1 预备知识 1
1—1．向量空间 1
1—2．线性变换和特征向量 5
1—3．定向和叉积 8
1—4．直线、平面和球面 11
1—5．向量微积分 15
2 局部曲线理论 18
2—1．基本定义和例子 19
2—2．弧长 27
2—3．曲率和Frenet—Serret标架 34
2—4．Frenet—Serret定理和推论 42
2—5．曲线的存在唯一性基本定理 59
2—6．非单位速率曲线 67
3 平面曲线的整体理论 72
3—1．线积分和Green定理 73
3—2．平面曲线的旋转指标 76
3—3．凸曲线 88
3—4．等周不等式 92
3—5．四顶点定理 96
3—6．预习 106
4 局部曲面理论 108
4—1．基本定义和例子 110
4—2．曲面 129
4—3．第一基本形式和弧长 135
4—4．法曲率、测地曲率和Gauss公式 148
4—5．测地线 159
4—6．沿曲线的平行向量场和平行性 170
4—7．第二基本形式和Weingarten映射 179
4—8．主曲率、Gauss曲率、平均曲率和法曲率 186
4—9．Riemann曲率和Gauss著名定理 205
4—10．等距和曲面论基本定理 212
4—11．常数Gauss曲率曲面 222
5 空间曲线的整体理论 233
5—1．Fenchel定理 233
5—2．Fary—Milnor定理 242
5—3．全挠率 246
6 曲面的整体理论 250
6—1．简单曲率结果 250
6—2．测地坐标片 254
6—3．可定向性和角变分 259
6—4．Gauss—Bonnet公式 267
6—5．Gauss—Bonnet定理和Euler示性数 272
6—6．Jacobi—Hadamard定理 277
6—7．向量场指标 281
7 流形介绍 285
7—1．一些分析上的预备知识 286
7—2．流形——定义和例子 291
7—3．切向量和切空间 298
7—4．向量场和李（Lie）括号 310
7—5．映射的微分和子流形 314
7—6．流形上的线性联络 322
7—7．平行向量场和具有线性联络的流形上的测地线 328
7—8．Riemann度量、距离和曲率 335
附录：历史简记 349
参考文献 355