第1章 函数 极限 连续 1
1.1 映射与函数 1
集合 1
邻域 1
映射 2
函数 3
函数的基本特性 6
基本初等函数 7
初等函数 12
1.2 数列的极限及其性质 13
数列 13
数列极限 13
数列的有界性 14
收敛数列的性质 14
1.3 函数的极限及其性质 15
极限定义（x→x0） 15
极限定义（x→∞） 16
函数极限的性质 17
1.4 无穷小与无穷大 19
无穷小 19
无穷小与函数极限关系 19
无穷大 20
无穷大与无穷小关系 20
1.5 极限运算法则 20
无穷小运算法则 20
极限的四则运算法则 21
1.6 极限存在准则 两个重要极限 21
夹逼准则 21
单调数列 22
单调有界准则 22
两个重要极限 22
1.7 无穷小的比较 23
无穷小的比较 23
常用等价无穷小 23
等价无穷小的充要条件 24
无穷小的等价代换 24
1.8 函数的连续性与间断点 25
函数在一点处连续定义 25
函数在开区间上连续 26
函数在闭区间上连续 26
函数的间断点定义 26
第一类间断点 27
第二类间断点 27
连续函数的和、差、积、商的连续性 27
反函数的连续性 28
复合函数的极限运算法则 28
复合函数的连续性 28
基本初等函数的连续性 29
初等函数的连续性 29
闭区间上连续函数的性质 29
本章知识点及其关联网络 30
第2章 导数与微分 31
2.1 导数概念 31
导数定义 31
左导数定义 32
右导数定义 32
导数几何意义 32
切线与法线公式 33
开区间内可导 33
闭区间上可导 33
导函数定义 33
可导性与连续性的关系 34
高阶导数定义 34
2.2 函数的求导法则 34
导数四则运算法则 34
反函数求导法则 35
复合函数求导法则 35
隐函数求导法则 35
对数求导法则 36
参数方程求导法则 37
常数和基本初等函数的导数公式 39
常用高阶导数公式 39
相关变化率 40
2.3 函数微分概念与微分运算法则 41
微分定义 41
可微的充分必要条件 42
函数在任意点的微分 42
基本初等函数的微分公式 42
函数和、差、积、商的微分法则 44
复合函数微分法则 44
本章知识点及其关联网络 45
第3章 微分中值定理与导数应用 46
3.1 微分中值定理 46
费马引理 46
罗尔定理 46
拉格朗日中值定理 46
柯西中值定理 46
泰勒公式 47
3.2 导数应用 49
极限的未定式 49
洛必达法则 50
函数单调性判别法则 51
函数凹凸性定义 51
函数拐点定义 52
函数凹凸性判别法 53
函数极值定义 53
函数极值的必要条件 53
函数极值第一充分条件 53
函数极值第二充分条件 54
函数极值第三充分条件 54
曲线的渐近线 54
曲线的弧微分公式 55
曲率公式 56
本章知识点及其关联网络 57
第4章 不定积分 58
4.1 不定积分的概念与性质 58
原函数定义 58
不定积分定义 58
不定积分性质 59
4.2 不定积分的计算方法 60
直接积分法 60
换元积分法 60
分部积分法 61
基本积分公式 61
4.3 特殊函数的不定积分 63
（1）有理函数的积分 63
有理函数 63
有理函数真分式的部分分式之和公式 64
有理函数积分法 65
（2）三角函数有理式的积分 65
三角函数有理式 65
三角函数有理式积分法 65
（3）简单无理函数的积分 66
简单无理函数 66
简单无理函数积分法 66
常见的无法用初等函数表示的不定积分 66
本章知识点及其关联网络 67
第5章 定积分 68
5.1 定积分的概念与性质 68
定积分定义 68
可积的充分条件 69
关于定积分的两点规定 70
定积分性质 70
5.2 微积分基本公式 72
积分上限函数定义 72
积分上限函数的性质 73
牛顿-莱布尼兹公式 73
5.3 定积分的计算 74
定积分的换元积分法 74
定积分的分部积分法 75
定积分的几个常用结果 75
5.4 反常积分 76
无穷限的反常积分定义 76
无穷限反常积分的计算 78
无界函数反常积分的定义 79
无界函数反常积分的计算 81
本章知识点及其关联网络 82
第6章 定积分应用 83
6.1 定积分元素法 83
