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第一章 定解问题的提法 1

1偏微分方程举例和基本概念 1

偏微分方程举例 1

基本概念 2

习题 3

2热传导方程及其定解问题 4

热传导问题的提出 4

热传导方程 5

热传导方程的定解条件 8

热传导方程的典型定解问题 10

低维热传导方程及其定解问题 11

习题 13

3波动方程及其定解问题 14

波动方程的物理背景 14

弦的微小横振动方程 14

弦振动方程的定解条件 17

弦振动方程的典型定解问题 20

二维和三维波动问题 20

习题 22

4位势方程及其定解问题 22

位势方程 22

典型定解问题 23

习题 24

5衔接条件和方程的分类与标准型 24

衔接条件 24

二阶线性偏微分方程的分类与标准型 26

习题 32

6适定性概念和课程的基本内容 33

适定性概念 33

课程的基本内容 34

第二章 行波法 38

1 Duhamel原理 38

Duhamel原理 38

Duhamel原理的物理背景 39

题 40

2一维波动问题 41

无界弦的自由振动 41

无界弦的强振动 43

习题 45

3空间波动方程 46

球面波方程 46

空间齐次波方程 47

空间非齐次波动方程 50

二维波动问题 52

习题 54

4波动问题解的物理性质 55

D Alembert公式的物理意义 55

依赖区域、决定区域和影响区域 58

空间波传播的物理性质 60

二维波传播的物理性质 61

第三章 分离变量法 63

1常微齐边值条件的本征值问题 63

第一齐边值条件的本征值问题 63

第二齐边值条件的本征值问题 65

习题 66

2Legendre方程的本征值问题 68

本征值问题（2.1）—（2.2）的解 68

与Legendre多项式 68

Legendre多项式的基本性质 75

习题 85

3波动方程的第一边值问题 89

齐方程齐边值条件的情形 89

非齐方程齐边值条件的情形 92

非齐方程非齐边值条件的情形 95

解的物理意义 97

习题 99

4热传导方程的第二边值问题一 101

齐边值条件的情形 101

非齐边值条件的情形 104

习题 105

5位势方程的第一边值问题 105

圆域上的第一边值问题 106

球对称情形下的第一边值问题 110

习题 120

第四章 Fourier变换和Laplace变换 122

1积分变换的一般概念 122

基本定义 122

常见的积分变换 123

积分变换的作用 125

2 Fourier积分公式 126

Fourier积分公式的形式推导 126

Fourier积分公式成立的充分条件 128

习题 131

3 Fourier变换 133

Fourier变换的概念 133

Fourier变换的基本性质 133

多重Fourier变换 136

习题 137

4 Fourier变换的应用 138

齐方程的初值问题 138

非齐方程的初值问题 140

半无界区间上的边值问题 141

习题 144

5 Laplace变换 145

Laplace变换的形式推导 145

存在定理与反演公式 147

展开定理 151

习题 161

6 Laplace变换的基本性质及其应用 162

Laplace变换的基本性质 162

热传导方程的初值问题 170

热传导方程的混合问题 175

习题 177

第五章 Green函数法 179

1 δ-函数 179

δ-函数的定义 179

δ-函数的物理意义 180

δ-函数作为普通函数的弱极限 181

弱相等概念和δ-函数的性质 185

高维δ-函数 188

习题 189

2解初值问题的Green函数法 190

基本思想 190

解一维初值问题的Green函数法 191

解三维初值问题的Green函数法 195

习题 199

3解边值问题的Green函数法 199

Green公式 199

点源场 200

Green函数及其物理意义 202

Green函数法 203

求Green函数的静电源象法 207

Green函数的对称性 211

习题 214

第六章 变分原理与变分方法 218

1单积分型泛函的变分问题 218

模型问题 218

变分问题的确切提法 220

变分原理——Euler方程 223

泛函的变分 227

二阶变分和极值函数的充分条件 228

习题 230

2重积分型泛函的变分问题 231

极小曲面问题 231

变分问题及其原理 232

J（u）的一阶变分 236

习题 237

3条件极值 238

等周问题 238

一般变分问题 239

等周问题的解 241

习题 243

4自然边值条件 244

变动端点问题的自然边值条件 244

变动边值问题的自然边值条件 247

更一般的泛函的自然边值条件 248

习题 251

5变分法与数学物理定解问题 252

极值原理 252

膜的微小横振动方程 253

习题 255

6边值问题与变分问题 255

变分方法大意 255

常微边值问题对应的变分问题 255

Poisson方程对应的变分问题 258

7解变分问题的直接方法 259

一个边值问题解的存在与唯一性 259

直接方法的基本思想 261

作极小函数列的Ritz方法 261

解变分问题的Ritz方法 296

解变分问题的Galerkin方法 270

习题 273

8解本征值问题的变分方法 274

本征值和本征函数的一些性质 274

本征值问题与变分问题 276

本征值和本征函数的求法举例 278

第七章 附录 282

1 Furier级数的逐项微商定理 282

展开定理及其推论 282

基本引理 283

逐项微商定理 288

2形式解为真解的条件 288

第三章的定解问题（3.1）—（3.3） 289

第三章的定解问题（5.3）—（5.4） 290

3第三章极限式（2.26）的证明 292

4一个函数系的完全性证明 295

5积分变换表 297

提示和答案 301