第一章 定解问题的提法 1
1偏微分方程举例和基本概念 1
偏微分方程举例 1
基本概念 2
习题 3
2热传导方程及其定解问题 4
热传导问题的提出 4
热传导方程 5
热传导方程的定解条件 8
热传导方程的典型定解问题 10
低维热传导方程及其定解问题 11
习题 13
3波动方程及其定解问题 14
波动方程的物理背景 14
弦的微小横振动方程 14
弦振动方程的定解条件 17
弦振动方程的典型定解问题 20
二维和三维波动问题 20
习题 22
4位势方程及其定解问题 22
位势方程 22
典型定解问题 23
习题 24
5衔接条件和方程的分类与标准型 24
衔接条件 24
二阶线性偏微分方程的分类与标准型 26
习题 32
6适定性概念和课程的基本内容 33
适定性概念 33
课程的基本内容 34
第二章 行波法 38
1 Duhamel原理 38
Duhamel原理 38
Duhamel原理的物理背景 39
题 40
2一维波动问题 41
无界弦的自由振动 41
无界弦的强振动 43
习题 45
3空间波动方程 46
球面波方程 46
空间齐次波方程 47
空间非齐次波动方程 50
二维波动问题 52
习题 54
4波动问题解的物理性质 55
D Alembert公式的物理意义 55
依赖区域、决定区域和影响区域 58
空间波传播的物理性质 60
二维波传播的物理性质 61
第三章 分离变量法 63
1常微齐边值条件的本征值问题 63
第一齐边值条件的本征值问题 63
第二齐边值条件的本征值问题 65
习题 66
2Legendre方程的本征值问题 68
本征值问题（2.1）—（2.2）的解 68
与Legendre多项式 68
Legendre多项式的基本性质 75
习题 85
3波动方程的第一边值问题 89
齐方程齐边值条件的情形 89
非齐方程齐边值条件的情形 92
非齐方程非齐边值条件的情形 95
解的物理意义 97
习题 99
4热传导方程的第二边值问题一 101
齐边值条件的情形 101
非齐边值条件的情形 104
习题 105
5位势方程的第一边值问题 105
圆域上的第一边值问题 106
球对称情形下的第一边值问题 110
习题 120
第四章 Fourier变换和Laplace变换 122
1积分变换的一般概念 122
基本定义 122
常见的积分变换 123
积分变换的作用 125
2 Fourier积分公式 126
Fourier积分公式的形式推导 126
Fourier积分公式成立的充分条件 128
习题 131
3 Fourier变换 133
Fourier变换的概念 133
Fourier变换的基本性质 133
多重Fourier变换 136
习题 137
4 Fourier变换的应用 138
齐方程的初值问题 138
非齐方程的初值问题 140
半无界区间上的边值问题 141
习题 144
5 Laplace变换 145
Laplace变换的形式推导 145
存在定理与反演公式 147
展开定理 151
习题 161
6 Laplace变换的基本性质及其应用 162
Laplace变换的基本性质 162
热传导方程的初值问题 170
热传导方程的混合问题 175
习题 177
第五章 Green函数法 179
1 δ-函数 179
δ-函数的定义 179
δ-函数的物理意义 180
δ-函数作为普通函数的弱极限 181
弱相等概念和δ-函数的性质 185
高维δ-函数 188
习题 189
2解初值问题的Green函数法 190
基本思想 190
解一维初值问题的Green函数法 191
解三维初值问题的Green函数法 195
习题 199
3解边值问题的Green函数法 199
Green公式 199
点源场 200
Green函数及其物理意义 202
Green函数法 203
求Green函数的静电源象法 207
Green函数的对称性 211
习题 214
第六章 变分原理与变分方法 218
1单积分型泛函的变分问题 218
模型问题 218
变分问题的确切提法 220
变分原理——Euler方程 223
泛函的变分 227
二阶变分和极值函数的充分条件 228
习题 230
2重积分型泛函的变分问题 231
极小曲面问题 231
变分问题及其原理 232
J（u）的一阶变分 236
习题 237
3条件极值 238
等周问题 238
一般变分问题 239
等周问题的解 241
习题 243
4自然边值条件 244
变动端点问题的自然边值条件 244
变动边值问题的自然边值条件 247
更一般的泛函的自然边值条件 248
习题 251
5变分法与数学物理定解问题 252
极值原理 252
膜的微小横振动方程 253
习题 255
6边值问题与变分问题 255
变分方法大意 255
常微边值问题对应的变分问题 255
Poisson方程对应的变分问题 258
7解变分问题的直接方法 259
一个边值问题解的存在与唯一性 259
直接方法的基本思想 261
作极小函数列的Ritz方法 261
解变分问题的Ritz方法 296
解变分问题的Galerkin方法 270
习题 273
8解本征值问题的变分方法 274
本征值和本征函数的一些性质 274
本征值问题与变分问题 276
本征值和本征函数的求法举例 278
第七章 附录 282
1 Furier级数的逐项微商定理 282
展开定理及其推论 282
基本引理 283
逐项微商定理 288
2形式解为真解的条件 288
第三章的定解问题（3.1）—（3.3） 289
第三章的定解问题（5.3）—（5.4） 290
3第三章极限式（2.26）的证明 292
4一个函数系的完全性证明 295
5积分变换表 297
提示和答案 301