定积分元素法 83
6.2 几何应用 84
（1）平面图形面积 84
直角坐标系中平面图形面积 84
极坐标系中平面图形面积 85
（2）空间体的体积 86
旋转体的体积 86
平行截面面积已知的空间体的体积 86
（3）平面曲线弧长 87
平面曲线弧长的定义 87
曲线弧长公式 88
6.3 物理应用 89
变力沿直线作功 89
水压力 90
引力 91
6.4 平均值 94
函数的平均值 94
函数的均方根 94
本章知识点及其关联网络 95
第7章 空间解析几何与向量代数 96
7.1 空间直角坐标系 96
空间直角坐标系 96
空间点的坐标 97
空间两点间的距离公式 98
7.2 空间向量及其运算 98
向量 98
空间点M的向径 99
自由向量 99
向量a与b相等 99
向量a与b平行 99
向量的模 99
单位向量 99
向量加法 99
向量加法的运算算律 100
负向量 101
向量的差 101
向量与数的乘法 101
向量与数的乘法运算算律 101
向量平行的充分必要条件 102
非零向量的单位化 102
7.3 向量的坐标 102
向量坐标 102
向量加法、减法和数乘运算的坐标表示 102
向量a//b的坐标表示 103
向量模的坐标表示 103
两向量的夹角 103
向量的方向角 103
向量的方向余弦及其性质 103
向量在轴上的投影 104
投影定理 104
投影性质 104
7.4 数量积 向量积 混合积 105
（1）向量的数量积 105
数量积定义 105
数量积的性质 105
数量积的坐标表示 106
两个向量夹角余弦的坐标表示 106
（2）向量的向量积 107
向量积定义 107
向量积的性质 107
向量积的坐标表示 107
（3）向量的混合积 108
混合积的定义 108
混合积的坐标表示 108
混合积的几何意义 108
7.5 空间曲面及其方程 109
曲面方程的概念 109
旋转曲面 109
旋转曲面方程 109
柱面 110
空间曲面的参数方程 111
二次曲面 111
二次曲面方程 111
7.6 空间曲线及其方程 112
空间曲线 112
空间曲线的一般方程 112
空间曲线的参数方程 112
空间曲线在坐标面上的投影 112
7.7 平面及其方程 113
平面的法向量 113
平面方程 113
两平面的夹角 114
两平面垂直的条件 115
两平面平行的条件 115
平面外一点到平面的距离 115
7.8 空间直线及其方程 115
直线的方向向量 115
空间直线方程 115
两直线的夹角 116
两直线夹角的余弦公式 117
直线与平面的夹角 117
直线与平面夹角的公式 117
直线外一点到直线的距离 117
本章知识点及其关联网络 118
第8章 多元函数微分法及其应用 119
8.1 多元函数的基本概念 119
坐标平面 119
平面点集 119
平面上点P0的δ邻域 119
平面上点P0的去心δ邻域 120
内点 120
外点 120
边界点与边界 120
聚点 121
开集 121
闭集 121
连通集 121
区域（或开区域） 121
闭区域 121
有界点集和无界点集 122
二元函数定义 122
n元函数定义 122
二元函数极限定义 123
二元函数连续定义 123
二元函数间断点定义 124
多元连续函数的和、差、积、商的连续性 124
多元连续函数的复合函数的连续性 124
多元初等函数的概念 124
多元初等函数的连续性 124
有界闭区域上连续函数的性质 125
8.2 偏导数 126
二元函数偏导数定义 126
二元函数偏导数的几何意义 127
二元函数高阶偏导数概念 128
二阶混合偏导与求导顺序无关的条件 129
8.3 全微分 129
二元函数的偏增量与偏微分的概念 129
二元函数的全增量与全微分的定义 129
全微分存在的必要条件 130
全微分存在的充分条件 130
n元函数全微分的表达式 131
8.4 多元复合函数的求导法则 131
中间变量均为一元函数的情形 131
中间变量均为多元函数的情形 132
中间变量既有一元函数又有多元函数的情形 133
全微分形式的不变性 133
8.5 隐函数的求导公式 134
单一方程情形 134
方程组情形 135
