6.2 阿达姆斯方法 169
7.7 方程组与高阶方程初值问题的数值解法 171
7.7.1 一阶方程组的数值解法 171
7.7.2 高阶方程的数值解法 172
7.8 数值实验 173
习题7 175
第8章 矩阵特征值问题的数值方法 177
8.1 特征值估计与扰动 177
8.2 幂法与反幂法 179
8.2.1 幂法原理 180
8.2.2 反幂法 183
8.3 幂法的加速方法 185
8.3.1 埃特金加速法 185
8.3.2 原点平移法 186
8.4 雅可比方法 188
8.5 数值实验 192
习题8 193
附录 MATLAB简介 195
部分习题答案 211
参考文献 217