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第一章 数列极限及其基本性质 1

1.1 知识点 1

1.2 知识要素 1

1.2.1 数列极限的定义 1

1.2.2 数列极限的分析性质 4

1.2.3 数列极限的运算性质 5

1.3 应用事例 8

1.3.1 基础性分析 8

1.3.2 化成无穷小量进行分析 8

1.3.3 证明无穷小量的充分性方法 9

1.3.4 Stolz定理 9

1.4 建立方式 10

第二章 数列极限的分析 12

2.1 知识点 12

2.2 知识要素 12

2.2.1 确界定义及其基本性质 12

2.2.2 单调有界数列必收敛 13

2.2.3 闭区间套定理 14

2.2.4 有界点列必有收敛子列 15

2.2.5 数列极限的Cauchy收敛原理 15

2.3 应用事例 16

2.3.1 单调有界数列必收敛 16

2.3.2 数列极限的Cauchy收敛原理 20

2.3.3 子列相关结论 22

2.4 拓广深化 23

2.4.1 压缩映照定理及其应用 23

2.4.2 数列的上下极限 27

2.5 建立方式 29

第三章 函数的极限 31

3.1 知识点 31

3.2 知识要素 31

3.2.1 函数极限的定义 31

3.2.2 函数极限的分析性质 35

3.2.3 函数极限的运算性质 38

3.3 应用事例 42

3.4 建立方式 43

第四章 函数的连续性 44

4.1 知识点 44

4.2 知识要素 44

4.2.1 连续性的极限定义 44

4.2.2 单调性相关的函数极限 46

4.2.3 基本初等函数的连续性 51

4.2.4 基本初等函数的反函数 52

4.3 拓广深化 53

4.3.1 函数极限的振幅刻画 53

4.3.2 函数的确界 55

4.4 建立方式 58

第五章 函数极限的意义 59

5.1 知识点 59

5.2 知识要素 59

5.2.1 函数的局部多项式逼近 59

5.2.2 Landau符号的意义 60

5.2.3 基本初等函数的低阶多项式逼近 63

5.3 应用事例 64

5.3.1 x→0的情形 64

5.3.2 x→x0≠0的情形 65

5.4 建立方式 69

第六章 函数的导数 70

6.1 知识点 70

6.2 知识要素 70

6.2.1 函数导数的极限定义 70

6.2.2 函数导数的运算性质 71

6.2.3 复合函数的导数 72

6.2.4 基本初等函数的导数 74

6.2.5 高阶导数 76

6.3 应用事例 76

6.3.1 导数相关分析性质 76

6.3.2 基于充分性方法 77

6.3.3 分段函数的导数 85

6.3.4 高阶导数 90

6.4 建立方式 95

第七章 闭区间上连续函数的性质 96

7.1 知识点 96

7.2 知识要素 96

7.2.1 闭区间上连续函数基本性质（内部无可导性） 96

7.2.2 闭区间上连续函数基本性质（内部有可导性） 99

7.2.3 中值定理 102

7.2.4 反函数与其导数的存在性 106

7.2.5 函数在区间上的一致连续性 108

7.3 应用事例 114

7.3.1 函数在区间上的一致连续性 114

7.4 拓广深化 116

7.4.1 插值公式 116

7.4.2 差分公式 118

7.5 建立方式 120

第八章 无限小增量公式与有限增量公式 122

8.1 知识点 122

8.2 知识要素 122

8.2.1 获得无限小增量公式 122

8.2.2 获得有限增量公式 124

8.3 应用事例 127

8.3.1 有关极值的充分与必要性结论 127

8.3.2 Lagrange余项中因子的极限 128

8.3.3 基本初等函数Taylor展开的误差估计与Taylor级数 131

8.3.4 近似公式及其误差估计 132

8.4 建立方式 133

第九章 函数局部行为的研究（复杂函数的极限） 135

9.1 知识点 135

9.2 知识要素 135

9.2.1 获得复杂函数局部多项式逼近的基本方法 135

9.2.2 Bernoulli-L'Hospital法则 138

9.3 应用事例 143

9.3.1 基本初等函数的多项式逼近 143

9.3.2 一般函数的多项式逼近 145

9.3.3 复杂函数的极限（基于多项式逼近） 148

9.3.4 复杂函数的极限（基于Bernoulli-L'Hospital法则） 159

9.3.5 利用函数极限研究点列极限 160

9.4 拓广深化 161

9.4.1 力学中的微元分析 161

9.5 建立方式 163

第十章 函数局部行为的研究（平面曲线的相关研究） 164

10.1 知识点 164

10.2 知识要素 164

10.2.1 平面曲线的刻画形式 164

10.2.2 平面曲线的基本几何性质 168

10.2.3 渐屈线和渐伸线 176

10.3 应用事例 178

10.4 拓广深化 179

10.4.1 自然基下的平面运动方程 179

10.4.2 极坐标系下的平面运动方程 183

10.4.3 向量的绝对变化率与相对变换率 185

10.5 建立方式 188

第十一章 函数全局行为的研究（函数定性作图） 189

11.1 知识点 189

11.2 知识要素 189