多元反函数求导公式 136
8.6 微分在几何上的应用 139
空间曲线的切线概念 139
空间曲线的切向量 140
空间曲线的切线方程 140
空间曲线的法平面及其方程 140
其他形式的空间曲线方程的切线与法平面方程 140
曲面的切平面和法线的概念 142
曲面法向量的概念 142
曲面的切平面与法线方程 143
曲面法向量的方向余弦 144
二元函数全微分的几何意义 145
8.7 方向导数与梯度 145
方向导数定义 145
方向导数的存在条件和计算公式 146
梯度的概念 146
梯度与方向导数的关系 147
8.8 多元函数的极值及其求法 148
二元函数极值的定义 148
极值的必要条件 149
极值的充分条件 149
条件极值与无条件极值 150
拉格朗日乘子法 150
本章知识点及其关联网络①（多元函数微分法） 152
本章知识点及其关联网络②（多元函数微分法应用） 153
第9章 重积分 154
9.1 二重积分的概念与性质 154
二重积分定义 154
二重积分性质 155
9.2 二重积分的计算法 157
直角坐标系中二重积分的计算 157
极坐标系中二重积分的计算 159
二重积分换元定理 161
9.3 三重积分 162
三重积分定义 162
三重积分性质 163
直角坐标系中三重积分的计算 163
柱坐标系中三重积分的计算 166
球坐标系中三重积分的计算 168
9.4 重积分应用 171
（1）几何应用 171
曲面面积 171
（2）物理应用 172
质心坐标 172
转动惯量 174
引力 175
本章知识点及其关联网络 178
第10章 曲线积分与曲面积分 179
10.1 对弧长的曲线积分 179
对弧长曲线积分的定义 179
对弧长曲线积分的性质 180
对弧长曲线积分的计算公式 182
对弧长曲线积分的计算步骤 183
10.2 对坐标的曲线积分 183
对坐标曲线积分的定义 183
对坐标曲线积分的性质 186
对坐标曲线积分的计算公式 186
对坐标曲线积分的计算步骤 188
两类曲线积分之间的联系 189
10.3 格林公式 190
单连通域与复连通域 190
平面区域边界的正方向 190
格林公式 190
曲线积分与路径无关的概念 191
曲线积分与路径无关的等价条件 191
曲线积分与路径无关的充分必要条件 191
二元函数全微分求积的概念 192
二元函数全微分求积的条件与方法 192
10.4 曲线积分的应用 194
（1）几何应用 194
弧长的计算 194
柱面的面积 195
（2）物理应用 195
线状物体的质量 195
线状物体的质心 196
线状物体的转动惯量 197
变力沿曲线作功 197
10.5 对面积的曲面积分 198
对面积曲面积分的定义 198
对面积曲面积分的性质 199
对面积曲面积分的计算步骤和计算公式 200
10.6 对坐标的曲面积分 202
有向曲面的概念 202
有向曲面的方向 202
有向曲面在坐标面上的投影 203
对坐标曲面积分的定义 203
对坐标曲面积分的性质 205
对坐标曲面积分的计算步骤和计算公式 206
两类曲面积分之间的联系 208
10.7 高斯公式 通量和散度 209
高斯公式 209
通量和散度 210
10.8 斯托克斯公式 环流量和旋度 210
斯托克斯公式 210
环流量和旋度 211
10.9 曲面积分的应用 212
（1）几何应用 212
空间曲面面积 212
（2）物理应用 212
曲面状物体的质量 212
曲面状物体的质心 213
面状物体的转动惯量 213
本章知识点及其关联网络①（曲线积分） 214
本章知识点及其关联网络②（曲面积分） 215
第11章 无穷级数 216
11.1 常数项级数的概念和性质 216
常数项级数定义 216
级数的前n项和数列 216
级数收敛和发散定义 216
级数余项定义 217
收敛级数的基本性质 217
级数收敛的必要条件 218
柯西审敛原理 218
11.2 常数项级数的审敛法 218
正项级数定义 218
正项级数收敛的充分必要条件 218
正项级数的比较审敛法 219
正项级数的比较审敛法推论 219
三个重要级数的敛散性 220
正项级数比较审敛法的极限形式 220
正项级数的极限审敛法 221
