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第1章 Bernstein多项式与Bézier曲线 1

1 引言 1

2 同时代的两位Bernstein 3

3 推广到m阶等差数列 5

4 另一个推广 6

5 逼近论中的Bernstein定理 10

6 数学家的语言——算子 16

7 构造数值积分公式的算子方法 19

7.1 几个常用的符号算子及其关系式 20

7.2 Euler求和公式的导出 24

7.3 利用符号算子表出的数值积分公式 25

8 将Bn也视为算子 27

9 来自宾夕法尼亚大学女研究生的定理 32

10 计算几何学与调配函数 37

11 Bézier曲线与汽车设计 39

12 推广到三角形域 45

13 Bernstein多项式的多元推广 55

第2章 Bernstein多项式和保形逼近 58

1 Bernstein多项式的性质 59

2 保形插值的样条函数方法 69

3 容许点列的构造 75

3.1 单调数组的容许点列构造 75

3.2 凸数组的容许点列构造 77

3.3 数值例子 80

4 分片单调保形插值 81

5 多元推广的Bernstein算子的逼近性质 84

5.1 引言 84

5.2 基本引理 85

5.3 主要结果 86

第3章 数学工作者论Bézier方法 91

1 常庚哲，吴骏恒论Bézier方法的数学基础 91

1.1 引言 91

1.2 Bézier曲线 91

1.3 函数族｛fn,i｝的若干性质 93

1.4 Bézier曲线的Bernstein形式 95

1.5 联系矩阵的逆矩阵 96

1.6 作图方法的证明 98

2 苏步青论Bézier曲线的仿射不变量 104

2.1 n次平面Bézier曲线的仿射不变量 104

2.2 三次平面Bézier曲线的保凸性 106

2.3 四次平面Bézier曲线的拐点 111

2.4 几个具体的例子 115

3 华宣积论四次Bézier曲线的拐点和奇点 118

3.1 四次Bézier曲线的拐点 119

3.2 B4的尖点 125

3.3 B4有二重点的充要条件 129

3.4 无二重点的一个充分条件 134

4 带两个形状参数的五次Bézier曲线的扩展 136

4.1 引言 136

4.2 基函数的定义及性质 137

4.3 曲线的构造及性质 139

4.4 结论 142

附录Ⅰ Bézier曲线的模型 143

1 引言 143

1.1 简介 143

1.2 多种面目 144

2 第一种定义法：点定义法 144

2.1 Bernstein多项式 144

2.2 Bézier曲线的第一种定义 155

2.3 Bézier曲线的变换 168

2.4 在其他多项式基底上的展开 172

3 Bézier曲线的局部性质 177

3.1 逐次导向量，切线 177

3.2 Bézier曲线的局部问题 179

4 第二种定义法：向量与制约 185

4.1 n维空间曲线的定义 185

4.2 多项式f？的确定 186

4.3 一般情形 188

4.4 Bézier曲线的第二种定义 190

5 Bézier曲线的几何绘制 196

5.1 参数曲线 196

5.2 四个例子 197

6 第三种定义法：“重心”序列法 202

6.1 概要 202

6.2 De Casteljau算法 203

6.3 用第一种定义法引进向量序列 208

6.4 导向量的De Casteljau算法 213

6.5 用于几何绘制 216

7 矢端曲线 220

7.1 定义 220

7.2 推广 221

8 Bézier曲线的几何 224

8.1 抛物线情形 224

8.2 三次曲线问题 228

8.3 四次曲线问题 234

8.4 Bézier曲线的子弧 238

8.5 阶次的增减 240

9 形体设计 247

9.1 几种可能的方法 247

9.2 复合曲线 248

附录Ⅱ 魏尔斯特拉斯定理 252

1 魏尔斯特拉斯第一及第二定理的表述 252

2 第一定理的A·勒贝格的证明 257

3 第一定理的E·兰道的证明 262

4 第一定理的C·H·伯恩斯坦的证明 267

5 C·H·伯恩斯坦多项式的若干性质 274

6 第二定理的证明以及第一定理与第二定理的联系 282

7 关于插补基点的法柏定理 289

8 费叶的收敛插补过程 299

附录Ⅲ 关于Bernstein型和Bernstein-Grünwald型插值过程 303

1 引言 303

2 关于一个B-过程 305

3 关于一个BG-过程 318

4 一般定理 323

附录Ⅳ Bernstein多项式逼近的一个注记（A Note on Approximation by Bernstein Polynomi-als） 326

1 Introduction 326

2 Results 328

3 Proofs 330

附录Ⅴ 数值分析中的伯恩斯坦多项式 336

1 伯恩斯坦多项式的一些性质 336

2 关于被逼近的函数的导数与伯恩斯坦逼近多项式间的联系 340

3 最小偏差递减的快慢 344

参考文献 347

编辑手记 355