第1章 函数与极限 1
1.1集合与函数 1
1.1.1集合 1
1.1.2函数与映射 4
1.1.3函数的四则运算 8
1.1.4基本初等函数与初等函数 9
1.1.5几种具有特殊性质的函数 10
历史的回顾 13
历史人物简介 13
习题1-1(A) 15
习题1-1(B) 16
1.2极限 17
1.2.1极限的定义 18
1.2.2极限的性质 28
1.2.3数学建模的实例——圆周率的计算 35
历史的回顾 36
历史人物简介 37
习题1-2(A) 39
习题1-2(B) 40
1.3极限存在准则 两个重要极限 41
1.3.1准则1夹逼准则及重要极限? 41
1.3.2准则2单调有界数列必有极限 43
习题1-3(A) 45
习题1-3(B) 46
1.4无穷小量与无穷大量 47
1.4.1无穷小量 47
1.4.2无穷大量 51
历史的回顾 53
历史人物简介 54
习题1-4(A) 55
习题1-4(B) 56
1.5函数的连续性及间断点 57
1.5.1函数的连续性 57
1.5.2函数的间断点 59
习题1-5(A) 61
习题1-5(B) 62
1.6初等函数的连续性与连续函数的性质 62
1.6.1连续函数的运算性质 62
1.6.2初等函数的连续性 64
1.6.3闭区间上的连续函数的性质 66
习题1-6(A) 69
习题1-6(B) 69
1.7利用数学软件求极限 70
习题1-7 72
总习题1 72
第2章 导数与微分 75
2.1导数与微分的概念 75
2.1.1导数的概念 75
2.1.2微分的概念 80
2.1.3可导与可微、可导与连续之间的关系 82
2.1.4微分的几何意义 84
历史的回顾 84
历史人物简介 85
习题2-1(A) 86
习题2-1(B) 87
2.2函数的求导法则与一阶微分形式的不变性 87
2.2.1函数的和、差、积、商的求导法则 87
2.2.2反函数的求导法则 89
2.2.3复合函数的导数 91
2.2.4一阶微分形式的不变性 93
2.2.5基本初等函数求导公式 94
习题2-2(A) 95
习题2-2(B) 97
2.3高阶导数 97
习题2-3(A) 100
习题2-3(B) 100
2.4隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 101
2.4.1隐函数的导数 101
2.4.2由参数方程所确定的函数的导数 105
2.4.3数学建模的实例——相关变化率 108
习题2-4(A) 109
习题2-4(B) 110
2.5利用数学软件求导数 111
习题2-5 113
总习题2 113
第3章 微分中值定理及导数的应用 115
3.1微分中值定理 115
3.1.1罗尔定理 115
3.1.2拉格朗日中值定理 118
3.1.3柯西中值定理 121
历史人物简介 122
习题3-1(A) 124
习题3-1(B) 124
3.2洛必达法则 125
3.2.1 0/0型不定式 125
3.2.2 ∞/∞型不定式 128
3.2.3其他不定式 129
习题3-2(A) 130
习题3-2(B) 131
3.3泰勒中值定理 132
3.3.1泰勒公式 132
3.3.2泰勒展开式的应用举例 138
习题3-3(A) 140
习题3-3(B) 141
3.4函数的单调性与极值 141
3.4.1函数单调性的判别法 141
3.4.2函数极值与最值的求法 144
习题3-4(A) 150
习题3-4(B) 151
3.5曲线的凸性、渐近线与图形的描绘 152
3.5.1曲线的凸性与拐点 153
3.5.2渐近线 156
3.5.3函数图形的描绘 158
习题3-5(A) 159
习题3-5(B) 160
3.6曲率 161
3.6.1弧微分 161
3.6.2曲率 162
3.6.3曲率圆与曲率半径 164
习题3-6(A) 165
习题3-6(B) 166
3.7方程的近似解 166
3.7.1二分法 167
3.7.2切线法 168
习题3-7(A) 169
总习题3 170
第4章 不定积分 173
4.1不定积分的概念与性质 173
4.1.1原函数与不定积分的概念 173
4.1.2基本不定积分表 176
4.1.3不定积分的性质 176
习题4-1(A) 178
习题4-1(B) 179
4.2换元积分法 179
4.2.1第一换元积分法(凑微分法) 179
4.2.2第二换元法 187
习题4-2(A) 192
习题4-2(B) 193
4.3分部积分法 194
习题4-3(A) 199
习题4-3(B) 200
总习题4 200
第5章 定积分及其应用 203
5.1定积分的概念与性质 203
5.1.1两个实例 203
5.1.2定积分的定义 205
5.1.3定积分的几何意义 207
5.1.4定积分的性质 207
历史人物介绍 210
习题5-1(A) 211
习题5-1(B) 212
5.2微积分基本公式 213
5.2.1变上限定积分 213
5.2.2牛顿-莱布尼兹公式 215
历史的回顾 217
历史人物简介 218
习题5-2(A) 219
习题5-2(B) 220
5.3定积分的换元法与分部积分法 221
5.3.1定积分的换元积分法 221
5.3.2定积分的分部积分法 226
习题5-3(A) 227
习题5-3(B) 229
5.4广义积分 229
5.4.1无穷(限)积分 230
5.4.2瑕积分(无界函数的积分) 232
习题5-4(A) 235
习题5-4(B) 235
5.5定积分的应用 236
5.5.1平面图形的面积 236
5.5.2关于定积分应用的微元法 239
5.5.3平行截面面积为已知的立体的体积 240
5.5.4平面曲线的弧长 243
5.5.5定积分在物理学上的应用 245
5.5.6数学建模的实例——不允许缺货的存储模型 247
历史人物介绍 248
习题5-5(A) 249
习题5-5(B) 251
5.6利用软件求积分 252
总习题5 254
第6章 微分方程 258
6.1微分方程的基本概念 258
6.1.1几个微分方程的实例 258
6.1.2基本概念 259
习题6-1(A) 262
习题6-1(B) 263
6.2一阶微分方程 263
6.2.1变量可分离的方程 263
6.2.2齐次方程 266
6.2.3一阶线性微分方程 268
6.2.4伯努利方程 271
6.2.5一阶微分方程的应用举例 272
6.2.6数学建模的实例——单种群数量变化的数学模型 275
习题6-2(A) 276
习题6-2(B) 277
6.3可降阶的高阶微分方程 278
6.3.1 y (n)=f (x)型 278
6.3.2 y″=f (x,y′)型 279
6.3.3 y″=f (y,y′)型 280
6.3.4数学建模的实例——悬链线问题 282
习题6-3(A) 283
习题6-3(B) 284
6.4线性微分方程解的结构 284
6.4.1 n阶线性微分方程 285
6.4.2线性齐次微分方程的解的结构 285
6.4.3线性非齐次微分方程的解的结构 287
习题6-4(A) 288
习题6-4(B) 288
6.5常系数线性微分方程 288
6.5.1常系数线性齐次方程 289
6.5.2常系数线性非齐次方程 292
6.5.3数学建模的实例 296
习题6-5(A) 299
习题6-5(B) 299
历史回顾 300
6.6利用软件求解微分方程 301
总习题6 301
附录1 Maple软件简介 304
附录2 习题参考答案 317