第1章 引论 1
概要 1
第一部分 线性方程 13
第2章 Laplace方程 13
2.1. 平均值不等式 14
2.2. 最大值和最小值原理 15
2.3. Harnack不等式 16
2.4. Green表示 17
2.5. Poisson积分 19
2.6. 收敛性定理 21
2.7. 导数的内估计 22
2.8. Dirichlet问题；下调和函数方法 22
2.9. 容量 26
习题 27
第3章 古典最大值原理 29
3.1. 弱最大值原理 30
3.2. 强最大值原理 31
3.3. 先验的界 33
3.4. Poisson方程的梯度估计 35
3.5. Harnack不等式 39
3.6. 散度形式的算子 43
评注 44
习题 45
第4章 Poisson方程和Newton位势 49
4.1. H？lder连续性 49
4.2. Poisson方程的Dirichlet问题 52
4.3. 二阶导数的H？lder估计 54
4.4. 在边界上的估计 61
4.5. 一阶导数的H？lder估计 64
评注 66
习题 67
第5章 Banach空间和Hilbert空间 69
5.1. 压缩映象原理 70
5.2. 连续性方法 71
5.3. Fredholm二择一性质 71
5.4. 对偶空间和共轭 75
5.5. Hilbert空间 76
5.6. 投影定理 77
5.7. Riesz表示定理 77
5.8. Lax-Milgram定理 78
5.9. Hilbert空间中的Fredholm二择一性质 79
5.10. 弱紧性 80
评注 81
习题 81
第6章 古典解；Schauder方法 83
6.1. Schauder内估计 85
6.2. 边界估计和全局估计 90
6.3. Dirichlet问题 96
6.4. 内部正则性和边界正则性 104
6.5. 另一种方法 108
6.6. 非一致椭圆型方程 111
6.7. 其他边界条件：斜导数问题 116
6.8. 附录1：内插不等式 125
6.9. 附录2：延拓引理 131
评注 132
习题 136
第7章 Sobolev空间 139
7.1. Lp空间 140
7.2. 正则化和用光滑函数逼近 141
7.3. 弱导数 144
7.4. 链式法则 145
7.5. W k，p空间 147
7.6. 稠密性定理 148
7.7. 嵌入定理 149
7.8. 位势估计和嵌入定理 152
7.9. Morrey和John-Nirenberg估计 157
7.10. 紧性结果 159
7.11. 差商 160
7.12. 延拓和内插 162
评注 165
习题 165
第8章 广义解和正则性 169
8.1. 弱最大值原理 171
8.2. Dirichlet问题的可解性 173
8.3. 弱解的可微性 175
8.4. 全局正则性 178
8.5. 弱解的全局有界性 179
8.6. 弱解的局部性质 184
8.7. 强最大值原理 189
8.8. Harnack不等式 189
8.9. H？lder连续性 190
8.10. 在边界处的局部估计 192
8.11. 一阶导数的H？lder估计 198
8.12. 特征值问题 201
评注 203
习题 205
第9章 强解 207
9.1. 强解的最大值原理 208
9.2. Lp估计：初步分析 213
9.3. Marcinkiewicz内插定理 214
9.4. Calderon-Zygmund不等式 216
9.5. Lp估计 220
9.6. Dirichlet问题 226
9.7. 一个局部最大值原理 228
9.8. H？lder和Harnack估计 230
9.9. 在边界上的局部估计 234
评注 238
习题 239
第二部分 拟线性方程 243
第10章 最大值原理和比较原理 243
10.1. 比较原理 246
10.2. 最大值原理 248
10.3. 一个反例 250
10.4. 散度形式算子的比较原理 251
10.5. 散度形式算子的最大值原理 254
评注 259
习题 259
第11章 拓扑不动点定理及其应用 261
11.1. Schauder不动点定理 261
11.2. Leray-Schauder定理：一个特殊情形 262
11.3. 一个应用 264
11.4. Lerav-Schauder不动点定理 267
11.5. 变分问题 269
评注 274
第12章 两个变量的方程 275
12.1. 拟保角映射 275
12.2. 线性方程梯度的H？lder估计 281
12.3. 一致椭圆型方程的Dirichlet问题 284
12.4. 非一致椭圆型方程 289
评注 294
习题 296
第13章 梯度的H？lder估计 299
13.1. 散度形式的方程 299
13.2. 两个变量的方程 303
13.3. 一般形式的方程；内估计 304
13.4. 般形式的方程：边界估计 308
13.5. 对Dirichlet问题的应用 311
评注 311
习题 312
第14章 边界梯度估计 313
14.1. 一般区域 315
14.2. 凸区域 317
14.3. 边界曲率条件 320
14.4. 非存在性结果 326
14.5. 连续性估计 331
14.6. 附录：边界曲率和距离函数 332
评注 335
习题 335
第15章 梯度的内部和全局内估计 337
15.1. 梯度的最大值原理 337
15.2. 一般情形 340
15.3. 梯度的内估计 346
15.4. 散度形式的方程 350
15.5. 存在定理选讲 356
15.6. 连续边值的存在定理 361
评注 362
习题 362
第16章 平均曲率型方程 365
16.1. R n＋1中的超曲面 366
16.2. 梯度的内估计 376
16.3. 在Dirichlet问题中的应用 381
16.4. 两个自变量的方程 383
16.5. 拟保角映射 386
16.6. 具有拟保角Gauss映射的图像 396
16.7. 对平均曲率型方程的应用 402
16.8. 附录：椭圆型参数泛函 406
评注 409
习题 410
第17章 完全非线性方程 413
17.1. 最大值原理和比较原理 415
17.2. 连续性方法 418
17.3. 两个变量的方程 422
17.4. 对于二阶导数的H？lder估计 424
17.5. 一致椭圆型方程的Dirichlet问题 433
17.6. Monge-Ampère方程的二阶导数估计 438
17.7. Monge-Ampère型方程的Dirichlet问题 442
17.8. 二阶导数全局H？lder估计 445
17.9. 非线性边值问题 452
评注 456
习题 458
参考书目 461
后记 489
内容索引 493
记号索引 503