第一章 数列极限及其基本性质 1
1.1 知识点 1
1.2 知识要素 1
1.2.1 数列极限的定义 1
1.2.2 数列极限的分析性质 4
1.2.3 数列极限的运算性质 5
1.3 应用事例 8
1.3.1 基础性分析 8
1.3.2 化成无穷小量进行分析 8
1.3.3 证明无穷小量的充分性方法 9
1.3.4 Stolz定理 9
1.4 建立方式 10
第二章 数列极限的分析 12
2.1 知识点 12
2.2 知识要素 12
2.2.1 确界定义及其基本性质 12
2.2.2 单调有界数列必收敛 13
2.2.3 闭区间套定理 14
2.2.4 有界点列必有收敛子列 15
2.2.5 数列极限的Cauchy收敛原理 15
2.3 应用事例 16
2.3.1 单调有界数列必收敛 16
2.3.2 数列极限的Cauchy收敛原理 20
2.3.3 子列相关结论 22
2.4 拓广深化 23
2.4.1 压缩映照定理及其应用 23
2.4.2 数列的上下极限 27
2.5 建立方式 29
第三章 函数的极限 31
3.1 知识点 31
3.2 知识要素 31
3.2.1 函数极限的定义 31
3.2.2 函数极限的分析性质 35
3.2.3 函数极限的运算性质 38
3.3 应用事例 42
3.4 建立方式 43
第四章 函数的连续性 44
4.1 知识点 44
4.2 知识要素 44
4.2.1 连续性的极限定义 44
4.2.2 单调性相关的函数极限 46
4.2.3 基本初等函数的连续性 51
4.2.4 基本初等函数的反函数 52
4.3 拓广深化 53
4.3.1 函数极限的振幅刻画 53
4.3.2 函数的确界 55
4.4 建立方式 58
第五章 函数极限的意义 59
5.1 知识点 59
5.2 知识要素 59
5.2.1 函数的局部多项式逼近 59
5.2.2 Landau符号的意义 60
5.2.3 基本初等函数的低阶多项式逼近 63
5.3 应用事例 64
5.3.1 x→0的情形 64
5.3.2 x→x0≠0的情形 65
5.4 建立方式 69
第六章 函数的导数 70
6.1 知识点 70
6.2 知识要素 70
6.2.1 函数导数的极限定义 70
6.2.2 函数导数的运算性质 71
6.2.3 复合函数的导数 72
6.2.4 基本初等函数的导数 74
6.2.5 高阶导数 76
6.3 应用事例 76
6.3.1 导数相关分析性质 76
6.3.2 基于充分性方法 77
6.3.3 分段函数的导数 85
6.3.4 高阶导数 90
6.4 建立方式 95
第七章 闭区间上连续函数的性质 96
7.1 知识点 96
7.2 知识要素 96
7.2.1 闭区间上连续函数基本性质（内部无可导性） 96
7.2.2 闭区间上连续函数基本性质（内部有可导性） 99
7.2.3 中值定理 102
7.2.4 反函数与其导数的存在性 106
7.2.5 函数在区间上的一致连续性 108
7.3 应用事例 114
7.3.1 函数在区间上的一致连续性 114
7.4 拓广深化 116
7.4.1 插值公式 116
7.4.2 差分公式 118
7.5 建立方式 120
第八章 无限小增量公式与有限增量公式 122
8.1 知识点 122
8.2 知识要素 122
8.2.1 获得无限小增量公式 122
8.2.2 获得有限增量公式 124
8.3 应用事例 127
8.3.1 有关极值的充分与必要性结论 127
8.3.2 Lagrange余项中因子的极限 128
8.3.3 基本初等函数Taylor展开的误差估计与Taylor级数 131
8.3.4 近似公式及其误差估计 132
8.4 建立方式 133
第九章 函数局部行为的研究（复杂函数的极限） 135
9.1 知识点 135
9.2 知识要素 135
9.2.1 获得复杂函数局部多项式逼近的基本方法 135
9.2.2 Bernoulli-L'Hospital法则 138
9.3 应用事例 143
9.3.1 基本初等函数的多项式逼近 143
9.3.2 一般函数的多项式逼近 145
9.3.3 复杂函数的极限（基于多项式逼近） 148
9.3.4 复杂函数的极限（基于Bernoulli-L'Hospital法则） 159
9.3.5 利用函数极限研究点列极限 160
9.4 拓广深化 161
9.4.1 力学中的微元分析 161
9.5 建立方式 163
第十章 函数局部行为的研究（平面曲线的相关研究） 164
10.1 知识点 164
10.2 知识要素 164
10.2.1 平面曲线的刻画形式 164
10.2.2 平面曲线的基本几何性质 168
10.2.3 渐屈线和渐伸线 176
10.3 应用事例 178
10.4 拓广深化 179
10.4.1 自然基下的平面运动方程 179
10.4.2 极坐标系下的平面运动方程 183
10.4.3 向量的绝对变化率与相对变换率 185
10.5 建立方式 188
第十一章 函数全局行为的研究（函数定性作图） 189
11.1 知识点 189
11.2 知识要素 189
11.2.1 渐近线 189
