第一部分 二阶椭圆型方程 1
第一章 L2理论 1
1 Lax-Milgram定理 1
2 椭圆型方程的弱解 2
3 Fredholm二择一定理 5
4 弱解的极值原理 6
5 弱解的正则性 11
第二章 Schauder理论 14
1 Holder空间 14
2 磨光核 16
3 位势方程解的C2，a估计 19
4 Schauder内估计 23
5 Schauder全局估计 25
6 古典解的极值原理 27
7 Dirichlet问题的可解性 29
第三章 Lp理论 33
1 Marcinkiewicz内插定理 33
2 分解引理 36
3 位势方程的估计 37
4 W2，p内估计 42
5 W2，p全局估计 44
6 W2，p解的存在性 45
第四章 De Giorgi-Nash估计 49
1 弱解的局部性质 49
2 内部Holder连续性 55
3 全局Holder连续性 58
第五章 散度型拟线性方程 62
1 弱解的有界性 62
2 有界弱解的Holder模 64
3 梯度估计 67
4 梯度的Holder模估计 70
5 Dirichlet问题的可解性 72
第六章 Krylov-Safonov估计 75
1 Aleksandrov极值原理 75
2 Harnack不等式与解的Holder模内估计 83
3 解的全局Holder模估计 91
第七章 完全非线性方程 94
1 解的最大模估计与Holder模估计 94
2 解的梯度估计 99
3 解的梯度的Holder模估计 101
4 非散度型拟线性方程的可解性 108
5 关于完全非线性方程的可解性 109
6 一类特殊方程 112
7 一般完全非线性方程 116
第二部分 椭圆型方程组 123
第八章 线性散度型椭圆组的L2理论 123
1 弱解的存在性 123
2 能量模估计和H2正则性 126
第九章 线性散度型椭圆组的Schauder理论 130
1 Morrey空间和Campanato空间 130
2 Schauder理论 138
第十章 线性散度型椭圆组的Lp理论 150
1 BMO空间和Stampacchia内插定理 150
2 Lp理论 151
第十一章 非线性椭圆组弱解的存在性 157
1 引言 157
2 变分方法 158
第十二章 非线性椭圆组弱解的正则性 167
1 H2正则性 167
2 进一步的正则性、不正则的例子 172
3 研究正则性的间接方法 175
4 反向Holder不等式和Du的Lp估计 182
5 研究正则性的直接方法 194
6 奇异点集 202
附录1 Sobolev空间 207
1 弱导数和Sobolev空间W k·p （Ω） 207
2 实数次Sobolev空间H s（Rn） 210
3 Poincaré不等式 211
附录2 Sard定理 213
附录3 John-Nirenberg定理的证明 214
附录4 Stampacchia内插定理的证明 216
附录5 反向Holder不等式的证明 221
参考文献 228