11.2.1 渐近线 189

11.2.2 单调性 191

11.2.3 凹凸性 191

11.2.4 函数的定性作图 195

11.3 应用事例 203

11.3.1 双曲函数的图像 203

11.3.2 Monge型函数的定性作图 208

11.3.3 参数形式函数的定性作图 212

11.4 拓广深化 218

11.4.1 分叉现象 218

11.4.2 迟滞现象 222

11.5 建立方式 230

第十二章 函数全局行为的研究（全局行为的相关分析） 231

12.1 知识点 231

12.2 知识要素 231

12.2.1 最值问题 231

12.2.2 函数及其导函数的界的估计 232

12.2.3 不等式 232

12.3 应用事例 233

12.3.1 最值问题 233

12.3.2 函数及其导函数的界的估计 235

12.3.3 不等式 240

12.4 建立方式 244

第十三章 Riemann积分的实际来源及数学定义 245

13.1 知识点 245

13.2 知识要素 245

13.2.1 Riemann积分定义的实际来源 245

13.2.2 Riemann积分的定义 246

13.2.3 Riemann积分的基本分析性质 248

13.3 建立方式 249

第十四章 Riemann积分的分析理论（Darboux估计与可积函数类） 251

14.1 知识点 251

14.2 知识要素 251

14.2.1 Darboux和的估计 251

14.2.2 Riemann可积的判别法 255

14.2.3 Riemann可积函数类 258

14.3 拓广深化 260

14.3.1 集合运算基础 260

14.3.2 Lebesgue-Stieltjes测度 261

14.4 建立方式 274

第十五章 Riemann积分的分析理论（基本性质与关系式） 275

15.1 知识点 275

15.2 知识要素 275

15.2.1 基本性质 275

15.2.2 积分等式 278

15.2.3 积分不等式 281

15.2.4 积分逼近关系 286

15.3 应用事例 289

15.3.1 积分基本性质 289

15.3.2 积分不等式 290

15.4 建立方式 294

第十六章 Riemann积分的应用理论 295

16.1 知识点 295

16.2 知识要素 295

16.2.1 数学实验——实验结果可直接确认为真理 295

16.2.2 数学实验——实验结果需经实践检验 297

16.3 拓广深化 305

16.3.1 力学中的相关应用 305

16.3.2 曲线上积分 307

16.4 应用事例 311

16.5 建立方式 311

第十七章 Riemann积分的计算理论（不定积分） 313

17.1 知识点 313

17.2 知识要素 313

17.2.1 基本初等函数的积分 313

17.2.2 第一类换元法 315

17.2.3 第二类换元法 315

17.2.4 分部积分法 316

17.2.5 被积函数的有理化处理 316

17.2.6 二项微分式的积分 326

17.2.7 三角有理函数的积分 327

17.3 应用事例 328

17.3.1 第一类换元法 328

17.3.2 第二类换元法 330

17.3.3 分部积分法 336

17.3.4 有理化 341

17.3.5 三角有理函数的积分 354

17.4 建立方式 358

第十八章 Riemann积分的计算理论（定积分） 359

18.1 知识点 359

18.2 知识要素 359

18.2.1 原函数 359

18.2.2 第一类换元法 360

18.2.3 第二类换元法 361

18.2.4 分部积分法 362

18.3 应用事例 362

18.3.1 换元法 362

18.3.2 分部积分法 365

18.3.3 以积分限为自变量的函数的求导 366

18.3.4 利用定积分求点列极限 367

18.4 建立方式 370

第十九章 广义积分 371

19.1 知识点 371

19.2 知识要素 371

19.2.1 广义积分的背景及定义 371

19.2.2 广义积分的敛散性 372

19.3 应用事例 377

19.3.1 被积函数含有三角函数的敛散性分析 377

19.3.2 被积函数含有lnx的敛散性分析 384

19.4 建立方式 391

第二十章 常微分方程基础 392

20.1 知识点 392

20.2 知识要素 392

20.2.1 一阶常微分方程 392

20.2.2 二阶常微分方程 396

20.3 应用事例 401

20.3.1 一般事例 401

20.3.2 结合实际背景的事例 409

20.4 拓广深化 421

20.4.1 实变量复值函数 421

20.5 建立方式 427

第二十一章 一元微积分的综合应用 428

21.1 知识点 428

21.2 知识要素 428

21.2.1 椭圆积分的背景及其定义 428

21.2.2 质点在非光滑斜面上的运动 431

21.2.3 弹道方程 435

21.2.4 Huygens等时摆 439

21.2.5 悬链线方程 441

21.2.6 二体问题 443

21.3 建立方式 448

索引 449

插图 454

参考文献 460