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第1章 函数与极限 1

1．1集合与函数 1

1．1．1集合 1

1．1．2函数与映射 4

1．1．3函数的四则运算 8

1．1．4基本初等函数与初等函数 9

1．1．5几种具有特殊性质的函数 10

历史的回顾 13

历史人物简介 13

习题1-1（A） 15

习题1-1（B） 16

1．2极限 17

1．2．1极限的定义 18

1．2．2极限的性质 28

1．2．3数学建模的实例——圆周率的计算 35

历史的回顾 36

历史人物简介 37

习题1-2（A） 39

习题1-2（B） 40

1．3极限存在准则 两个重要极限 41

1．3．1准则1夹逼准则及重要极限？ 41

1．3．2准则2单调有界数列必有极限 43

习题1-3（A） 45

习题1-3（B） 46

1．4无穷小量与无穷大量 47

1．4．1无穷小量 47

1．4．2无穷大量 51

历史的回顾 53

历史人物简介 54

习题1-4（A） 55

习题1-4（B） 56

1．5函数的连续性及间断点 57

1．5．1函数的连续性 57

1．5．2函数的间断点 59

习题1-5（A） 61

习题1-5（B） 62

1．6初等函数的连续性与连续函数的性质 62

1．6．1连续函数的运算性质 62

1．6．2初等函数的连续性 64

1．6．3闭区间上的连续函数的性质 66

习题1-6（A） 69

习题1-6（B） 69

1．7利用数学软件求极限 70

习题1-7 72

总习题1 72

第2章 导数与微分 75

2．1导数与微分的概念 75

2．1．1导数的概念 75

2．1．2微分的概念 80

2．1．3可导与可微、可导与连续之间的关系 82

2．1．4微分的几何意义 84

历史的回顾 84

历史人物简介 85

习题2-1（A） 86

习题2-1（B） 87

2．2函数的求导法则与一阶微分形式的不变性 87

2．2．1函数的和、差、积、商的求导法则 87

2．2．2反函数的求导法则 89

2．2．3复合函数的导数 91

2．2．4一阶微分形式的不变性 93

2．2．5基本初等函数求导公式 94

习题2-2（A） 95

习题2-2（B） 97

2．3高阶导数 97

习题2-3（A） 100

习题2-3（B） 100

2．4隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 101

2．4．1隐函数的导数 101

2．4．2由参数方程所确定的函数的导数 105

2．4．3数学建模的实例——相关变化率 108

习题2-4（A） 109

习题2-4（B） 110

2．5利用数学软件求导数 111

习题2-5 113

总习题2 113

第3章 微分中值定理及导数的应用 115

3．1微分中值定理 115

3．1．1罗尔定理 115

3．1．2拉格朗日中值定理 118

3．1．3柯西中值定理 121

历史人物简介 122

习题3-1（A） 124

习题3-1（B） 124

3．2洛必达法则 125

3．2．1 0/0型不定式 125

3．2．2 ∞/∞型不定式 128

3．2．3其他不定式 129

习题3-2（A） 130

习题3-2（B） 131

3．3泰勒中值定理 132

3．3．1泰勒公式 132

3．3．2泰勒展开式的应用举例 138

习题3-3（A） 140

习题3-3（B） 141

3．4函数的单调性与极值 141

3．4．1函数单调性的判别法 141

3．4．2函数极值与最值的求法 144

习题3-4（A） 150

习题3-4（B） 151

3．5曲线的凸性、渐近线与图形的描绘 152

3．5．1曲线的凸性与拐点 153

3．5．2渐近线 156

3．5．3函数图形的描绘 158

习题3-5（A） 159

习题3-5（B） 160

3．6曲率 161

3．6．1弧微分 161

3．6．2曲率 162

3．6．3曲率圆与曲率半径 164

习题3-6（A） 165

习题3-6（B） 166

3．7方程的近似解 166

3．7．1二分法 167

3．7．2切线法 168

习题3-7（A） 169

总习题3 170

第4章 不定积分 173

4．1不定积分的概念与性质 173

4．1．1原函数与不定积分的概念 173

4．1．2基本不定积分表 176

4．1．3不定积分的性质 176

习题4-1（A） 178

习题4-1（B） 179

4．2换元积分法 179

4．2．1第一换元积分法（凑微分法） 179

4．2．2第二换元法 187

习题4-2（A） 192

习题4-2（B） 193

4．3分部积分法 194

习题4-3（A） 199

习题4-3（B） 200

总习题4 200

第5章 定积分及其应用 203

5．1定积分的概念与性质 203

5．1．1两个实例 203

5．1．2定积分的定义 205

5．1．3定积分的几何意义 207

5．1．4定积分的性质 207

历史人物介绍 210

习题5-1（A） 211

习题5-1（B） 212

5．2微积分基本公式 213

5．2．1变上限定积分 213

5．2．2牛顿-莱布尼兹公式 215

历史的回顾 217

历史人物简介 218

习题5-2（A） 219

习题5-2（B） 220

5．3定积分的换元法与分部积分法 221

5．3．1定积分的换元积分法 221

5．3．2定积分的分部积分法 226

习题5-3（A） 227

习题5-3（B） 229

5．4广义积分 229

5．4．1无穷（限）积分 230

5．4．2瑕积分（无界函数的积分） 232

习题5-4（A） 235

习题5-4（B） 235

5．5定积分的应用 236

5．5．1平面图形的面积 236

5．5．2关于定积分应用的微元法 239

5．5．3平行截面面积为已知的立体的体积 240

5．5．4平面曲线的弧长 243

5．5．5定积分在物理学上的应用 245

5．5．6数学建模的实例——不允许缺货的存储模型 247

历史人物介绍 248

习题5-5（A） 249

习题5-5（B） 251

5．6利用软件求积分 252

总习题5 254

第6章 微分方程 258

6．1微分方程的基本概念 258

6．1．1几个微分方程的实例 258

6．1．2基本概念 259

习题6-1（A） 262

习题6-1（B） 263

6．2一阶微分方程 263

6．2．1变量可分离的方程 263

6．2．2齐次方程 266

6．2．3一阶线性微分方程 268

6．2．4伯努利方程 271

6．2．5一阶微分方程的应用举例 272

6．2．6数学建模的实例——单种群数量变化的数学模型 275

习题6-2（A） 276

习题6-2（B） 277

6．3可降阶的高阶微分方程 278

6．3．1 y （n）＝f （x）型 278

6．3．2 y″＝f （x，y′）型 279

6．3．3 y″＝f （y，y′）型 280

6．3．4数学建模的实例——悬链线问题 282

习题6-3（A） 283

习题6-3（B） 284

6．4线性微分方程解的结构 284

6．4．1 n阶线性微分方程 285

6．4．2线性齐次微分方程的解的结构 285

6．4．3线性非齐次微分方程的解的结构 287

习题6-4（A） 288

习题6-4（B） 288

6．5常系数线性微分方程 288

6．5．1常系数线性齐次方程 289

6．5．2常系数线性非齐次方程 292

6．5．3数学建模的实例 296

习题6-5（A） 299

习题6-5（B） 299

历史回顾 300

6．6利用软件求解微分方程 301

总习题6 301

附录1 Maple软件简介 304

附录2 习题参考答案 317