第1章 Bernstein多项式与Bézier曲线 1
1 引言 1
2 同时代的两位Bernstein 3
3 推广到m阶等差数列 5
4 另一个推广 6
5 逼近论中的Bernstein定理 10
6 数学家的语言——算子 16
7 构造数值积分公式的算子方法 19
7.1 几个常用的符号算子及其关系式 20
7.2 Euler求和公式的导出 24
7.3 利用符号算子表出的数值积分公式 25
8 将Bn也视为算子 27
9 来自宾夕法尼亚大学女研究生的定理 32
10 计算几何学与调配函数 37
11 Bézier曲线与汽车设计 39
12 推广到三角形域 45
13 Bernstein多项式的多元推广 55
第2章 Bernstein多项式和保形逼近 58
1 Bernstein多项式的性质 59
2 保形插值的样条函数方法 69
3 容许点列的构造 75
3.1 单调数组的容许点列构造 75
3.2 凸数组的容许点列构造 77
3.3 数值例子 80
4 分片单调保形插值 81
5 多元推广的Bernstein算子的逼近性质 84
5.1 引言 84
5.2 基本引理 85
5.3 主要结果 86
第3章 数学工作者论Bézier方法 91
1 常庚哲，吴骏恒论Bézier方法的数学基础 91
1.1 引言 91
1.2 Bézier曲线 91
1.3 函数族｛fn,i｝的若干性质 93
1.4 Bézier曲线的Bernstein形式 95
1.5 联系矩阵的逆矩阵 96
1.6 作图方法的证明 98
2 苏步青论Bézier曲线的仿射不变量 104
2.1 n次平面Bézier曲线的仿射不变量 104
2.2 三次平面Bézier曲线的保凸性 106
2.3 四次平面Bézier曲线的拐点 111
2.4 几个具体的例子 115
3 华宣积论四次Bézier曲线的拐点和奇点 118
3.1 四次Bézier曲线的拐点 119
3.2 B4的尖点 125
3.3 B4有二重点的充要条件 129
3.4 无二重点的一个充分条件 134
4 带两个形状参数的五次Bézier曲线的扩展 136
4.1 引言 136
4.2 基函数的定义及性质 137
4.3 曲线的构造及性质 139
4.4 结论 142
附录Ⅰ Bézier曲线的模型 143
1 引言 143
1.1 简介 143
1.2 多种面目 144
2 第一种定义法：点定义法 144
2.1 Bernstein多项式 144
2.2 Bézier曲线的第一种定义 155
2.3 Bézier曲线的变换 168
2.4 在其他多项式基底上的展开 172
3 Bézier曲线的局部性质 177
3.1 逐次导向量，切线 177
3.2 Bézier曲线的局部问题 179
4 第二种定义法：向量与制约 185
4.1 n维空间曲线的定义 185
4.2 多项式f？的确定 186
4.3 一般情形 188
4.4 Bézier曲线的第二种定义 190
5 Bézier曲线的几何绘制 196
5.1 参数曲线 196
5.2 四个例子 197
6 第三种定义法：“重心”序列法 202
6.1 概要 202
6.2 De Casteljau算法 203
6.3 用第一种定义法引进向量序列 208
6.4 导向量的De Casteljau算法 213
6.5 用于几何绘制 216
7 矢端曲线 220
7.1 定义 220
7.2 推广 221
8 Bézier曲线的几何 224
8.1 抛物线情形 224
8.2 三次曲线问题 228
8.3 四次曲线问题 234
8.4 Bézier曲线的子弧 238
8.5 阶次的增减 240
9 形体设计 247
9.1 几种可能的方法 247
9.2 复合曲线 248
附录Ⅱ 魏尔斯特拉斯定理 252
1 魏尔斯特拉斯第一及第二定理的表述 252
2 第一定理的A·勒贝格的证明 257
3 第一定理的E·兰道的证明 262
4 第一定理的C·H·伯恩斯坦的证明 267
5 C·H·伯恩斯坦多项式的若干性质 274
6 第二定理的证明以及第一定理与第二定理的联系 282
7 关于插补基点的法柏定理 289
8 费叶的收敛插补过程 299
附录Ⅲ 关于Bernstein型和Bernstein-Grünwald型插值过程 303
1 引言 303
2 关于一个B-过程 305
3 关于一个BG-过程 318
4 一般定理 323
附录Ⅳ Bernstein多项式逼近的一个注记（A Note on Approximation by Bernstein Polynomi-als） 326
1 Introduction 326
2 Results 328
3 Proofs 330
附录Ⅴ 数值分析中的伯恩斯坦多项式 336
1 伯恩斯坦多项式的一些性质 336
2 关于被逼近的函数的导数与伯恩斯坦逼近多项式间的联系 340
3 最小偏差递减的快慢 344
参考文献 347
编辑手记 355