正项级数的比值审敛法（达朗贝尔（D'Alembert）判别法） 221
正项级数的根值审敛法（柯西（Cauchy）判别法） 222
交错级数定义 222
交错级数审敛法（莱布尼兹定理） 222
绝对收敛和条件收敛 222
绝对收敛级数的性质 223
11.3 幂级数 224
函数项级数定义 224
函数项级数的收敛域和发散域 224
函数项级数的和函数及余项 225
幂级数 226
阿贝尔（Abel）定理 226
阿贝尔（Abel）定理推论 226
幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域 226
幂级数收敛半径的求法 227
幂级数的四则运算 227
幂级数和函数的性质 229
泰勒级数 230
麦克劳林级数 231
函数展成泰勒级数 231
常用函数的麦克劳林级数 231
11.4 函数项级数的一致收敛性 232
函数项级数的一致收敛性 232
函数项级数一致收敛性的判别法（维尔斯特拉斯（Weierstrass）判别法） 233
一致收敛级数的性质 233
幂级数的一致收敛性 235
11.5 复数项级数和欧拉公式 235
复数项级数 235
复数项级数的收敛性 235
复数项级数的绝对收敛性 236
欧拉（Euler）公式 236
11.6 傅里叶级数 237
三角级数 237
傅里叶级数 237
收敛定理（狄利克雷（Dirichler）充分条件） 237
奇函数与偶函数的傅里叶系数 238
正弦级数 238
余弦级数 238
以2l为周期的函数的傅里叶级数 239
本章知识点及其关联网络①（数项级数） 241
本章知识点及其关联网络②（幂级数、傅里叶级数） 242
第12章 微分方程 243
12.1 微分方程的基本概念 243
微分方程定义 243
微分方程的阶 243
n阶微分方程的一般形式 243
微分方程的解 243
12.2 一阶微分方程 244
可分离变量的微分方程及其解法 244
齐次方程及其解法 244
一阶线性微分方程 245
伯努利方程 246
全微分方程 247
积分因子 247
12.3 高阶可降阶微分方程 248
y（n）＝f（x）型的微分方程 248
y″＝f（x，y′）型的微分方程 248
y″＝f（y，y′）型的微分方程 248
12.4 高阶线性微分方程 249
二阶线性微分方程 249
二阶齐次线性微分方程解的叠加原理 249
函数的线性相关与线性无关 249
二阶齐次线性微分方程的通解结构 250
n阶齐次线性微分方程的通解结构 250
二阶非齐次线性微分方程的通解结构 250
二阶非齐次线性微分方程解的叠加原理 251
12.5 常系数齐次线性微分方程 251
二阶常系数齐次线性微分方程 251
二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程 252
二阶常系数齐次线性微分方程的求解步骤 252
n阶常系数齐次线性微分方程 252
n阶常系数齐次线性微分方程的特征方程 253
n阶常系数齐次线性微分方程的通解 253
12.6 常系数非齐次线性微分方程 254
二阶常系数非齐次线性微分方程 254
f（x）＝eλxPm（x）型 254
f（x）＝eλx［Pl（x）cosωx＋Pn（x）sinωx］型 255
本章知识点及其关联网络 256
第13章 行列式 257
13.1 行列式的概念 257
排列的逆序与逆序数 257
n阶行列式的定义 257
几种特殊行列式的值 259
13.2 行列式的基本性质 260
行列式的基本性质 260
余子式和代数余子式 264
13.3 行列式按行（列）展开定理 264
行列式按行（列）展开定理 264
范德蒙行列式 265
13.4 克莱姆法则解线性方程组 266
克莱姆法则 266
克莱姆法则的等价定理 267
本章知识点及其关联网络 268
第14章 矩阵及其运算 269
14.1 矩阵的概念 269
矩阵定义 269
几种特殊矩阵 269
14.2 矩阵的运算 271
矩阵的线性运算 271
矩阵的乘法 272
方阵的幂 273
矩阵的转置 273
方阵的行列式 274
共轭矩阵 274
对称矩阵 274
反对称矩阵 275
伴随矩阵 275
