第五单元 多元函数微分学 1
5.1 多元函数及其连续性 1
一、区域 1
二、多元函数概念 3
三、多元函数的极限 3
四、多元函数的连续性 4
习题5-1 5
5.2 偏导数与全微分 6
一、偏导数的定义 6
二、高阶偏导数 10
三、全微分的定义 10
习题5-2 12
5.3 方向导数与梯度 13
一、方向导数的定义 13
二、梯度及其实际意义 14
习题5-3 16
5.4 多元函数导数运算方法 17
一、复合函数求导法则 17
二、全微分形式不变性 18
三、隐函数求导法则 19
习题5-4 23
5.5 多元函数微分法的几何应用 23
一、曲线的切线与法平面 24
二、曲面的切平面与法线 26
习题5-5 28
5.6 条件极值与最小二乘法 29
一、多元函数的极值 29
二、多元函数的最值 30
三、条件极值及其应用 31
四、最小二乘法 32
习题5-6 36
第五单元综合练习题 37
第五单元课堂讨论题 38
第五单元课内实验 39
第六单元 多元函数积分学 48
6.1 二重积分的概念及性质 48
一、积分实例分析 48
二、二重积分的概念 50
三、二重积分的性质 50
习题6-1 52
6.2 二重积分的计算 53
一、二重积分的直角坐标计算法 53
二、二重积分的极坐标计算法 57
三、二重积分的坐标变换计算法 60
习题6-2 61
6.3 二重积分的应用 62
一、曲面面积 62
二、平面薄片的质心坐标 64
三、平面薄片对坐标轴的转动惯量 65
四、三重积分 66
习题6-3 69
6.4 曲线积分 70
一、对弧长的曲线积分 70
二、对坐标的曲线积分 73
三、两类曲线积分之间的关系 76
四、对面积的曲面积分 77
五、对坐标的曲面积分 78
习题6-4 83
6.5 格林公式及其应用 83
一、格林公式 84
二、平面曲线积分与路径无关的等价条件 86
三、高斯公式 89
四、斯托克斯公式 90
五、场论初步 92
习题6-5 94
第六单元综合练习题 95
第六单元课堂讨论题 96
第六单元课内实验 97
第七单元 无穷级数 102
7.1 常数项级数的概念与性质 102
一、引例 102
二、常数项级数的概念 103
三、收敛级数的基本性质 104
习题7-1 105
7.2 常数项级数的审敛法 107
一、正项级数及其审敛法 107
二、交错级数及其审敛法 111
三、绝对收敛与条件收敛 112
习题7-2 113
7.3 幂级数 114
一、函数项级数 114
二、幂级数及其敛散性 115
三、幂级数的运算性质 118
习题7-3 121
7.4 函数展开成幂级数 121
一、函数的泰勒级数与麦克劳林级数 122
二、几种简单函数的幂级数展开 124
三、幂级数展开式的应用 126
四、傅里叶级数 127
习题7-4 134
第七单元综合练习题 135
第七单元课堂讨论题 137
第七单元课内实验 138
第八单元 常微分方程 152
8.1 微分方程的基本概念 152
习题8-1 153
8.2 可分离变量方程与齐次方程 154
一、可分离变量方程 154
二、齐次方程 155
习题8-2 158
8.3 一阶线性方程与伯努利方程 159
一、一阶线性微分方程 159
二、伯努利方程 160
三、全微分方程 161
习题8-3 163
8.4 二阶线性方程 164
一、高阶线性方程解的结构 164
二、二阶常系数线性齐次方程的通解 165
三、二阶常系数线性非齐次方程的特解 167
习题8-4 169
8.5 微分方程应用 171
一、n阶常系数齐次线性微分方程 171
二、可降阶方程 172
三、高阶线性微分方程应用 174
四、偏微分方程介绍 175
习题8-5 176
第八单元综合练习题 176
第八单元课堂讨论题 178
第八单元课内实验 178
习题答案 186