第一部分 向量几何的课题 1
第一章 欧几里得平面的向量代数 3
？2中的点与距离 3
向量、纯量、与长度 5
？2中向量和与纯量倍 6
平行与垂直向量 9
两点间的几何向量 10
第二章 欧几里得空间的向量代数 14
？3中的点与距离 14
向量、纯量、与长度 16
空间的向量代数 17
？3中二向量的夹角 18
向量的点积 20
第三章 ？2与？3中的直线的参数方程式 25
过原点的直线的参数方程式 25
过一所予点且有一已知方向向量的直线 26
二直线的夹角 28
线段、中点、与凸集合 30
第四章 ？2与？3中线性方程式的轨迹 35
？3中的一平面为一个线性方程式的轨迹 35
？3中二平面的夹角 38
第五章 平行四边形的面积与平行六面体的体积 43
？2中二向量作成的平行四边形 43
？2中平行四边形的面积以行列式表示 45
？3中三向量作成的平行六面体 47
平行六面体的体积以行列式表示 48
第六章 推广至？n 56
？n的向量与其代数 56
？n中向量的夹角，以几何开始 58
点积与席瓦兹不等式 59
？n中的直线与超平面 61
三角形不等式 63
体积与行列式 64
第二部分 矩阵的线性方程式 69
第七章 矩阵与其代数 71
矩阵的概念 71
矩阵加法 73
乘以纯量 73
矩阵乘法 74
矩阵运算的代数性 77
一矩阵之转置矩阵 79
第八章 线性方程组 83
问题 83
几何问题 84
解线性方程组 86
例题 87
简化式的一分析 92
第九章 可逆矩阵 99
矩阵方程式与反矩阵 97
可逆矩阵之反矩阵的计算 99
第十章 可微分写像的亚可比矩阵 108
多变数函数的导数 108
可微分函数的微分 109
方向导数 110
坐标函数与亚可比矩阵 112
微分公式以矩阵表出 114
第三部 抽象代数之精选论题 121
第十一章 半群 123
定义与例题 123
次群 126
反元素 127
第十二章 群 132
定义与例题 132
群（Zk，十k） 133
消去律与方程式之解 135
第十三章 乘法记号与加法记号 138
第十四章 由所予群作新群 142
群的子群 142
群的交集与联合 146
群的直积 148
第十五章 群的同态 152
结构关系写像 152
同构 154
同态存在的代数性质 156
同态的核 157
第十六章 群Sn 162
群SA 162
排列的乘法 163
几何的应用 165
循环 167
排列的符号 169
第十七章 环 176
定义与例题 176
三个「算术」性质 179
环的形式 180
子环 183
第十八章 体 188
体的基本性质 188
子体 190
布于体的矩阵线性方程组 191
第十九章 环的同态 197
定义与例题 197
同态存在的代数性质 199
同态的核 200
第二十章 布于体的多项环 204
多项式与其代数 204
多项式的根 208
第二十一章 布于任意体的向量空间 213
外乘 213
向量空间的概念 214
向量空间的一些基本性质 216
向量空间的直积 217
空间Fn的几何 218
第四部分 基础线性代数 223
第二十二章 实向量空间 225
向量空间的运算 225
向量空间 226
向量空间的一些基本性质 228
第二十三章 子空间与线性组合 233
子空间的定义与特性 233
线性组合与子空间 236
生成集合 237
？n的子空间 238
第二十四章 独立集合 242
独立关系 242
独立生成集合的存在 248
第二十五章 基底与维 255
基底 255
维 256
拓大一个独立集合为一组基底 258
第二十六章 子空间的和；面 264
子空间的和 264
子空间的直和 265
二子空间和的维 266
面 269
第二十七章 向量坐标化 276
有序基底 276
向量坐标化 277
第二十八章 线性写像 282
向量空间的同态 282
线性写像 284
线性写像的例题 285
线性写像存在的一些代数性质 287
向量空间的坐标化 289
第二十九章 线性写像的坐标化 295
线性写像关联于有序基底的矩阵 295
由矩阵关联于有序基底获得线性写像 299
线性写像应用坐标的计算 302
第三十章 线性写像的代数 309
？（V，V′）的代数结构 309
合成线性写像与矩阵乘法 313
第三十一章 基底的变换 319
线性写像矩阵之变换对应于基底的变更 319
相似矩阵 320
第三十二章 可微分写像的局部近似 325
局部坐标轴 325
局部线性近似：单变数场合 327
局部线性近似：多变数场合 329
第三十三章 秩 333
线性写像的秩 333
矩阵的秩 335
矩阵的列秩与行秩 337
第三十四章 一般线性问题 343
问题 343
例题 344
一般齐次线性问题之解空间的维 346
应用于微分方程式 348
第三十五章 特征值与对角线化 352
特征值与特征向量 352
特征值与特征向量的计算 355
矩阵的对角线化 357
应用于微分方程式 362
第三十六章 行列式 368
2阶与3阶的行列式的复习 368
n阶行列式之定义 370
行列式之性质 374
高阶行列式之计算 376
第三十七章 行列式理论 381
行列式之交错定义 381
行列式三基本性质的证明 383
以子式展开 387
第三十八章 行列式之两古典应用 391
可逆矩阵的反矩阵 391
克里默规则 393
第三十九章 特征值与行列式 397
特征多项式 397
最低多项式 398
凯雷汉米尔顿定理 400
第五部分 线性代数的附加课题 407
第四十章 约旦标准型与不变子空间 409
动机 409
约旦型 410
应用至微分方程式 417
不变子空间 420
第四十一章 实向量空间之内积 430
引言 430
实向量空间的内积 430
正交性与子空间 432
正定值内积与模方 433
席瓦兹与三角形不等式 434
向量与纯量射影 436
第四十二章 范数向量空间 441
范数的定义 441
由范数企图重述内积 442
第四十三章 正交基底 448
正交与正规直交基底 448
关于有序正规直交基底的向量坐标 449
万兰席密特程序 450
正交子空间的馀 453
第四十四章 单式写像与矩阵 456
单式写像 456
单式矩阵 457
第四十五章 ？m中n-匣子之n-体积 464
？m中n-匣子的概念 463
？m中n-匣子的n-体积 464
第四十六章 线性写像与体积 473
线性写像下之体积变换因式 473
可微分写像下之局部体积变换因式 477
应用至积分 479
附录 集合、写像、与关系 487
集合 487
写像 490
关系 494
奇数题的答案 500
索引 540