14.3 逆矩阵 275
逆矩阵的定义 275
可逆的充分必要条件 276
逆矩阵的运算性质 276
矩阵方程的求解 276
逆矩阵的求法 277
14.4 矩阵的初等变换 278
矩阵初等变换定义 278
等价矩阵 278
初等矩阵 278
初等矩阵的性质 281
14.5 矩阵的秩 283
r阶子式 283
矩阵秩的定义 283
矩阵秩的性质 283
利用初等变换求矩阵的秩 284
14.6 分块矩阵法 284
分块矩阵定义 284
常用分块法 284
分块矩阵的运算 286
本章知识点及其关联网络 291
第15章 向量组的线性相关性 292
15.1 向量及其线性运算 292
向量的定义 292
两向量的相等 292
向量的线性运算 292
向量线性运算的性质 293
15.2 向量的线性相关性 294
线性组合 294
向量的线性表示 294
向量的线性相关性 295
向量的线性相关性的判别定理 295
向量线性相关性的几个重要定理 296
向量线性相关性的几个重要结论 297
15.3 最大无关组与向量组的秩 297
最大无关组定义 297
向量组的秩 298
向量组的秩的重要定理 298
15.4 向量空间 298
向量空间 298
向量空间的基 299
向量空间的维数 299
向量在某组基下的坐标 299
子空间 300
基变换公式 300
坐标变换公式 301
15.5 向量的内积 301
向量的内积 301
向量的长度 302
两向量的夹角 303
正交向量组的性质 303
15.6 标准正交基与正交矩阵 303
标准正交基 303
施密特正交化方法 303
正交矩阵 304
正交矩阵的性质 304
本章知识点及其关联网络 306
第16章 线性方程组 307
16.1 齐次线性方程组 307
齐次线性方程组有解的判别 308
齐次线性方程组解的性质 308
齐次线性方程组的基础解系 308
齐次线性方程组解的结构 308
齐次线性方程组的求解（利用矩阵的初等变换）步骤 308
16.2 非齐次线性方程组 309
非齐次线性方程组有解的判别 310
非齐次线性方程组解的性质 310
非齐次线性方程组解的结构 311
解n元非齐次线性方程组的步骤 311
本章知识点及其关联网络 312
第17章 特征值 特征向量 313
17.1 特征值、特征向量及其性质 313
方阵的特征值、特征向量 313
特征值、特征向量的求法 314
特征值、特征向量的性质 314
17.2 相似矩阵 315
相似矩阵 315
相似矩阵的性质 316
17.3 矩阵可对角化的条件 317
17.4 实对称矩阵的对角化 317
本章知识点及其关联网络 319
第18章 二次型及其标准形 320
18.1 二次型的矩阵表示，合同矩阵 320
二次型 320
二次型的矩阵 320
合同矩阵 321
合同矩阵的性质 321
18.2 线性变换化二次型为标准形 323
配方法 323
正交变换法 323
用正交变换法化二次型为标准形的步骤 324
惯性定理 324
18.3 正定二次型、正定矩阵 325
正定二次型、正定矩阵 325
正定二次型、正定矩阵的判别 325
负定二次型负定矩阵的判别 326
半正定二次型、半正定矩阵的判别 327
本章知识点及其关联网络 328
第19章 随机事件与概率 329
19.1 随机试验 329
随机现象 329
随机试验 329
19.2 样本空间、随机事件 329
样本空间与样本点 329
随机事件 330
事件的关系和运算 330
事件的运算算律 331
19.3 频率与概率 332
频率 332
概率的统计定义 333
概率的公理化定义 333
概率的性质 334
19.4 等可能概型（古典概率） 335
古典概型 335
古典概率的计算公式 335
古典概率的性质 335
几何概率 336
19.5 条件概率 337
条件概率定义 337
条件概率的性质 337
乘法公式 337
划分（完备事件组） 338
全概率公式 338
贝叶斯公式（Bayes）（逆全概率公式） 338
19.6 独立性 339
两事件的独立性 339
三事件的独立性 339
n个事件的相互独立性 340
本章知识点及其关联网络 341
