第一部分 基础精算分布理论 3
第1章 基础知识介绍 3
1.1 相关数学公式及符号说明 3
1.1.1 二项系数 3
1.1.2 伽马函数、贝塔函数及Digamma函数 4
1.1.3 不完全伽马函数及不完全贝塔函数 7
1.2 概率相关知识介绍 10
1.2.1 特征函数 10
1.2.2 矩与矩母函数 10
1.2.3 概率母函数 12
1.2.4 概率理论中的各类收敛 14
1.3 其他 15
第2章 常见的赔付次数分布 18
2.1 泊松分布 18
2.1.1 左截尾泊松分布 20
2.1.2 右截尾泊松分布 21
2.2 二项分布 22
2.3 负二项分布 25
2.4 Logarithmic分布 29
2.5 （a,b,0）类 31
2.6 （a,b,1）类 33
2.7 混合次数模型 39
2.7.1 混合泊松分布 42
2.7.2 混合二项分布 43
2.8 复合次数分布 44
2.9 泊松-二项分布 49
2.10 Neyman-A分布 51
2.11 Polya-Aeppli分布 53
2.12 泊松-Pascal分布 54
第3章 极大似然估计 57
3.1 极大似然估计的定义 57
3.2 极大似然估计的性质 58
3.3 极大似然估计的有效性 62
3.4 特殊情形下的MLE 64
3.5 极大似然估计的数值解法 67
3.5.1 Newton-Raphson算法 67
3.5.2 Fisher得分法 69
3.5.3 计数分布极大似然估计的数值解法 70
3.5.4 部分复合计数分布的参数初值 72
第4章 用于模型拟合的假设检验方法 75
4.1 似然比检验 75
4.2 Pearsonx2检验 78
4.3 其他检验方法 79
4.3.1 Kolmogorov-Smirnov检验 79
4.3.2 罚似然值法 80
4.3.3 Wald检验法 81
4.3.4 得分检验法 83
第二部分 一维GPSJ赔付次数模型 87
第5章 泊松-Tweedie分布类 87
5.1 简介 87
5.2 预备知识 89
5.3 泊松-Tweedie模型 90
5.4 从Bayesian方法角度进行分析 94
5.5 数值例子 95
5.6 结论 99
第6章 GPSJ1分布类 100
6.1 简介 100
6.2 预备知识 102
6.2.1 参数混合泊松分布 102
6.2.2 几何变换 103
6.2.3 ESJ函数类 104
6.2.4 EDP变换及IEDP变换 110
6.2.5 伪复合泊松分布 116
6.3 GPSJ1赔付次数分布类 118
6.4 GPSJ1分布类的性质 126
6.5 GPSJ1分布类下总赔付额的计算公式 131
6.6 GPSJ1的极大似然估计 134
6.7 实例 139
第7章 GPSJ1分布类的无赔款优待系统 141
7.1 简介 141
7.2 背景知识 142
7.2.1 保费定价原理 142
7.2.2 无赔款优待系统的数学模型 143
7.2.3 GPSJ1分布类 146
7.2.4 参数混合泊松模型 148
7.2.5 非参数混合泊松模型 149
7.3 GPSJ1下的无赔款优待系统 151
7.3.1 GPSJ1过程 151
7.3.2 最优无赔款优待系统 154
7.3.3 零效用原理下的无赔款优待系统 155
7.4 实例 156
7.5 结论 158
第8章 GPSJ1分布类的稳定性 160
8.1 引言 160
8.2 无穷阶非同质递归方程 162
8.3 经验膨胀因子 166
8.4 GPSJ1分布类的稳定性 168
8.4.1 三个递归方程稳定性的理论分析 168
8.4.2 用模拟方法分析方程的稳定性 171
8.5 结论 176
第9章 GPSJ1分布类的合成假设检验 177
9.1 简介 177
9.2 背景知识 178
9.3 GPSJ1合成假设检验 180
9.4 泊松-逆高斯、SJ分布类合成假设检验 183
9.5 实例 185
第10章 一类无穷可分分布的合成假设检验 187
10.1 简介 187
10.2 预备知识 188
10.2.1 GPSJ1分布类 188
10.2.2 几种用来拟合赔付次数的无穷可分分布 190
10.3 一类无穷可分分布 192
10.4 合成假设检验 195
10.5 实例 201
10.6 结论 202
第11章 变异系数的区间估计 203
11.1 简介 203
11.2 渐近分布 204
11.3 实例 206
11.4 保费的变异系数 207
