第一讲 数学模型、模式与文化 1
1 数学模型与数学模式 3
2 数学哲学基本问题及不同回答 8
2.1 数学哲学基本问题 8
2.2 数学哲学的两大流派——理性主义和经验主义 9
2.3 数学形态的历史演化 12
2.4 逻辑主义、直觉主义和形式主义——数学的真理性 13
2.5 如何看待数学证明？ 18
2.6 数学发展的历史经验 21
3 数学与计算机科学 24
4 数学与艺术 27
参考文献 30
第二讲 浅谈悖论 32
1 悖论的三种情况 33
2 几个有趣的悖论 36
3 一个引发悖论的重要模式——自指 38
4 哥德尔不完全性定理的证明线索 39
5 图灵停机问题 46
6 任意大的集合基数 49
7 文学、美术、音乐和中国古代文献中的悖论 50
8 预言可能吗？ 53
参考文献 54
第三讲 对称群、装饰图案、血缘关系 56
1 从平面几何说起 57
2 对称概念与群的数学定义 59
3 花边、壁纸、艾舍尔的画及其他 62
4 群与血缘关系 72
参考文献 77
第四讲 斐波那契序列及有关模型 78
1 斐波那契的兔子 78
2 花瓣的数目与叶子的排列 80
3 凤梨鳞片排列方式的几何描述 81
4 向日葵花盘上的螺线模式 85
5 叶序的数学物理解释，从物理考虑出发的计算机模拟 89
6 斐波那契序列的其他表达方式 91
7 斐波那契序列与游戏和魔术 93
附录 斐波那契序列的一个性质 94
参考文献 95
第五讲 有关生命现象的几个数学模型 96
1 元胞自动机的基本概念 98
2 康维的生命游戏 100
3 图灵扩散 105
4 关于性别比的数学讨论 113
参考文献 117
第六讲 速降线问题与变分法 118
1 一段有趣的历史和速降线问题 119
2 速降线问题的雅格布·伯努利解法 121
3 几何学中的海伦——速降线的奇妙性质 122
4 变分问题的数学讨论 126
4.1 速降线问题的变分提法 126
4.2 变分问题的其他实例 127
4.3 求解变分问题的途径——欧拉方程 129
4.4 几点说明 131
5 物理学中的变分原理 136
6 经典变分问题的发展——控制论模型 140
6.1 控制论的数学模型 140
6.2 一个血糖含量的控制问题 141
附录 多变量函数积分给出的变分问题 145
参考文献 146
第七讲 从最小二乘法谈起 147
1 可由最小二乘法求解的问题实例 148
1.1 观测数据的最小二乘拟合 148
1.2 层析成像中的最小二乘法 149
1.3 球队排名问题 150
2 最小二乘法的几何解释，阻尼和加权最小二乘法 152
2.1 最小二乘法的几何解释 152
2.2 阻尼和加权最小二乘法 152
3 从投影观点看傅里叶级数及其他有关问题 153
3.1 傅里叶级数 153
3.2 伽略金方法 154
3.3 随机信号处理中的滤波问题 156
4 广义逆 157
5 傅里叶变换 159
6 最小二乘法和物理问题 160
6.1 基尔霍夫定律和最小二乘模型 160
6.2 极小势能问题 162
6.3 离散问题与连续问题的关系 164
参考文献 167
第八讲 驾驭偶然性 168
1 敏感问题的抽样调查方法 170
2 未名湖水系中金鱼数量的估计 172
3 莎士比亚所掌握的词汇量 173
4 用统计方法研究因果关系 177
4.1 问题的提出 177
4.2 问题的数学表达 178
参考文献 182
学生自拟论文题目选辑 183