第20章 随机变量及其分布 342
20.1 随机变量 342
20.2 离散型随机变量及其分布律 342
离散型随机变量 342
分布律 342
常见的离散型分布 343
20.3 随机变量的分布函数 344
分布函数的定义 344
分布函数的性质 344
20.4 连续型随机变量及其概率密度 345
连续型随机变量 345
连续型随机变量的性质 345
常见的连续型分布 345
20.5 随机变量函数的分布 350
离散型随机变量函数的分布 350
连续型随机变量函数的分布 350
本章知识点及其关联网络 352
第21章 多维随机变量 353
21.1 二维随机变量 353
二维随机变量定义 353
联合分布函数 353
二维离散型随机变量 354
二维连续型随机变量 355
21.2 边缘分布 356
边缘分布函数 356
边缘分布律 356
边缘概率密度 357
21.3 条件分布 357
条件分布律 357
条件概率密度 357
21.4 相互独立的随机变量 358
二维随机变量相互独立的定义 358
随机变量相互独立的判别方法 358
二维均匀分布 359
二维正态分布 360
21.5 两个随机变量的函数的分布 361
Z＝X＋Y的分布（两个随机变量和的分布） 361
M＝max｛X，Y｝及N＝min｛X，Y｝的分布（两个随机变量的最大最小分布） 362
本章知识点及其关联网络 364
第22章 随机变量的数字特征 365
22.1 数学期望（简称均值） 365
离散型随机变量的数学期望 365
连续型随机变量的数学期望 365
随机变量函数的数学期望 366
数学期望的性质 367
22.2 方差 368
方差的定义 368
方差计算公式 368
方差的性质 368
常见随机变量的期望和方差 368
22.3 协方差及相关系数 369
协方差定义 369
协方差的性质 369
相关系数 370
相关系数性质 370
不相关 370
22.4 矩 371
k阶矩 371
k阶中心矩 371
混合矩 371
混合中心矩 371
本章知识点及其关联网络 372
第23章 大数定律与中心极限定理 373
23.1 大数定律 373
切比雪夫不等式 373
大数定律 373
23.2 中心极限定理 374
独立同分布的中心极限定理 374
棣莫弗-拉普拉斯定理 375
本章知识点及其关联网络 377
第24章 样本及抽样分布 378
24.1 随机样本 378
总体 378
样本 378
样本的分布 378
24.2 抽样分布 379
统计量 379
常用统计量 379
x2分布（卡方分布） 380
t分布 382
F分布 383
正态总体的样本均值的分布 385
正态总体的样本方差的分布 385
正态总体的样本均值与样本方差关系的分布 385
两正态总体的样本均值差和方差比的分布 386
本章知识点及其关联网络 387
第25章 参数估计 388
25.1 点估计 388
点估计的定义 388
矩估计法 388
最大似然估计法 389
25.2 估计量的评选标准 392
无偏性 392
有效性 392
相合性（一致性） 392
25.3 区间估计 393
置信区间 393
寻求置信区间的方法 393
25.4 正态总体均值与方差的区间估计 394
单个正态总体均值的区间估计 394
单个正态总体方差的区间估计 395
两个正态总体均值差的置信区间 395
两个正态总体方差比的置信区间 396
25.5 （0-1）分布参数的区间估计 396
25.6 单侧置信区间 397
本章知识点及其关联网络 398
第26章 假设检验 399
26.1 假设检验 399
假设检验 399
假设检验的基本思想 399
显著性假设检验 400
假设检验的步骤 400
26.2 正态总体均值的假设检验 401
单个正态总体均值的假设检验 401
两个正态总体均值差异的显著性检验 402
26.3 正态总体方差的假设检验 403
单个正态总体方差的假设检验 403
两个正态总体方差的齐性检验（F检验法） 404
本章知识点及其关联网络 405
附表 406
附表1 标准正态分布表 406
附表2 泊松分布表 408
附表3 t分布表 411
附表4 x2分布表 414
附表5 F分布表 419