第1章 函数与极限 1
1．1集合与函数 1
1．1．1集合 1
1．1．2函数与映射 4
1．1．3函数的四则运算 8
1．1．4基本初等函数与初等函数 9
1．1．5几种具有特殊性质的函数 10
历史的回顾 13
历史人物简介 13
习题1-1（A） 15
习题1-1（B） 16
1．2极限 17
1．2．1极限的定义 18
1．2．2极限的性质 28
1．2．3数学建模的实例——圆周率的计算 35
历史的回顾 36
历史人物简介 37
习题1-2（A） 39
习题1-2（B） 40
1．3极限存在准则 两个重要极限 41
1．3．1准则1夹逼准则及重要极限？ 41
1．3．2准则2单调有界数列必有极限 43
习题1-3（A） 45
习题1-3（B） 46
1．4无穷小量与无穷大量 47
1．4．1无穷小量 47
1．4．2无穷大量 51
历史的回顾 53
历史人物简介 54
习题1-4（A） 55
习题1-4（B） 56
1．5函数的连续性及间断点 57
1．5．1函数的连续性 57
1．5．2函数的间断点 59
习题1-5（A） 61
习题1-5（B） 62
1．6初等函数的连续性与连续函数的性质 62
1．6．1连续函数的运算性质 62
1．6．2初等函数的连续性 64
1．6．3闭区间上的连续函数的性质 66
习题1-6（A） 69
习题1-6（B） 69
1．7利用数学软件求极限 70
习题1-7 72
总习题1 72
第2章 导数与微分 75
2．1导数与微分的概念 75
2．1．1导数的概念 75
2．1．2微分的概念 80
2．1．3可导与可微、可导与连续之间的关系 82
2．1．4微分的几何意义 84
历史的回顾 84
历史人物简介 85
习题2-1（A） 86
习题2-1（B） 87
2．2函数的求导法则与一阶微分形式的不变性 87
2．2．1函数的和、差、积、商的求导法则 87
2．2．2反函数的求导法则 89
2．2．3复合函数的导数 91
2．2．4一阶微分形式的不变性 93
2．2．5基本初等函数求导公式 94
习题2-2（A） 95
习题2-2（B） 97
2．3高阶导数 97
习题2-3（A） 100
习题2-3（B） 100
2．4隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 101
2．4．1隐函数的导数 101
2．4．2由参数方程所确定的函数的导数 105
2．4．3数学建模的实例——相关变化率 108
习题2-4（A） 109
习题2-4（B） 110
2．5利用数学软件求导数 111
习题2-5 113
总习题2 113
第3章 微分中值定理及导数的应用 115
3．1微分中值定理 115
3．1．1罗尔定理 115
3．1．2拉格朗日中值定理 118
3．1．3柯西中值定理 121
历史人物简介 122
习题3-1（A） 124
习题3-1（B） 124
3．2洛必达法则 125
3．2．1 0/0型不定式 125
3．2．2 ∞/∞型不定式 128
3．2．3其他不定式 129
习题3-2（A） 130
习题3-2（B） 131
3．3泰勒中值定理 132
3．3．1泰勒公式 132
3．3．2泰勒展开式的应用举例 138
习题3-3（A） 140
习题3-3（B） 141
3．4函数的单调性与极值 141
3．4．1函数单调性的判别法 141
3．4．2函数极值与最值的求法 144
习题3-4（A） 150
习题3-4（B） 151
3．5曲线的凸性、渐近线与图形的描绘 152
3．5．1曲线的凸性与拐点 153
3．5．2渐近线 156
3．5．3函数图形的描绘 158
习题3-5（A） 159
习题3-5（B） 160
3．6曲率 161
3．6．1弧微分 161
3．6．2曲率 162
3．6．3曲率圆与曲率半径 164
习题3-6（A） 165
习题3-6（B） 166
3．7方程的近似解 166
3．7．1二分法 167
3．7．2切线法 168
习题3-7（A） 169
总习题3 170
第4章 不定积分 173
4．1不定积分的概念与性质 173
4．1．1原函数与不定积分的概念 173
4．1．2基本不定积分表 176
4．1．3不定积分的性质 176
习题4-1（A） 178
习题4-1（B） 179
4．2换元积分法 179
4．2．1第一换元积分法（凑微分法） 179
4．2．2第二换元法 187
习题4-2（A） 192
习题4-2（B） 193
4．3分部积分法 194
习题4-3（A） 199
习题4-3（B） 200
总习题4 200
第5章 定积分及其应用 203
5．1定积分的概念与性质 203
5．1．1两个实例 203
5．1．2定积分的定义 205
5．1．3定积分的几何意义 207
5．1．4定积分的性质 207
历史人物介绍 210
习题5-1（A） 211
习题5-1（B） 212
5．2微积分基本公式 213
5．2．1变上限定积分 213
5．2．2牛顿-莱布尼兹公式 215
历史的回顾 217
历史人物简介 218
习题5-2（A） 219
习题5-2（B） 220
5．3定积分的换元法与分部积分法 221
5．3．1定积分的换元积分法 221
5．3．2定积分的分部积分法 226
习题5-3（A） 227
习题5-3（B） 229
5．4广义积分 229
5．4．1无穷（限）积分 230
5．4．2瑕积分（无界函数的积分） 232
习题5-4（A） 235
习题5-4（B） 235
5．5定积分的应用 236
5．5．1平面图形的面积 236
5．5．2关于定积分应用的微元法 239
5．5．3平行截面面积为已知的立体的体积 240
5．5．4平面曲线的弧长 243
5．5．5定积分在物理学上的应用 245
5．5．6数学建模的实例——不允许缺货的存储模型 247
历史人物介绍 248
习题5-5（A） 249
习题5-5（B） 251
5．6利用软件求积分 252
总习题5 254
第6章 微分方程 258
6．1微分方程的基本概念 258
6．1．1几个微分方程的实例 258
6．1．2基本概念 259
习题6-1（A） 262
习题6-1（B） 263
6．2一阶微分方程 263
6．2．1变量可分离的方程 263
6．2．2齐次方程 266
6．2．3一阶线性微分方程 268
6．2．4伯努利方程 271
6．2．5一阶微分方程的应用举例 272
6．2．6数学建模的实例——单种群数量变化的数学模型 275
习题6-2（A） 276
习题6-2（B） 277
6．3可降阶的高阶微分方程 278
6．3．1 y （n）＝f （x）型 278
6．3．2 y″＝f （x，y′）型 279
6．3．3 y″＝f （y，y′）型 280
6．3．4数学建模的实例——悬链线问题 282
习题6-3（A） 283
习题6-3（B） 284
6．4线性微分方程解的结构 284
6．4．1 n阶线性微分方程 285
6．4．2线性齐次微分方程的解的结构 285
6．4．3线性非齐次微分方程的解的结构 287
习题6-4（A） 288
习题6-4（B） 288
6．5常系数线性微分方程 288
6．5．1常系数线性齐次方程 289
6．5．2常系数线性非齐次方程 292
6．5．3数学建模的实例 296
习题6-5（A） 299
习题6-5（B） 299
历史回顾 300
6．6利用软件求解微分方程 301
总习题6 301
附录1 Maple软件简介 304
附录2 习题参考答案 317