11.2.2 单调性 191
11.2.3 凹凸性 191
11.2.4 函数的定性作图 195
11.3 应用事例 203
11.3.1 双曲函数的图像 203
11.3.2 Monge型函数的定性作图 208
11.3.3 参数形式函数的定性作图 212
11.4 拓广深化 218
11.4.1 分叉现象 218
11.4.2 迟滞现象 222
11.5 建立方式 230
第十二章 函数全局行为的研究（全局行为的相关分析） 231
12.1 知识点 231
12.2 知识要素 231
12.2.1 最值问题 231
12.2.2 函数及其导函数的界的估计 232
12.2.3 不等式 232
12.3 应用事例 233
12.3.1 最值问题 233
12.3.2 函数及其导函数的界的估计 235
12.3.3 不等式 240
12.4 建立方式 244
第十三章 Riemann积分的实际来源及数学定义 245
13.1 知识点 245
13.2 知识要素 245
13.2.1 Riemann积分定义的实际来源 245
13.2.2 Riemann积分的定义 246
13.2.3 Riemann积分的基本分析性质 248
13.3 建立方式 249
第十四章 Riemann积分的分析理论（Darboux估计与可积函数类） 251
14.1 知识点 251
14.2 知识要素 251
14.2.1 Darboux和的估计 251
14.2.2 Riemann可积的判别法 255
14.2.3 Riemann可积函数类 258
14.3 拓广深化 260
14.3.1 集合运算基础 260
14.3.2 Lebesgue-Stieltjes测度 261
14.4 建立方式 274
第十五章 Riemann积分的分析理论（基本性质与关系式） 275
15.1 知识点 275
15.2 知识要素 275
15.2.1 基本性质 275
15.2.2 积分等式 278
15.2.3 积分不等式 281
15.2.4 积分逼近关系 286
15.3 应用事例 289
15.3.1 积分基本性质 289
15.3.2 积分不等式 290
15.4 建立方式 294
第十六章 Riemann积分的应用理论 295
16.1 知识点 295
16.2 知识要素 295
16.2.1 数学实验——实验结果可直接确认为真理 295
16.2.2 数学实验——实验结果需经实践检验 297
16.3 拓广深化 305
16.3.1 力学中的相关应用 305
16.3.2 曲线上积分 307
16.4 应用事例 311
16.5 建立方式 311
第十七章 Riemann积分的计算理论（不定积分） 313
17.1 知识点 313
17.2 知识要素 313
17.2.1 基本初等函数的积分 313
17.2.2 第一类换元法 315
17.2.3 第二类换元法 315
17.2.4 分部积分法 316
17.2.5 被积函数的有理化处理 316
17.2.6 二项微分式的积分 326
17.2.7 三角有理函数的积分 327
17.3 应用事例 328
17.3.1 第一类换元法 328
17.3.2 第二类换元法 330
17.3.3 分部积分法 336
17.3.4 有理化 341
17.3.5 三角有理函数的积分 354
17.4 建立方式 358
第十八章 Riemann积分的计算理论（定积分） 359
18.1 知识点 359
18.2 知识要素 359
18.2.1 原函数 359
18.2.2 第一类换元法 360
18.2.3 第二类换元法 361
18.2.4 分部积分法 362
18.3 应用事例 362
18.3.1 换元法 362
18.3.2 分部积分法 365
18.3.3 以积分限为自变量的函数的求导 366
18.3.4 利用定积分求点列极限 367
18.4 建立方式 370
第十九章 广义积分 371
19.1 知识点 371
19.2 知识要素 371
19.2.1 广义积分的背景及定义 371
19.2.2 广义积分的敛散性 372
19.3 应用事例 377
19.3.1 被积函数含有三角函数的敛散性分析 377
19.3.2 被积函数含有lnx的敛散性分析 384
19.4 建立方式 391
第二十章 常微分方程基础 392
20.1 知识点 392
20.2 知识要素 392
20.2.1 一阶常微分方程 392
20.2.2 二阶常微分方程 396
20.3 应用事例 401
20.3.1 一般事例 401
20.3.2 结合实际背景的事例 409
20.4 拓广深化 421
20.4.1 实变量复值函数 421
20.5 建立方式 427
第二十一章 一元微积分的综合应用 428
21.1 知识点 428
21.2 知识要素 428
21.2.1 椭圆积分的背景及其定义 428
21.2.2 质点在非光滑斜面上的运动 431
21.2.3 弹道方程 435
21.2.4 Huygens等时摆 439
21.2.5 悬链线方程 441
21.2.6 二体问题 443
21.3 建立方式 448
索引 449
插图 454
参考文献 460