第三部分 多维GPSJ赔付次数模型 211
第12章 GPSJ2分布类 211
12.1 简介 211
12.2 预备知识 212
12.2.1 多维几何变换 212
12.2.2 ESJ函数类 214
12.2.3 GPSJ1分布类 215
12.2.4 多维EDP变换及IEDP变换 215
12.2.5 多维伪复合泊松分布 221
12.3 GPSJ2分布类 222
12.4 GPSJ2模型的边缘分布 231
12.5 参数的极大似然估计 235
12.6 应用实例 237
12.7 结论 238
第13章 GPSJ2分布类的合成检验 240
13.1 简介 240
13.2 预备知识 242
13.2.1 GPSJ1分布类的定义 242
13.2.2 GPSJ2分布类的定义 242
13.2.3 GPSJ2分布类的性质 243
13.2.4 阶序 244
13.3 渐进分布 245
13.4 实例 249
第四部分 对损失分布尾部特征的研究 253
第14章 损失分布的尾部特征 253
第15章 用POT方法估计损失分布尾部的效应分析 260
15.1 引言 260
15.2 极值理论 261
15.2.1 广义极值分布 261
15.2.2 Fisher-Tippett定理 262
15.2.3 广义Pareto分布（GPD） 264
15.2.4 PBdH定理 264
15.2.5 尾部拟合 265
15.2.6 统计特性 266
15.3 损失额模型 267
15.3.1 背景 267
15.3.2 Monte Carlo模拟试验 268
15.4 数据分析 269
15.4.1 探索性数据分析 269
15.4.2 估计形状参数 271
15.4.3 对高于临界值的超额数据进行拟合 274
15.4.4 有关定价的计算 274
15.4.5 对数据的敏感性分析 278
15.5 讨论 279
附录A 由已知分布产生新分布的方法 281
附录B 常见的损失分布 285
附录C COPULA的有关理论 302
附录D MCMC方法 305
参考文献 307
表2.1 （a,b,0）所包含的分布 32
表2.2 （a,b,1）所包含的分布 36
表2.3 （a,b,1）中所包含分布间的关系 39
表4.1 Kolmogorov-Smirnov检验临界值 80
表5.1 c和ζ的关系 91
表5.2 泊松-Tweedie分布类的概率母函数 92
表5.3 汽车赔付次数数据 96
表5.4 拟合Bühlmann数据组 97
表5.5 拟合Hossack等的数据组 98
表6.1 赔付次数的统计数据及拟合值 140
表6.2 各种模型的拟合效果 140
表7.1 赔付次数统计数据及拟合值 156
表7.2 GPSJ1分布类的最优BMS 157
表7.3 零效用原理下GPSJ1的BMS 158
表9.1 赔付次数统计表 185
表10.1 赔付次数统计表 201
表11.1 赔付次数统计表 207
表12.1 观测值和理论值对照表 237
表12.2 x2检验对照表 238
表13.1 赔付次数统计表 250
表15.1 不同临界值下的分位数的估计值 273
表15.2 两种不同方案推理的结果比较 278
附录C 表1 单参数copula族 303
图5.1 数据组1的对应于不同ζ值的x2统计量的值 97
图5.2 数据组2的对应于不同ζ值的x2统计量的值 98
图6.1 各种类型GPSJ1分布类图解 122
图8.1 当λ=0.1508时，参数c和p对？s的影响（B1型） 173
图8.2 当p=0.5时，参数c和λ对？s的影响（B1型） 173
图8.3 当c=－3.5时，参数p和λ对？s的影响（B1型） 174
图8.4 当f(0)=0.86时，参数c和p对？s的影响（B3型） 175
图8.5 当f(0)=0.86时，参数c和p对？s的影响（B2型） 175
图15.1 样本数据的QQ图 270
图15.2 样本均超额函数图 271
图15.3 不同临界值对应的形状参数估计值 272
图15.4 不同临界值下的0.999th分位数 273
图15.5 当临界值u=12时的拟合效果 275
图15.6 当临界值u=19时的拟合效果 275
图15.7 u=12时尾部的拟合效果 276
图15.8 u=19时尾部的拟合效果 276
图15.9 不同临界值下超赔层（50,200）的纯分保费 278
附录A图1 各种变换下的Beta分布类图解 283
附录A图2 各种变换型下的Gamma分布类图解 284